**.Identyfikacja stochastyczna

( ) ( ) ( )

t

z

t

y

t

u

,

,

- stacjonarne (ergodyczne?) procesy stochastyczne,

0

≡

=

=

z

y

u

m

m

m

- wartości średnie procesów,

**.Charakterystyki procesów stochastycznych


Charakterystyki statyczne gęstość prawdopodobieństwa (dystrybuanta prawdopodobieństwa)


Gęstość prawdopodobieństwa określona jest przez wzór:

( )

( )

{

}

x

x

x

t

x

x

P

x

f

x

def

x

lim

0

∆

∆

+

<

≤

=

→

∆

wzór określa prawdopodobieństwo że proces

( )

t

x

znajdzie się w „rurce”

(

)

x

x

x

,

∆

+

.

Dystrybuantę dla procesu

( )

t

x

określa następny wzór:

( )

( )

( )

{

}

0

x

t

x

P

d

f

x

F

x

x

x

≤

=

=

∫

ξ

ξ

( )

( )

x

d

x

F

d

x

f

x

x

=

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta posiadają następujące własności:

( )

( )

( )

0

1

lim

1

x

0

≥

≡

≡

∞

→

∞

∫

dx

x

dF

x

F

dx

x

f

xx

xx

x

Charakterystyki dynamiczne funkcja korelacji (gęstość widmowa)


Funkcja korelacji własnej dla stacjonarnego ergodycznego procesu

( )

t

x

o wartości średniej

0

≡

x

m

dana jest wzorem, funkcja ta osiąga swoją maksymalną wartość dla

0

=

τ

.

( )

( ) ( )

( )

0

1

lim

0

xx

MAX

xx

T

T

xx

R

R

dt

t

x

t

x

T

R

=

+

⋅

=

∫

∞

→

τ

τ

Funkcja określa jaki jest związek pomiędzy wartością funkcji

( )

t

x

a jej wartością

(

)

t

t

x

∆

+

.

Wprowadza się również funkcję korelacji wzajemnej w postaci:

( )

( ) ( )

∫

+

⋅

=

∞

→

T

T

xy

dt

t

y

t

x

T

R

0

1

lim

τ

τ

Transformata Fouriera funkcji korelacji własnej zwana jest gęstością widmową własną
sygnału

( )

t

x

:

( )

( )

∫

+∞

∞

−

−

=

τ

τ

ω

ωτ

d

e

R

j

Φ

j

xx

xx

Funkcja gęstości widmowej własnej jest funkcją rzeczywistą i symetryczną:

( )

( )

ω

ω

xx

xx

Φ

j

Φ

=

( )

(

)

ω

ω

j

Φ

j

Φ

xx

xx

−

=

Podobnie transformata Fouriera funkcji korelacji wzajemnej zwana jest gęstością widmową
wzajemną sygnałów

( )

t

x

i

( )

t

y

:

( )

( )

∫

+∞

∞

−

−

=

τ

τ

ω

ωτ

d

e

R

j

Φ

j

xy

xy

Charakterystyki statyczne i dynamiczne sygnału stochastycznego

( )

t

x

powiązane są

zależnością:

( )

2

2

x

xx

d

j

Φ

πσ

ω

ω

=

∫

+∞

∞

−

2

x

σ

- wariancja sygnału

( )

t

x

.

Oczywiście poprzez odwrotną transformatę Fouriera prawdziwe są dwa następne równania:

( )

( )

2

1

∫

+∞

∞

−

−

=

ω

ω

π

τ

ωτ

d

e

j

Φ

R

j

xy

xy

( )

( )

2

1

∫

+∞

∞

−

−

=

ω

ω

π

τ

ωτ

d

e

j

Φ

R

j

xx

xx