4. CAŁKA NIEOZNACZONA

W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

4.1. Funkcja pierwotna

Definicja 4.1.

Niech f : I → R. Funkcję F : I → R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale

I, gdy

V

x∈I

F

0

(x) = f (x).

Twierdzenie 4.2.

Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to

a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,

b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F +C

0

, gdzie C

0

jest odpowiednio dobraną

stałą.

Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

), gdzie x

0

∈ I, istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna,

której wykres przechodzi przez ten punkt.

Definicja 4.4.

Niech f : I → R. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest

niepusty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez

Z

f (x) dx

lub

Z

f.

Jeśli funkcja F : I → R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy

Z

f (x) dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikają wzory na
podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4).

4.2. Własności całki nieoznaczonej

Twierdzenie 4.5.

Niech f : I → R.

a) Jeśli istnieje całka

Z

f, to



Z

f



0

= f.

b) Jeśli istnieje całka

Z

(f

0

), to

Z

(f

0

) = f + C, gdzie C ∈ R.

Twierdzenie 4.6 (liniowość całki nieoznaczonej).

Niech f, g : I → R. Jeśli istnieją całki

Z

f i

Z

g,

to

a) istnieje całka

Z

(f + g) oraz

Z

(f + g) =

Z

f +

Z

g;

b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka

Z

(kf ) oraz

Z

(kf ) = k



Z

f



.

2007, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

22

Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej).

Jeśli funkcja f : I → R

jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.

Uwaga 4.8.

(1) O ile pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen-

tarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją funkcje elementarne, których
całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji elementarnych,

np.

Z

e

−x

2

dx,

Z

sin(x

2

) dx,

Z

cosx

x

dx.

(2) Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną. Np. można sprawdzić, że funkcja f

określona wzorem

f (x) =



2x sin

1
x

− cos

1

x

,

gdy x 6= 0,

0,

gdy x = 0,

nie jest ciągła w punkcie 0, zaś

Z

f (x) dx = g(x) + C, gdzie C ∈ R oraz

g(x) =



x

2

sin

1

x

,

gdy x 6= 0,

0,

gdy x = 0.

4.3. Metody całkowania

Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez części).

Załóżmy, że

(1) funkcje f, g : I → R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f

0

g na przedziale I.

Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g

0

na przedziale I oraz zachodzi wzór

Z

f g

0

= f g −

Z

f

0

g.

Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie).

Załóżmy, że I, J są przedziałami oraz

(1) funkcja g : I → J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J → R ma na przedziale J funkcję pierwotną F .

Wówczas funkcja (f ◦ g)g

0

ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór

Z

(f ◦ g)g

0

= F ◦ g + C, gdzie C ∈ R.

2007, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

23

4.4. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone

Wzór

Założenia

(1)

Z

0 dx = C

x ∈ R

(2)

Z

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C

α ∈ R \ {1}, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}

(3)

Z

1

x

dx = ln |x| + C

x 6= 0

(4)

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R

(5)

Z

sin x dx = − cos x + C

x ∈ R

(6)

Z

cos x dx = sin x + C

x ∈ R

(7)

Z

1

sin

2

x

dx = − ctg x + C

x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z

(8)

Z

1

cos

2

x

dx = tg x + C

x ∈ ((2k − 1)

π

2

, (2k + 1)

π

2

), k ∈ Z

(9)

Z

1

1 + x

2

dx = arctg x + C

x ∈ R

(10)

Z

1

√

1 − x

2

dx = arc sin x + C

x ∈ (−1, 1)

(11)

Z

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + C

f (x) 6= 0

(12)

Z

f

0

(x)

p

f (x)

dx = 2

p

f (x) + C

f (x) > 0

2007, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

24

4.5. Całkowanie funkcji wymiernych.

(A) Każdą funkcję wymierną postaci

V (x)
Q(x)

, gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można jednozncznie

przedstawić w postaci

W (x) +

P (x)

Q(x)

,

gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q.

(B) Każdą funkcję wymierną postaci

P (x)
Q(x)

, gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielo-

mianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych pierwszego lub
drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci

(I)

A

(x − p)

n

,

(II)

Ax + B

((x − p)

2

+ k)

n

,

gdzie n ∈ N, A, B, p ∈ R, k > 0.

(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:

Z

A

(x − p)

n

dx =



t = x − p
dt = dx



= A

Z

1

t

n

dt = . . .

(W przypadku n = 1 można zastosować wzór (11)).

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:

Z

Ax + B

((x − p)

2

+ k)

n

dx

=

o

o

o

o

t = x − p

dt = dx

o

o

o

o

=

Z

A(t + p) + B

(t

2

+ k)

n

dt =

=

Z

At

(t

2

+ k)

n

dt

|

{z

}

J

n

+ (pA + B)

Z

1

(t

2

+ k)

n

dt

|

{z

}

I

n

= . . .

Wzór

Założenia

(13) I

1

=

Z

1

x

2

+ k

dx =

1

√

k

arc tg

x

√

k

+ C

k > 0, x ∈ R

(14)

?

I

n

=

Z

1

(x

2

+ k)

n

dx =

1

k(2n − 2)



x

(x

2

+ k)

n−1

+ (2n − 3)I

n−1



n = 2, 3, . . . , k > 0, x ∈ R

Wskazówki:

J

n

=







gdy n = 1 stosujemy wzór (11),

gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t

2

+ k

I

1

=

o

o

o

o

s =

x

√

k

ds =

dx

√

k

o

o

o

o

= . . .

2007, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

25

4.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.

Niech R : R

2

→ R będzie funkcją wymierną.

(A)

Z

R(x,

n

√

ax + b ) dx =

o

o

o

o

t =

n

√

ax + b

dt = . . .

o

o

o

o

lub

o

o

o

o

x =

t

n

−b

a

dx = . . .

o

o

o

o

= . . . ,

a 6= 0

(B)

Z

R



x,

s

ax + b

cx + d



dx =

o

o

o

o

t =

q

ax+b
cx+d

dt = . . .

o

o

o

o

lub jw. . . . ,

Niech W

n

: R → R będzie wielomianem n-tego stopnia, n ∈ N ∪ {0}.

(C)

Z

W

n

(x)

p

k + a(x − p)

2

dx,

k, p ∈ R, a 6= 0

• n = 0

Z

A

p

k + a(x − p)

2

dx =

o

o

o

o

t = x − p

dt = dx

o

o

o

o

= . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),

Wzór

Założenia

(15)

Z

1

√

k − x

2

dx = arc sin

x

√

k

+ C

k > 0, k − x

2

> 0

(16)

Z

1

√

k + x

2

dx = ln





x +

√

k + x

2





+ C

k 6= 0, k + x

2

> 0

Wskazówki:

ad. (15)

o

o

o

o

t =

x

√

k

dt =

dx

√

k

o

o

o

o

lub

o

o

o

o

x =

√

k sin t

dx =

√

k cos tdt

o

o

o

o

ad. (16)

o

o

o

o

t = x +

√

k + x

2

dt =

x+

√

k+x

2

√

k+x

2

dx ⇒

dt

t

=

dx

√

k+x

2

o

o

o

o

• n > 0 – stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:

?

Z

W

n

(x)

p

k + a(x − p)

2

dx = Q

n−1

(x)

q

k + a(x − p)

2

+ β

Z

1

p

k + a(x − p)

2

dx,

gdzie Q

n−1

oznacza wielomian stopnia n − 1, zaś β jest pewną stałą.

2007, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

26

4.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Niech R : R

2

→ R będzie funkcją wymierną.

(A) R(−u, v) = −R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = cos x

dt = − sin xdx

o

o

o

o

= . . .

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba nieparzysta, m− liczba . . . . . . . . . . . . .

(B) R(u, −v) = −R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = sin x

dt = cos xdx

o

o

o

o

= . . .

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba . . . . . . . . . . . . . m− liczba . . . . . . . . . . . . .

(C) R(−u, −v) = R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = tg x ⇒ x = arc tg t

dx =

dt

t

2

+1

o

o

o

o

= . . . ,

(sin

2

x =

t

2

1 + t

2

, cos

2

x =

1

1 + t

2

, sin x cos x =

t

1 + t

2

),

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(D) R – dowolna funkcja

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = tg

x

2

⇒ x = 2 arc tg t

dx =

2dt

t

2

+1

o

o

o

o

= . . . ,

(sin x =

2t

1 + t

2

, cos x =

1 − t

2

1 + t

2

).

Wzór

Założenia

(17)

?

Z

sin

n

x dx = −

1

n

cos x sin

n−1

x +

n−1

n

Z

sin

n−2

x dx

n = 2, 3, . . . , x ∈ R

(18)

?

Z

cos

n

x dx =

1

n

sin x cos

n−1

x +

n−1

n

Z

cos

n−2

x dx

n = 2, 3, . . . , x ∈ R

Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

27

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I

CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

5.1. Definicja całki oznaczonej Riemanna

Niech a, b ∈ R i a < b.

Definicja 5.1 (Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej).

• Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór P

n

= {x

0

, x

1

, . . . , x

n

}, gdzie n ∈ N, punktów spełniają-

cych warunek:

a = x

0

< x

1

< . . . < x

n−1

< x

n

= b.

• Średnicą podziału P

n

przedziału [a, b] nazywamy liczbę

δ(P

n

)

def

= max{∆x

i

: i = 1, 2, . . . , n},

gdzie ∆x

i

= x

i

− x

i−1

.

• Układem punktów pośrednich podziału P

n

przedziału [a, b] nazywamy dowolny zbiór T

n

= {t

1

, . . . , t

n

}

taki, że

t

i

∈ [x

i−1

, x

i

] dla i = 1, . . . , n.

Definicja 5.2.

Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną, zaś P

n

− dowolnym podziałem przedziału

[a, b]. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P

n

i układowi punktów pośrednich T

n

nazywamy liczbę

S(f, P

n

, T

n

)

def

=

n

X

i=1

f (t

i

)∆x

i

.

Definicja 5.3.

Mówimy, że ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na

przedziale [a, b], gdy istnieje granica

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

) (przyjmujemy, że

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

) = A wtedy i

tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (P

n

) podziałów przedziału [a, b] takiego, że lim

n→∞

δ(P

n

) = 0, i dowol-

nego ciągu (T

n

) układów punktów pośrednich zachodzi równość A = lim

n→∞

S(f, P

n

, T

n

)). Rozważaną granicę

nazywamy wówczas całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i zapisujemy

b

Z

a

f (x) dx

def

=

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

).

Ponadto przyjmujemy, że

a

Z

a

f (x) dx

def

= 0

oraz

a

Z

b

f (x) dx

def

= −

b

Z

a

f (x) dx.

Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].

Uwaga 5.4. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie nie musi
być.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

28

5.2. Własności całki oznaczonej

Twierdzenie 5.5 (warunki wystarczające całkowalności funkcji).

Niech f : [a, b] → R będzie funkcją

ograniczoną.

a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f ∈ R[a, b].

b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f ∈ R[a, b].

Twierdzenie 5.6 (liniowość całki oznaczonej).

Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to

a) f + g ∈ R[a, b] oraz

b

Z

a

(f (x) + g(x)) dx =

b

Z

a

f (x) dx +

b

Z

a

g(x) dx;

b) kf ∈ R[a, b] dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz

b

Z

a

kf (x) dx = k

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.7.

Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to

a) f ◦ g ∈ R[a, b], gdy f jest funkcją ciągłą na g[[a, b]];

b) |g| ∈ R[a, b];

c) f g ∈ R[a, b].

Twierdzenie 5.8 (monotoniczność całki oznaczonej).

Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b] oraz f (x) ¬ g(x) dla

każdego x ∈ [a, b], to

b

Z

a

f (x) dx ¬

b

Z

a

g(x) dx.

Twierdzenie 5.9 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).

Jeśli f ∈ R[a, b], to dla dowolnego c ∈ (a, b) funkcja f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b] oraz

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx.

Twierdzenie 5.10.

Jeśli f ∈ R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów

przedziału [a, b], to g ∈ R[a, b] oraz

b

Z

a

g(x) dx =

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.11 (całkowe o wartości średniej).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na przedziale

[a, b], to

W

c∈(a,b)

f (c) =

1

b − a

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.12.

Jeśli funkcja f : [a, b] → [0, +∞) jest ciągła na przedziale [a, b], to całka

b

Z

a

f (x) dx

równa jest polu figury ograniczonej wykresem funkcji f oraz prostymi o równaniach x = a, x = b i y = 0.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

29

5.3. Funkcja górnej granicy całkowania, wzór Newtona-

Leibniza

Definicja 5.13.

Niech f ∈ R[a, b]. Funkcję F : [a, b] → R określoną wzorem

F (x)

def

=

x

Z

a

f (t) dt

nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

Twierdzenie 5.14.

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna na [a, b], to funkcja górnej granicy całkowa-

nia F jest ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w punkcie x

0

∈ [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna

w x

0

oraz

F

0

(x

0

) = f (x

0

).

Twierdzenie 5.15 (Newtona-Leibniza).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b], to

b

Z

a

f (x) dx = G(b) − G(a),

gdzie G jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale [a, b].

Uwaga 5.16.

(1) Zamiast G(b) − G(a) piszemy najczęściej [G(x)]

b

a

lub G(x)|

b
a

.

(2) Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność funkcji f oraz

istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].

5.4. Metody obliczania całek oznaczonych

Twierdzenie 5.17 (o całkowaniu przez części).

Niech f, g : [a, b] → R. Jeśli funkcje f, g mają ciągłe

pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór

b

Z

a

f (x)g

0

(x) dx = [f (x)g(x)]

b
a

−

b

Z

a

f

0

(x)g(x) dx.

Twierdzenie 5.18 (o całkowaniu przez podstawienie).

Załóżmy, że

(1) funkcja g : [a, b]

na

→ [α, β] ma ciągłą pochodną na [a, b],

(2) g(a) = α, g(b) = β,
(3) funkcja f : [α, β] → R jest ciągła na [α, β].

Wówczas zachodzi wzór

b

Z

a

f (g(x))g

0

(x) dx =

β

Z

α

f (t) dt.

Twierdzenie 5.19 (całka funkcji parzystej i nieparzystej).

Niech a ∈ (0, +∞) oraz f ∈ R[−a, a].

a) Jeśli f jest parzysta na [−a, a], to

a

Z

−a

f (x) dx = 2

a

Z

0

f (x) dx;

b) Jeśli f jest nieparzysta na [−a, a], to

a

Z

−a

f (x) dx = 0.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

30

5.5. Całki niewłaściwe

W paragrafie tym podamy definicje całki oznaczonej na przedziale nieograniczonym i całki z funkcji

nieograniczonej.

Definicja 5.20 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju).

Niech f : [a, +∞) → R będzie funkcją całkowalną

na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie β > a. Granicę

lim

β→+∞

β

Z

a

f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą

funkcji f na przedziale [a, +∞) i oznaczamy przez

∞

Z

a

f (x) dx. Zatem

∞

Z

a

f (x) dx

def

=

lim

β→+∞

β

Z

a

f (x) dx.

Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica
jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞, b] :

b

Z

−∞

f (x) dx

def

=

lim

α→−∞

b

Z

α

f (x) dx.

Ponadto przyjmujemy, że

∞

Z

−∞

f (x) dx

def

=

c

Z

−∞

f (x) dx +

∞

Z

c

f (x) dx,

gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie
są zbieżne.

Definicja 5.21 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju).

Niech f : [a, b) → R będzie funkcją całkowalną na

każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, oraz nieograniczoną w każdym lewostronnym sąsiedztwie

punktu b. Granicę lim

β→b

−

β

Z

a

f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale

[a, b) i oznaczamy przez

b

Z

a

f (x) dx. Zatem

b

Z

a

f (x) dx

def

= lim

β→b

−

β

Z

a

f (x) dx.

Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest niewłaściwa
lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f : (a, b] → R nieograniczonej w każdym prawostronnym
sąsiedztwie punktu a:

b

Z

a

f (x) dx

def

= lim

α→a

+

b

Z

α

f (x) dx.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

31

• Jeśli f jest jednocześnie nieograniczona w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b i w każdym

prawostronnym sąsiedztwie punktu a, to przyjmujemy

b

Z

a

f (x) dx

def

=

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx,

gdzie c jest dowolną stałą z przedziału (a, b).

• Jeśli f jest nieograniczona w każdym sąsiedztwie punktu x

0

∈ (a, b), to

b

Z

a

f (x) dx

def

=

x

0

Z

a

f (x) dx +

b

Z

x

0

f (x) dx.

W obu przypadkach mówimy, że tak zdefniowane całki są zbieżne, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie są zbieżne.

W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można stosować

przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy dana całka niewłaściwa
jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.

Twierdzenie 5.22 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych).

Załóżmy, że funkcje

f, g : [a, b) → R są całkowalne na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, przy czym b = +∞ lub
f i g są nieograniczone w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.

a) Jeśli

V

x∈[a,b)

|f (x)| ¬ g(x)

i całka

b

Z

a

g(x) dx jest zbieżna, to całka

b

Z

a

f (x) dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna jest również

całka

b

Z

a

|f (x)| dx).

b) Jeśli

V

x∈[a,b)

f (x) ­ g(x) ­ 0

i całka

b

Z

a

g(x) dx jest rozbieżna, to całka

b

Z

a

f (x) dx jest rozbieżna.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek niewłaściwych funkcji określonych na przedziale (a, b].

Uwaga 5.23. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto zachodzi
nierówność








b

Z

a

f (x) dx








¬

b

Z

a

|f (x)| dx.

Twierdzenie 5.24 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych).

Niech n

0

∈ N. Jeśli funkcja

f : [n

0

, +∞) → (0, +∞) jest nierosnąca, to

∞

X

n=n

0

f (n) jest zbieżny

⇔

∞

Z

n

0

f (x) dx jest zbieżna.

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

32

5.6. Zastosowania całki oznaczonej w geometrii

A. POLE OBSZARU

• Pole trapezu krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona równaniami w postaci parame-

trycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

gdzie x(t) jest funkcją ściśle monotoniczną i posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [α, β], zaś y(t)
jest funkcją ciągłą na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem danej krzywej oraz
prostymi x = a, x = b i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru wyraża się wzorem

|D| =

β

Z

α




y(t)x

0

(t)




dt.

W przypadku, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Ox, tzn.

D = {(x, y) ∈ R

2

: a ¬ x ¬ b ∧ f (x) ¬ y ¬ g(x)},

gdzie f, g są funkcjami ciągłymi na [a, b], to

|D| =

b

Z

a

(g(x) − f (x)) dx.

Jeśli natomiast D jest obszarem normalnym względem osi Oy, tzn.

D = {(x, y) ∈ R

2

: c ¬ y ¬ d ∧ l(x) ¬ x ¬ p(x)},

gdzie l, p są funkcjami ciągłymi na [c, d], to

|D| =

d

Z

c

(p(y) − l(y)) dy.

• Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych biegunowych

równaniem

r = f (θ), θ ∈ [α, β],

gdzie f jest funkcją nieujemną ciągłą na przedziale [α, β] (0 < β − α < 2π). Wówczas pole obszaru D
ograniczonego łukiem danej krzywej oraz promieniami wodzącymi r

α

i r

β

wyraża się wzorem

|D| =

1

2

β

Z

α

(f (θ))

2

dθ.

B. DŁUGOŚĆ ŁUKU

• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem

|l| =

β

Z

α

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt.

W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym

l :

y = f (x), x ∈ [a, b],

2007, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

33

gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to

|l| =

b

Z

a

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

• Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych

r = f (θ), θ ∈ [α, β],

przy czym funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów wielokrotnych,
to jego długość |l| wyraża się wzorem

|l| =

β

Z

α

q

(f (θ))

2

+ (f

0

(θ))

2

dθ.

C. OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZGNI BOCZNEJ BRYŁY OBROTOWEJ

Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Niech
V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S – powierzchnią boczną tej bryły.

• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], funkcja x(t) jest ściśle monoton-
iczna, zaś funkcja y(t) – nieujemna na przedziale [α, β], to objętość |V | bryły V oraz pole |S| powierzchni
S wyrażają się wzorami

|V | = π

β

Z

α

(y(t))

2




x

0

(t)




dt,

|S| = 2π

β

Z

α

y(t)

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt.

W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym

l :

y = f (x), x ∈ [a, b],

gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to

|V | = π

b

Z

a

(f (x))

2

dx,

|S| = 2π

b

Z

a

f (t)

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

2007, E. Kotlicka

6. SZEREGI LICZBOWE

34

6. SZEREGI LICZBOWE

Definicja 6.1.

Niech (a

n

) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.

• Liczbę S

n

, gdzie

S

n

def

= a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

,

nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a

n

).

• Ciąg (S

n

) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a

n

.

Definicja 6.2.

• Jeśli istnieje skończona granica

S = lim

n→∞

S

n

,

to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.

Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem

∞

X

n=1

a

n

.

• Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.

Uwaga 6.3. Symbolem

∞

X

n=1

a

n

(lub krótko

X

a

n

) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie a

n

, jak

i jego sumę.

Definicja 6.4.

Niech q ∈ R. Szereg postaci

∞

X

n=1

q

n

nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.

Twierdzenie 6.5.

Szereg geometryczny jest zbieżny ⇔ |q| < 1.

Definicja 6.6.

Niech α ∈ R. Szereg postaci

∞

X

n=1

1

n

α

nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α.

Twierdzenie 6.7.

Szereg harmoniczny jest zbieżny ⇔

α > 1.

Twierdzenie 6.8.

Niech n

0

∈ N. Wówczas

szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny ⇔ szereg

∞

X

n=n

0

a

n

jest zbieżny.

Twierdzenie 6.9.

Jeśli szeregi

∞

X

n=1

a

n

i

∞

X

n=1

b

n

są zbieżne, to

a) szereg

∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) jest zbieżny oraz

∞

X

n=1

(a

n

+ b

n

) =

∞

X

n=1

a

n

+

∞

X

n=1

b

n

,

2007, E. Kotlicka

6. SZEREGI LICZBOWE

35

b) szereg

∞

X

n=1

ca

n

, gdzie c ∈ R, jest zbieżny oraz

∞

X

n=1

ca

n

= c

∞

X

n=1

a

n

.

Twierdzenie 6.10 (warunek konieczny zbieżności szeregu).

.

Jeśli szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny, to lim

n→∞

a

n

= 0.

Uwaga 6.11. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie 6.12.

Szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny ⇔ spełnia warunek Cauchy’ego, tzn.

V

ε>0

W

K∈N

V

m,n∈N

[m > n ­ K ⇒ |a

n+1

+ a

n+2

+ · · · + a

m

| < ε].

Twierdzenie 6.13 (o zagęszczaniu).

.

Załóżmy, że (a

n

) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas

szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny ⇔ szereg

∞

X

n=1

2

n

a

2

n

jest zbieżny.

Definicja 6.14.

• Mówimy, że szereg

∞

X

n=1

a

n

jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg

∞

X

n=1

|a

n

| .

• Mówimy, że szereg

∞

X

n=1

a

n

jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

Twierdzenie 6.15 (kryterium bezwzględnej zbieżności).

Jeśli szereg

∞

X

n=1

|a

n

| jest zbieżny, to zbieżny

jest szereg

∞

X

n=1

a

n

.

Uwaga 6.16. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie 6.17.

Każdy szereg

∞

X

n=1

a

n

bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji

(k

n

) liczb naturalnych szereg

∞

X

n=1

a

k

n

jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.

Twierdzenie 6.18 (Riemanna).

Jeśli szereg

∞

X

n=1

a

n

jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S ∈ R

istnieje permutacja (k

n

) liczb naturalnych taka, że

S =

∞

X

n=1

a

k

n

.

2007, E. Kotlicka

6. SZEREGI LICZBOWE

36

6.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych

Twierdzenie 6.19 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych).

Załóżmy, że

V

n∈N

0 ¬ a

n

¬ b

n

.

a) Jeśli

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny.

b) Jeśli

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny, to szereg

∞

X

n=1

b

n

jest rozbieżny.

Wniosek 6.20 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli

V

n∈N

|a

n

| ¬ b

n

oraz szereg

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny bezwzględnie.

Twierdzenie 6.21 (kryterium ilorazowe).

Załóżmy, że a

n

, b

n

> 0 dla n ∈ N, ciąg (

a

n

b

n

) jest zbieżny oraz

lim

n→∞

a

n

b

n

> 0. Wówczas

szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny ⇔ szereg

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny.

Twierdzenie 6.22 (kryterium Cauchy’ego).

Niech g = lim

n→∞

n

p

|a

n

|. Wówczas

a) jeśli g < 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest bezwzględnie zbieżny,

b) jeśli 1 < g ¬ ∞, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Twierdzenie 6.23 (kryterium d’Alamberta).

Załóżmy, że a

n

6= 0 dla n ∈ N oraz g = lim

n→∞





a

n+1

a

n





.

Wówczas

a) jeśli g < 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest bezwzględnie zbieżny,

b) jeśli 1 < g ¬ ∞, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Twierdzenie 6.24 (kryterium Raabego).

Załóżmy, że a

n

> 0 dla n ∈ N oraz g = lim

n→∞

n(

a

n

a

n+1

− 1).

Wówczas

a) jeśli g > 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny,

b) jeśli g < 1, to szereg

∞

X

n=1

a

n

jest rozbieżny.

2007, E. Kotlicka

6. SZEREGI LICZBOWE

37

Twierdzenie 6.25 (kryterium Dirichleta).

Jeśli

(1) ciąg (a

n

) jest monotonicznie zbieżny do 0,

(2) ciąg (S

n

) sum częściowych szeregu

∞

X

n=1

b

n

jest ograniczony,

to szereg

∞

X

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

Wniosek 6.26 (kryterium Leibniza).

Twierdzenie 6.27 (kryterium Abela).

Jeśli

(1) ciąg (a

n

) jest monotoniczny i ograniczony,

(2) szereg

∞

X

n=1

b

n

jest zbieżny,

to szereg

∞

X

n=1

a

n

b

n

jest zbieżny.

2007, E. Kotlicka

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

38

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

7.1. Ciągi funkcyjne

Niech X ⊂ R i X 6= ∅. W rozdziale tym zakładamy, że f

n

: X → R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.

Definicja 7.1.

• Ciąg (f

n

), którego wyrazami są funkcje f

n

, nazywamy ciągiem funkcyjnym.

• Zbiór {x ∈ X : ciąg liczbowy (f

n

(x)) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności ciągu (f

n

).

Definicja 7.2.

• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f

n

) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy

f

n

E

→ f,

gdy

V

x∈E

lim

n→∞

f

n

(x) = f (x).

Funkcję f nazywamy granicą punktową ciągu (f

n

) na zbiorze E.

• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f

n

) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy

f

n

E

⇒ f,

gdy

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

V

x∈E

|f

n

(x) − f (x)| < ε.

Funkcję f nazywamy granicą jednostajną ciągu (f

n

) na zbiorze E.

Twierdzenie 7.3.

Jeśli f

n

E

⇒ f, to f

n

E

→ f .

Twierdzenie 7.4.

Niech M

n

= sup{|f

n

(x) − f (x)| : x ∈ E} dla n ∈ N. Wówczas

f

n

E

⇒ f

⇔

lim

n→∞

M

n

= 0.

7.2. Szeregi funkcyjne

Niech X ⊂ R i X 6= ∅. Załóżmy, że f

n

: X → R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.

Definicja 7.5.

Niech (f

n

) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech

V

x∈X

S

n

(x)

def

= f

1

(x) + f

2

(x) + · · · + f

n

(x).

• Ciąg funkcyjny (S

n

) nazywamy szeregiem funkcyjnym

o wyrazie ogólnym f

n

i oznaczamy przez

∞

X

n=1

f

n

.

• Zbiór {x ∈ X : szereg liczbowy

∞

X

n=1

f

n

(x) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności danego szeregu

funkcyjnego.

2007, E. Kotlicka

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

39

Definicja 7.6.

Mówimy, że szereg

∞

X

n=1

f

n

jest

• bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg

∞

X

n=1

|f

n

(x)| jest zbieżny dla x ∈ E,

• punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S

n

) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy szereg

∞

X

n=1

f

n

(x)

jest zbieżny dla x ∈ E),

• jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S

n

) jest jednostajnie zbieżny na E.

Granicę punktową ciągu (S

n

) nazywamy sumą szeregu i oznaczamy przez

∞

X

n=1

f

n

.

Twierdzenie 7.7 (kryterium Weierstrassa).

Niech f

n

: X → R dla n ∈ N. Załóżmy, że

V

n∈N

V

x∈X

|f

n

(x)| ¬ a

n

oraz szereg liczbowy

∞

X

n=1

a

n

jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny

∞

X

n=1

f

n

jest bezwzględnie i jednostajnie

zbieżny na X.

7.3. Szeregi potęgowe.

Definicja 7.8.

Niech x

0

∈ R oraz niech (a

n

)

∞

n=0

będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.

Szereg funkcyjny postaci

a

0

+

∞

X

n=1

a

n

(x − x

0

)

n

, x ∈ R,

nazywamy szeregiem potęgowym o środku x

0

i współczynnikach a

n

.

Twierdzenie 7.9 (Abela).

Jeśli szereg

∞

X

n=1

a

n

x

n

jest zbieżny w punkcie x

1

6= 0, to jest bezwzględnie zbieżny

w przedziale (− |x

1

| , |x

1

|).

Definicja 7.10.

• Promieniem zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a

n

x

n

nazywamy liczbę R > 0 taką, że szereg potęgowy jest zbieżny

w przedziale (−R, R), zaś rozbieżny w zbiorze (−∞, R) ∪ (R, +∞).

• Przyjmujemy, że R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0 oraz R = +∞, gdy szereg jest

zbieżny dla wszystkich x ∈ R.

• Przedział (−R, R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie 7.11 (Cauchy’ego-Hadamarda).

Jeśli istnieje granica lim

n→∞

n

p

|a

n

| = g, to szereg potęgowy

∞

X

n=1

a

n

x

n

ma promień zbieżności

R =







1/g,

gdy

0 < g < +∞,

0,

gdy

g = +∞,

+∞,

gdy

g = 0.

2007, E. Kotlicka

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

40

Twierdzenie 7.12 (d’Alemberta).

Jeśli a

n

6= 0 dla n ∈ N oraz istnieje granica lim

n→∞





a

n+1

a

n





= g, to szereg

potęgowy

∞

X

n=1

a

n

x

n

ma promień zbieżności

R =







1/g,

gdy

0 < g < +∞,

0,

gdy

g = +∞,

+∞,

gdy

g = 0.

Twierdzenie 7.13.

Szereg potęgowy

∞

X

n=1

a

n

x

n

jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale

domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.

7.4. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych

Twierdzenie 7.14.

Niech f

n

: [a, b] → R będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli

∞

X

n=1

f

n

jest zbieżny jednos-

tajnie na [a, b], to

a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x

0

∈ [a, b] zachodzi równość

lim

x→x

0

∞

X

n=1

f

n

(x) =

∞

X

n=1

lim

x→x

0

f

n

(x);

b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz

b

Z

a

∞

X

n=1

f

n

(x)

!

dx =

∞

X

n=1

b

Z

a

f

n

(x)dx.

Twierdzenie 7.15.

Niech f

n

: [a, b] → R, n ∈ N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b]. Jeśli

∞

X

n=1

f

n

jest zbieżny, zaś szereg

∞

X

n=1

(f

n

)

0

jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu funkcyjnego jest funkcją

różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x ∈ [a, b] zachodzi równość

∞

X

n=1

f

n

(x)

!

0

=

∞

X

n=1

f

0

n

(x).

Wniosek 7.16. Niech (a

n

) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy

∞

X

n=1

a

n

x

n

ma promień

zbieżności R, to dla dowolnego x ∈ (−R, R) mamy

x

Z

0

∞

X

n=1

a

n

t

n

!

dt =

∞

X

n=1

a

n

n + 1

x

n+1

oraz

∞

X

n=1

a

n

x

n

!

0

=

∞

X

n=1

a

n

nx

n−1

,

przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień zbieżności jak
dany szereg.

2007, E. Kotlicka

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

41

7.5. Szereg Taylora i Maclaurina

Definicja 7.17.

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x

0

∈ (a, b).

Szereg potęgowy postaci

f (x

0

) +

∞

X

n=1

f

(n)

(x

0

)

n!

(x − x

0

)

n

,

x ∈ (a, b),

nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x

0

. Jeśli x

0

= 0, to szereg ten nazy-

wamy szeregiem Maclaurina odpowiadającym funkcji f .

Twierdzenie 7.18.

Jeśli funkcja f : (a, b) → R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x

0

∈ (a, b) oraz

(1)

lim

n→∞

R

n

(x) = 0

dla x ∈ (a, b),

gdzie R

n

(x) oznacza resztę we wzorze Taylora odpowiadającym funkcji f , to szereg Taylora odpowiadający

funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość

f (x) = f (x

0

) +

∞

X

n=1

f

(n)

(x

0

)

n!

(x − x

0

)

n

dla x ∈ (a, b).

Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy x

0

= 0).

Uwaga 7.19. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone
na przedziale (a, b).

Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji

e

x

=

∞

X

n=0

x

n

n!

, x ∈ R

sin x =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n+1

(2n + 1)!

, x ∈ R

cos x =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

2n

(2n)!

, x ∈ R

1

1 − x

=

∞

X

n=0

x

n

, x ∈ (−1, 1)

7.6. Szereg Fouriera

Niech T oznacza dowolną liczbę dodatnią.

Definicja 7.20.

Niech (a

n

)

∞

n=0

, (b

n

)

∞

n=1

będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygonometrycznym

nazywamy szereg postaci

a

0

2

+

∞

X

n=1

(a

n

cos

nπx

T

+ b

n

sin

nπx

T

),

x ∈ R.

Uwaga 7.21. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o okresie 2T , więc
jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [−T, T ], to jego suma ma również okres 2T i szereg jest zbieżny do
niej na R.

2007, E. Kotlicka

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

42

Twierdzenie 7.22 (wzory Eulera-Fouriera).

Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie zbieżny na

przedziale [−T, T ] i f jest jego sumą, to

a

n

=

1

T

T

Z

−T

f (x) cos

nπx

T

dx,

n = 0, 1, 2, . . . ,

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (x) sin

nπx

T

dx,

n = 1, 2, . . . .

Definicja 7.23.

Załóżmy, że f : [−T, T ] → R jest funkcją całkowalną na przedziale [−T, T ]. Szereg try-

gonometryczny, w którym współczynniki a

n

, b

n

są określone powyższymi wzorami nazywamy szeregiem

Fouriera odpowiadającym funkcji f .

Definicja 7.24.

Mówimy, że funkcja f : [−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki Dirichleta,

gdy

(1) f (−T ) = f (T ) =

f (−T

+

) + f (T

−

)

2

,

(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie nieciągłości

x

0

∈ (−T, T ) zachodzi warunek:

f (x

0

) =

f (x

−
0

) + f (x

+
0

)

2

,

(3) istnieje podział przedziału [−T, T ]

−T = t

0

< t

1

< · · · < t

k−1

< t

k

= T,

k ∈ N,

taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (t

i−1

, t

i

), i = 1, ..., k.

Twierdzenie 7.25.

Jeśli funkcja f : [−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki Dirichleta, to

f (x) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

(a

n

cos

nπx

T

+ b

n

sin

nπx

T

),

x ∈ [−T, T ],

gdzie współczynniki a

n

, b

n

są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest rozwijalna w

szereg Fouriera na przedziale [−T, T ].

2007, E. Kotlicka