Silnik cieplny

W silnikach (maszynach) cieplnych ciepło zamieniane jest na pracę. Elementami silnika są: źródło ciepła
(grzejnik) o temperaturze T

1

, chłodnica o temperaturze T

2

i substancja robocza.

Pracę silnika charakteryzuje sprawność
(wydajność). Sprawność silnika określa, jaka
część energii pobranej na sposób ciepła może
być przekazana innemu układowi na sposób
pracy.

1

2

1

1

Q

Q

Q

Q

W









sprawność

praca wykonana

ciepło oddane

ciepło pobrane

Q

1

ciepło pobrane

Q

2

ciepło oddane

substancja robocza

2

1

Q

Q

W





wykonana praca

1

T

temperatura źródła ciepła

2

T

temperatura chłodnicy

II zasada termodynamiki:

ciepło pobrane z grzejnika nie może być w całości

zamienione na pracę. Część ciepła musi zostać oddana chłodnicy.

Cykl przemian termodynamicznych

Jeśli po kilku przemianach gaz ma takie parametry, jak w stanie początkowym, mówimy, że powstał cykl przemian
termodynamicznych.

V

p

V

p

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną.
Praca gazu jest ujemna. (W

2

< 0)

Praca wykonana przez gaz (W

1

> 0)

W

W

z

W

W

W

W

W

2

1

2

1









Całkowita praca wykonana przez gaz równa jest polu powierzchni zawartej wewnątrz wykresu w układzie pV

Przykłady cykli termodynamicznych

Praca równa jest polu pod wykresem w układzie pV

1

2

1

1

2

1

1

T

T

T

Q

Q

Q

Q

W













praca wykonana

temperatura chłodnicy

ciepło pobrane

temperatura grzejnika

Sprawność η silnika Carnota (idealnego)

Cykl Carnota

V

p

Cykl Carnota składa się z dwóch izoterm i dwóch adiabat.

A

B

D

C

T

1

= const

T

2

= const

Q = 0

Q = 0

•AB – rozprężanie izotermiczne. Gaz wykonuje pracę kosztem ciepła Q

1

pobranego z grzejnika o temperaturze T

1

.

•BC – rozprężanie adiabatyczne. Gaz wykonuje pracę kosztem swojej
energii wewnętrznej, temperatura obniża się do wartości T

2

.

•CD – sprężanie izotermiczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, ciepło Q

2

jest oddawane do chłodnicy o temperaturze T

2

.

• DA – sprężanie adiabatyczne. Siła zewnętrzna wykonuje pracę, energia
wewnętrzna zwiększa się, temperatura wzrasta do wartości T

1

.

W

AB

> 0,

W

BC

> 0,

W

CD

< 0,

W

DA

< 0,

Q

1

Q

2

Całkowita praca wykonana przez gaz
równa jest polu wewnątrz wykresu.

DA

CD

BC

AB

W

W

W

W

W









ciepło oddane

1

2

1

T

T

T







Wartość jest maksymalną sprawnością silnika dowolnego typu, który pracuje między temperaturami T

1

i T

2

Przykłady

Zadanie 1
Wyprowadź wzór na sprawność silnika Carnota

1

2

1

T

T

T







V

p

A

B

D

C

T

1

= const

T

2

= const

Q = 0

Q = 0

W

AB

> 0,

W

BC

> 0,

W

CD

< 0,

W

DA

< 0,

Q

1

Q

2

Rozwiązanie:
Z definicji sprawności silnika:

1

2

1

Q

Q

Q







Q

1

to ciepło pobrane w przemianie izotermicznej AB, Q

2

to ciepło

oddane w przemianie izotermicznej CD. Z I zasady termodynamiki dla
przemiany izotermicznej mamy:























A

B

AB

V

V

ln

T

R

n

W

Q

1

1























D

C

CD

V

V

ln

T

R

n

W

Q

2

2

A

B

D

C

A

B

V

V

ln

T

V

V

ln

T

V

V

ln

T

Q

Q

Q

1

2

1

1

2

1











Korzystamy z równań dla przemian adiabatycznych BC i DA:

const

VT





1



1

2

1

1











T

V

T

V

C

B

1

2

1

1











T

V

T

V

D

A

równania dzielimy stronami

D

C

A

B

V

V

V

V



1

2

1

1

2

1

1

2

1

T

T

T

V

V

ln

T

V

V

ln

T

V

V

ln

T

Q

Q

Q

A

B

A

B

A

B















Przykłady

Zadanie 2
Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 25%, temperatura chłodnicy 27

0

C. Oblicz temperaturę źródła

ciepła.

Zadanie 3
Silnik wykonał pracę W = 20 kJ, a do chłodnicy oddane zostało ciepło Q = 80 kJ. Oblicz sprawność silnika.

Mamy dlatego,

K

T

T

T

T

T

400

4

3

4

1

1

1

1

2

1

2













5

1







Q

W

W



%

20





Q

Q

W





1

Zadanie 4
Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.

p

p

1

p

2

p

3

V

1

V

2

V

A

B

D

C

W czasie przemiany AB oraz CD praca nie jest
wykonywana. Praca jest wykonywana w czasie
przemian BC oraz DA.
W czasie przemiany BC gaz wykonuje pracę, a
podczas przemiany DA praca jest wykonywana nad
gazem przez siłę zewnętrzną.

DA

BC

W

W

W









1

2

3

V

V

p

W

BC





DA

W

(pole pod wykresem) składa się z pola prostokąta oraz z pola półkola.

Promień półkola: ale także , pole półkola











4

1

2

1

2

1

2

1

V

V

p

p

V

V

p

W

DA













Praca wykonana przez gaz w tym cyklu to:













4

1

2

1

2

1

2

1

3

V

V

p

p

V

V

p

p

W















1

2

p

p

r





2

1

2

V

V

r











4

2

1

2

1

2

2

V

V

p

p

r

P













Przykłady

Zadanie 5
Jaka jest sprawność silnika o cyklu przedstawionym na wykresie? W przemianach uczestniczy 1 mol gazu.

p

p

1

p

2

V

1

V

2

V

A

B

D

C

Sprawność silnika wyraża się wzorem:

p

V

Q

Q

W

Q

W









Pracę obliczamy jako pole pod wykresem:







1

2

1

2

V

V

p

p

W







Ciepło w przemianie izochorycznej AB jest równe zmianie energii wewnętrznej:





A

B

V

V

T

T

nc

Q





Ciepło w przemianie izobarycznej BC jest równe zmianie energii wewnętrznej oraz pracy wykonanej
przez układ:









1

2

2

V

V

p

T

T

nc

Q

B

C

V

p









Temperaturę obliczamy z równania stanu gazu:

nR

V

p

T

A

1

1



nR

V

p

T

B

1

2



nR

V

p

T

C

2

2



1



n

Wstawiamy do wzoru na Q:



















































































V

V

V

V

c

R

V

V

p

p

p

V

R

c

V

V

p

R

V

p

R

V

p

c

R

V

p

R

V

p

c

Q

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2





















































V

V

c

R

V

V

p

p

p

V

c

V

V

p

p

R

1

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2



Rozwiązanie:
Ciepło przekazywane jest do układu w czasie przemian AB oraz BC, a
w kolejnych przemianach ciepło jest odbierane przez chłodnicę.

Przykłady

Zadanie 6
Mol powierza został izochorycznie oziębiony, na skutek czego jego energia wewnętrzna zmniejszyła się o ΔU.
Następnie rozprężając się izobarycznie wykonał pracę W. Znane są parametry początkowe stanu gazu: p

1

i T

1

.

Oblicz p

2

, T

2

, V

1

i V

3

.

p

p

2

p

1

V

1

V

3

V

B (T

2

)

A (T

1

)

C

Praca w przemianie izobarycznej:































v

c

U

T

p

WT

V

V

V

V

p

W

1

1

1

1

3

1

3

2

Zmiana energii wewnętrznej:





v

v

c

U

T

T

T

T

c

U















1

2

2

1

Z równania stanu gazu:

1

1

1

p

RT

V



1

1

1

1

2

2

T

c

U

T

p

V

RT

p

v





















Przykłady

Zadanie 7

Gaz doskonały został poddany przemianom AB i BC przedstawionym na rysunku. Objętość gazu zmieniła się o



V = 0,2 m

2

.

Dane jest ciśnienie gazu w stanie A: p

A

= 30 kPa

. Obliczyć:

a)

zmianę energii wewnętrznej



U w przemianie ABC,

b)

pracę W wykonaną przez gaz w przemianie ABC,

c)

Wykazać, że zmiana energii wewnętrznej



U

jest równa sumie pracy wykonanej nad gazem i ciepła dostarczonego.

C

A

B

T

p

P

A

T

C

Rozwiązanie:
W przemianie BC

ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury, więc jest to przemiana izochoryczna (W

BC

= 0).

Z wykresu wynika, że

a)

b) Praca wykonana przez gaz:
c) Praca wykonana przez siłę zewnętrzną:

Ciepło pobrane przez gaz:

Dla przemiany AB:

Z równania stanu gazu w stanie A:

A

C

T

T







0









A

C

V

ABC

T

T

nc

U

V

p

W

A

z









J

V

p

W

W

A

AB

ABC

600































A

B

A

B

V

p

A

C

V

A

B

p

BC

AB

ABC

T

T

nR

T

T

c

c

n

T

T

nc

T

T

nc

Q

Q

Q























B

A

B

B

A

A

T

V

V

T

V

T

V









A

A

A

p

nRT

V



nR

V

p

nRT

T

A

A

B







V

p

nRT

nR

V

p

nRT

nR

Q

A

A

A

A

ABC













0





z

ABC

W

Q

Przykłady

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

2.

Ile powietrza z atmosfery należy wpompować do zbiornika o pojemności 2 m

3

aby, bez zmiany temperatury,

osiągnąć ciśnienie dziesięciokrotnie większe od atmosferycznego?.

Odp. Trzeba wpompować powietrze o objętości 20 m

3

3.

Ogrzano gaz w balonie, przy stałym ciśnieniu, od temperatury t

1

= 7

0

C do temperatury t

2

= 107

0

C.

Oblicz objętość końcową gazu, jeśli objętość początkowa wynosiła 28 m

3

.

Odp. Objętość końcowa gazu wynosiła 37 m

3

4.

Sprawność idealnego silnika cieplnego wynosi 20%, temperatura źródła ciepła 127

0

C. Oblicz temperaturę

chłodnicy.

Odp. Temperatura chłodnicy wynosi 320 K, czyli 47

0

C

1.

Opona zawiera powietrze o ciśnieniu p w temperaturze t. O ile wzrośnie ciśnienie powietrza w oponie, przy
stałej objętości, jeśli jego temperatura wzrośnie o



t ?

Odp. Ciśnienie wzrośnie o

5.

Silnik pobrał ciepło Q

1

=2000 J, a do chłodnicy odprowadzono ciepło Q

2

= 1800 J Jaka praca została

wykonana?

Odp. Praca wynosi 200 J

273









t

t

p

p

6.

Na wykresie został przedstawiony zamknięty cykl termodynamiczny. Oblicz jaką pracę wykonał gaz w tym cyklu.

Odp.:

7.

Silnik cieplny pobiera 3 razy więcej ciepła niż oddaje do chłodnicy. Oblicz sprawność tego silnika.

Odp.:

8.

Gaz doskonały uległ przemianie przedstawionej na wykresie. O ile zmieniła się jego temperatura?

Odp.:

ΔT = 0

9.

Ile ciepła jest dostarczane oraz odbierane z idealnego silnika, który wykonuje pracę W, jeśli temperatura
grzejnika wynosi T

1

a temperatura chłodnicy T

2

?

Odp.:

p

p

1

V

3

p

2

V

1

V

2

V

A

B

D

C































1

2

1

3

1

2

2

1

V

V

V

V

p

p

W

3

2





p[kPa]

1
0

4

4

1

V[m

3

]

A

B

2

1

1

1

T

T

W

T

Q





W

T

T

W

T

Q







2

1

1

2

10.

Jakie jest ciepło pobrane oraz jaką pracę wykonuje silnik Carnota o sprawności η, jeśli w każdym cyklu oddaje
do chłodnicy ciepło Q

2

.

Odp.:







1

2

1

Q

Q









1

2

Q

W