1 kolokwium z Metod Probabilistycznych i Statystyki 2.04.2012

Część zadaniowa

Zadanie 1. (4p) Ile można utworzyć liczb parzystych sześciocyfrowych o nie powtarzających się
cyfrach i przy założeniu, że zero nie występuje na pierwszym miejscu.

Zadanie 2. (4p) Dwie osoby X i Y umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między godziną
12:30 i 13:30 w ten sposób, że osoba która przyjdzie pierwsza czeka jedynie 10 minut, po czym
odchodzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby X i Y spotkają się, jeśli każda z nich przychodzi
losowo w podanym przedziale czasu i niezależnie od siebie.

Zadanie 3. (4p) Na rys.1, gdzie z

1

, z

2

, z

3

, oznaczają żarówki, dany jest schemat fragmentu sieci

elektrycznej. Prawdopodobieństwo nieprzepalenia się w czasie t godzin jest dla wszystkich żarówek
jednakowe i wynosi p. Zakładając, że żarówki przepalają się niezależnie od siebie, obliczyć
prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t.

Zadanie 4. (4p) Na linii łączności nadaje się dwa rodzaje sygnałów w postaci kodowych kombinacji 11
albo 00 z prawdopodobieństwami (a priori) odpowiednio równymi 0.6 i 0.4. Sygnały podlegają
losowym zakłóceniom, w rezultacie czego symbol 1 może być odebrany jako 0 z
prawdopodobieństwem 0.2, i z takim samym prawdopodobieństwem symbol 0 może być odebrany
jako 1. Zakładamy, że symbole 1 i 0 ulegają zakłóceniom niezależnie jeden od drugiego. Obliczyć
prawdopodobieństwa: a) odebrania na wyjściu sygnału 00, b) na wyjściu odebrano sygnał 01, jakie
jest prawdopodobieństwo, że został on nadany jako sygnał 00.

Zadanie 5. (4p) Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

x

i

–5

–2

0

1

3

5

p

i

0.1

0.2

0.1

0.2

c

0.1

Obliczyć: a) stałą c, b) dystrybuantę i sporządzić jej wykres, c) prawdopodobieństwa: P(X = 1),
P(X = 2), P(X < 3), P(–2 ≤ X < 3)

Część teoretyczna

Pytanie 1. Podaj definicję i właściwości dystrybuanty zmiennej losowej. (5p)

Pytanie 2. Podaj definicję i właściwości gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej. (3p.)

Pytanie 3. Podaj i omów częstościową definicję prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. (2p.)