Zestaw 4.

Zadanie 4.1

Pokaza´c, ·ze grupy R

+

S

1

i C s ¾

a izomor…czne. Korzystaj ¾

ac z izomor…zmu grup

R

+

=

R, wywnioskowa´c st ¾

ad, ·ze C jest izomor…czna z grup ¾

a R

S

1

(walec). Napisa´c dzia÷anie

de…niuj ¾

ace struktur ¾

e grupy w walcu

R

S

1

= (t; x; y)

2 R

3

: x

2

+ y

2

= 1 :

Zadanie 4.2

(a) Wskaza´c w grupie (Z; +) takie elementy k

1

; k

2

, ·ze hk

1

i 6= Z 6= hk

2

i i hk

1

; k

2

i = Z.

(b) Wskaza´c w tej grupie takie elementy s

1

; s

2

; s

3

, ·ze hs

1

; s

2

i, hs

1

; s

3

i, hs

2

; s

3

i s ¾

a w÷

a´sciwymi pod-

grupami grupy Z (czyli ·zadna z nich nie jest Z, ·zadna nie jest jej podgrup ¾

a trywialn ¾

a f0g) oraz

hs

1

; s

2

; s

3

i = Z.

(c) Dla ka·zdego naturalnego n

2 wskaza´c taki sko´nczony n-elementowy podzbiór Z generuj ¾

acy

grup ¾

e addytywn ¾

a Z, ·ze ka·zdy jego w÷a´sciwy podzbiór nie generuje Z.

Zadanie 4.3

Udowodni´c, ·ze ·zaden sko´nczony podzbiór addytywnej grupy liczb wymiernych Q nie

generuje tej grupy. Poda´c przyk÷ad w÷a´sciwego podzbioru liczb wymiernych, który j ¾

a generuje.

Zadanie 4.4

Rozwa·zmy grup ¾

e Map([0; 1] ; R), czyli grup ¾

e funkcji rzeczywistych okre´slonych na przedziale

[0; 1] z dzia÷

aniem b ¾

ed ¾

acym dodawaniem funkcji oraz niech N =

f

2 Map([0; 1] ; R) : f(

1
4

) = 0 .

Pokaza´c, ·ze N

C Map([0; 1] ; R) oraz

Map([0; 1] ; R)=N = R:

Zadanie 4.5

Niech

=

fm + in 2 C : m; n 2 Zg

oznacza zbiór wszystkich liczb Gaussa. Pokaza´c, ·ze

jest dzielnikiem normalnym grupy addytywnej

C i korzystaj ¾

ac z pierwszego twierdzenia o homomor…zmie grup wykaza´c, ·ze

C= = S

1

S

1

:

Zadanie 4.6

Niech G b ¾

edzie grup ¾

a oraz N

C G. Pokaza´c, ·ze je´sli M jest podgrup ¾

a grupy ilorazowej

G=N

oraz

M = a

2 G : Na 2 M ;

to M jest podgrup ¾

a grupy G oraz M

N

. Wykaza´c, ·ze je´sli M normaln ¾

a podgrup ¾

a G=N , to M jest

normaln ¾

a podgrup ¾

a G.

Zadanie 4.7

Niech dane b ¾

ed ¾

a grupy G

1

i G

2

z elementami neutralnym odpowiednio e

1

i e

2

. Niech

G = G

1

G

2

oznacza iloczyn kartezja´nski grup. Wykaza´c, ·ze:

(a) N = G

1

fe

2

g = G

1

;

(b) N = G

1

fe

2

g C G;

(c) G=N = G

2

:

Zadanie 4.8

Pokaza´c, ·ze je·zeli ' : G ! G

0

jest homomor…zmem grupy G na grup ¾

e G

0

oraz N

C G,

to '[N ]

C G

0

.

Zadanie 4.9

Niech M i N b ¾

ed ¾

a takimi normalnymi podgrupami grupy G, ·ze M \ N = feg, gdzie e

jest elementem neutralnym w grupie G. Wykaza´c, ·ze mn = nm dla dowolnych m 2 M, n 2 N.

Zadanie 4.10

Niech T

0

oznacza zbiór wszystkich translacji w C o liczb ¾

e ca÷

kowit ¾

a, czyli

T

0

= f

2 C

C

:

9n 2 Z 8z 2 C f(z) = z + n :

Pokaza´c, ·ze T

0

< S(C), lecz T

0

nie jest dzielnikiem normalnym grupy S(C).

Zadanie 4.11

Rozwa·zmy grup ¾

e addytywn ¾

a G = R

3

oraz niech

H = (x

1

; x

2

; x

3

)

2 R

3

: x

1

+ x

2

x

3

= 0 :

Pokaza´c, ·ze H jest dzielnikiem normalnym R

3

oraz opisa´c elementy grupy ilorazowej R

3

=H

. Jakie

zbiory s ¾

a elementami R

3

=H

? Znale´z´c k 2 N, takie ·ze R

3

=H = R

k

, gdzie R

k

jest grup ¾

a addytywn ¾

a

b ¾

ed ¾

ac ¾

a (prostym) iloczynem kartezja´nskim grupy addytywnej liczb rzeczywistych.

Zadanie 4.12

Niech G b ¾

edzie grup ¾

a. Pokaza´c, ·ze

=

f(g; g) 2 G

G : g

2 Gg

jest podgrup ¾

a grupy G

G

izomor…czn ¾

a z G. Wykaza´c, ·ze

C G G wtedy i tylko wtedy, gdy G

jest abelowa.

Zadanie 4.13

Niech G b ¾

edzie grup ¾

a zawieraj ¾

ac ¾

a podgrup ¾

e H o indeksie n 2 N. Wykaza´c, ·ze istnieje

wówczas homomor…zm ' grupy G w grup ¾

e S

n

, dla którego jG= ker 'j dzieli si ¾

e przez n oraz dzieli n!.