Powtórzenie.

I. Obliczyć wartość wyrażenia.

1) 100

1
2

,

2) 25

0,5

,

3) 16

3
2

,

4) 8

2
3

,

5) 9

−

1
2

,

6)

µ

25

4

¶

1
2

,

7) (0, 25)

−

1
2

,

8) (0, 01)

−

1
2

,

9) (0, 001)

1
3

,

10)

µ

2

1
4

¶

−

1
2

,

11) (0, 125)

−

1
3

,

12) 3

1
2

· 27

1
6

,

13) 2

1
2

·

√

32,

14)

3

√

3 · 3

2
3

,

15)

"µ

2
3

¶

−1

− 0, 75

#

−1

.

II. Przedstawić dany pierwiastek w postaci potęgi.

1)

3

√

x,

2)

5

√

y,

3)

10

√

z,

4)

4

√

a

3

,

5)

7

√

b

5

,

6)

1

√

t

,

7)

1

4

√

d

,

8)

1

5

√

x

2

,

9)

a

√

x,

10)

a

p

y

b

,

11)

1

m

√

x

n

.

III. Przedstawić dane wyrażenie w postaci pierwiastka.

1) x

1
5

,

2) y

2
3

,

3) z

0,1

,

4) a

1

m

,

5) b

3

n

,

6) x

a
3

,

7) y

a

b

,

8) a

−

1
2

,

9) b

−

1
7

,

10) m

−

3
5

,

11) t

−

1
a

,

12) a

1
2

· a

1
3

,

13) b

1
2

· b

−

1
3

,

14) x

−0,2

· x

1,4

,

15)

√

x ·

4

√

x,

16)

3

√

x

2

·

4

√

x

3

,

17)

6

√

x

5

· x

−

1
3

,

18)

8

√

x

5

4

√

x

.

1

IV. Obliczyć wartość wyrażenia.

1) log

4

16,

2) log

2

32,

3) log

2

1
4

,

4) log 0, 1,

5) log 0, 001,

6) log

2

√

2,

7) log

3

4

√

3,

8) log

2

3

√

8,

9) log

1/2

4,

10) log

1/4

16,

11) log

1/3

1
9

,

12) log

0,1

10,

13) log

2/3

4
9

,

14) log 20 + log 5,

15) log 50 − log 5.

V. Rozwiązać równania stopnia pierwszego.

1) mx − n = 0,

2)

1
2

x = 7,

3)

2
3

x − 4 = 0,

4) 0, 5x −

1
4

= 0,

5)

1
2

x +

1
3

x +

3
4

x − 2x = 5,

6) mx + 3 = 2x − 7,

7) ax + b = cx + d,

8)

x
a

+

1

b

= 5,

9)

x − 1

a − b

=

x + 1

a + b

,

10)

x − 1
x + 1

=

x

x + 4

.

VI. Rozwiązać równania.

1) x

2

− 7x + 12 = 0,

2) x

2

− 8x + 16 = 0,

3) x

2

− 2x + 3 = 0

4) x

2

− 25 = 0,

5) 4x

2

− 9 = 0,

6) x

2

+ 7 = 0,

7) x

2

− 3x = 0,

8) 5x

2

+ 4x = 0,

9) x

2

+ mx = 0,

10) ax

2

+ bx = 0,

11)

x + 4
x + 2

−

x

x − 4

= 2,

12) x

3

− 1 = 0,

13) x

3

+ 8 = 0,

14) x

3

− 4x = 0,

15) 2x

3

− 3x

2

= 0,

16) x

3

− 4x

2

+ 3x = 0,

17) x

3

+ 2x

2

+ 5x = 0,

18) x

4

− 5x

2

+ 4 = 0.

2

VII. Roziązać układ równań liniowych.

1)

½

x + y = 7
x − y = 2

2)

½

2x + 3y = 5

2x − y = 3

3)

½

3x + 2y = 7
4x + 3y = 10

4)

½

ax + y = 3

2x + 3y = 4

5)

½

ax + by = 1

2x + y = 3

6)

½

ax + by = 5
cx + dy = 6

7)

½

mx + ny = a

px + ry = b

8)







2x + y + z = 7
3x − y + z = 4

4x + 5z = 19

VIII. Przedstawić graficznie kolejne trzy funkcje na jednym układzie współrzędnych.

1) y = x

2

,

y = x

2

+ 2,

y = x

2

− 1.

2) y = x

2

,

y = (x + 2)

2

,

y = (x − 1)

2

.

3) y = x

2

,

y = −x

2

,

y = −(x − 2)

2

.

4) y =

1

x

,

y =

1

x−1

,

y =

1

x

+ 1.

5) y = 3

x

,

3

x

− 1,

y = 3

−x

.

6) y = log

3

x,

y = log

3

(x − 2),

y = log

3

(x + 1).

IX. Rozwiązać nieróności.

1) 4x + 3 > 2x + 6,

2) 2x + 5 ≤ 6x + 9,

3)

1
2

x +

2
3

>

1
4

+ 2,

4) (2x + 3)

2

+ (x − 1)(x + 1) < 5x

2

− 6,

5) x

2

− 5x + 4 < 0,

6) x

2

− 3x + 2 ≥ 0,

7) 2x

2

+ 5x ≤ 0,

8) x

2

− 9 < 0,

9) 4x

2

− 1 > 0,

10)

x + 1
x + 2

< 0,

11)

2x + 1

x − 1

≥ 1,

12)

x

2

− 2x

x + 4

< 0,

13)

2x + 3

1 − x

2

> 0,

14)

x

2

− 4x − 5

x − x

2

≥ 0.

3

X. Rrozwiązać układ nierówności.

1)

½

2x + 3 > 0
3x − 1 < x + 5

2)

½

3x + 4 < 4x + 6
2x + 5 > x + 6

3)

½

3x + 2 > 2x − 5

1
4

x − 1 > 0

4) 2x + 3 < 3x + 1 < x + 9,

5) 2x + 3 > 3x + 4 > x + 6.

XI. Wyznaczyć funkcję odwrotną względem danej funkcji.

1) y =

1
3

x − 2,

2) v = 5t − 10,

3) y = 3

x

,

4) s = 5

t

,

5) y = log x,

6) a = log

2

b,

7) y =

x + 1
x − 1

.

Odpowiedzi I.

1) 10,

2) 5,

3) 64,

4) 4,

5)

1
3

,

6)

5
2

,

7) 2,

8) 10,

9) 10,

10)

2
3

,

11) 2,

12) 3,

13) 8,

14) 3,

15)

4
3

.

II.

1) x

1
3

,

2) y

1
5

,

3) 2

1

10

,

4) a

3
4

,

5) b

5
7

,

6) t

−

1
2

,

7) d

−

1
4

,

8) b

−

2
5

,

9) x

1
a

,

10) y

b

a

,

11) x

−

n

m

.

4

III.

1)

5

√

x,

2)

3

p

y

2

,

3)

10

√

z,

4)

m

√

a,

5)

n

√

b

3

,

6)

3

√

x

a

,

7)

b

√

y

a

,

8)

1

√

a

,

9)

1

7

√

b

,

10)

1

5

√

m

3

,

11)

1

a

√

t

,

12)

6

√

a

5

,

13)

6

√

b,

14)

5

√

x

6

,

15)

4

√

x

3

,

16)

12

√

x

17

,

17)

√

x,

18)

8

√

x

3

.

IV.

1) 2,

2) 5,

3) − 2,

4) − 1,

5) − 3

6)

1
2

,

7)

1
4

,

8) 1,

9) − 2,

10) − 2,

11) 2,

12) − 1,

13) 2,

14) 2,

15) 1.

V.

1) x =

n

m

,

2) x = 14,

3) x = 6,

4) x =

1
2

,

5) x = −

5

12

,

6) x =

10

2 − m

,

7) x =

d − b
a − c

,

8) x =

a(5b + 1)

b

,

9) x =

a

b

,

10) x = 2.

5

VI.

1) x

1

= 2, x

2

= 4,

2) x

0

= 4,

3) x ∈ ∅,

4) x

1

= −5, x

2

= 5,

5) x

1

= −

2
3

, x

2

=

2
3

,

6) x ∈ ∅,

7) x

1

= 0, x

2

= 3,

8) x

1

= −

4
5

, x

2

= 0,

9) x

1

= −m, x

2

= 0,

10) x

1

= −

b

a

, x

2

= 0,

11) x

1

= 0, x

2

= 1,

12) x = 1,

13) x = −2,

14) x = 0, x = ±2,

15) x

1

= 0, x

2

=

3
2

,

16) x

1

= 0 x

2

= 1, x

3

= 2,

17) x = 0,

18) x = ±1, x = ±

√

2.

VII.

1) x =

9
2

, y =

5
2

,

2) x =

7
4

, y =

1
2

,

3) x = 1, y = 2,

4) x =

5

3a − 2

, y =

4a − 6
3a − 2

,

5) x =

1 − 3b
a − 2b

, y =

3a − 2

a − 2b

,

6) x =

5d − 6b
ad − bc

, y =

6a − 5c

ad − bc

,

7) x =

ar − bn

mr − np

, y =

bm − ap

mr − np

,

8) x = 1, y = 2, z = 3.

IX.

1) x ∈ (

3
2

, +∞),

2) x ∈ h−1, +∞),

3) x ∈ (

19

6

, +∞),

4) x ∈ (−∞, −

7
6

),

5) x ∈ (1, 4),

6) x ∈ (−∞, 1i ∪ h2, +∞),

7) h−

5
2

, 0i,

8) x ∈ (−3, 3),

9) x ∈ (−∞, −

1
2

) ∪ (

1
2

, +∞),

10) x ∈ (−2, −1),

11) x ∈ (−∞, −2i ∪ (1, +∞),

12) x ∈ (−∞, −4) ∪ (0, 2),

13) x ∈ (−∞, −

3
2

) ∪ (−1, 1),

14) x ∈ h−1, 0) ∪ (1, 5i.

6

X.

1) x ∈ (−

3
2

, 3),

2) x ∈ (1, +∞),

3) x ∈ (4, +∞),

4) x ∈ (−2, 4),

5) x ∈ ∅.

XI.

1) y = 3x + 6,

2) v =

1
5

t + 2,

3) y = log

2

x,

4) s = log

5

t,

5) y = 10

x

,

6) a = 2

b

,

7) y =

x + 1
x − 1

.

Macierze, wyznaczniki i układy równań.

I. Obliczyć wartość wyznacznika.

1)

¯

¯

¯

¯

5 3
4 8

¯

¯

¯

¯ ,

2)

¯

¯

¯

¯

17 3
34 7

¯

¯

¯

¯ ,

3)

¯

¯

¯

¯

x x + y
y x + y

¯

¯

¯

¯ ,

4)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2 4 6
4 5 6
7 8 9

¯

¯

¯

¯

¯

¯

,

5)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 2 3
1 1 2
3 2 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

,

6)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2 3 2

1

0 2 1

1

0 3 2 −2
0 4 0

5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

,

7)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2 3

2

0

1 2

4

3

2 3 −2 1
0 4

0

2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

II. Rozwiązać równanie.

1)

¯

¯

¯

¯

2x 3x

1

4

¯

¯

¯

¯ = 10,

2)

¯

¯

¯

¯

x − 3 2

−1

x

¯

¯

¯

¯ = 0,

3)

¯

¯

¯

¯

3x + 4 −3

2

x

¯

¯

¯

¯ = 6,

4)

¯

¯

¯

¯

x

−2

2 x − 2

¯

¯

¯

¯ = 0,

5)

¯

¯

¯

¯

ax + b 1
cx + d 2

¯

¯

¯

¯ = 0,

6)

¯

¯

¯

¯

5

x

−10

0, 1

−1

¯

¯

¯

¯ = 0,

4)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

2

0

0 x

2

−2

1 x

1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= 0,

5)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0 x

2

5

1

2

−4

1

1

x

2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= 0.

7

III. Rozwiązać nierówność.

1)

¯

¯

¯

¯

2x 3

2

1

¯

¯

¯

¯ > 0,

2)

¯

¯

¯

¯

x − 6 4

−2

x

¯

¯

¯

¯ < 0,

3)

¯

¯

¯

¯

2 − x x

−1

x

¯

¯

¯

¯ < 0,

4)

¯

¯

¯

¯

1

x−2

x

2

0

x − 1

¯

¯

¯

¯ < 0,

5)

¯

¯

¯

¯

1

x+1

1

1

x + 2

¯

¯

¯

¯ > 0.

IV. Dane są macierze

A =

·

1

2

2 −3

¸

,

B =

·

0 1

2

3 0 −1

¸

, C =

·

0 3
2 4

¸

,

D =





2

0

1

2

0 −1



 , E =

·

1 0
0 1

¸

,

F =





x y z
a

b c

m n p



 , G =





0 0 2
0 2 0
2 0 0



 ,

H =





1 2 0 1
3 2 0 1
0 1 2 1



 , L =





1 0 0
0 1 0
0 0 1



 .

Znaleźć macierze.

M

1

= A + C,

M

2

= 3A + 2C,

M

3

= A − E,

M

4

= B + D

T

,

M

5

= A · C,

M

6

= A · E,

M

7

= A · C

T

,

M

8

= B · D,

M

9

= D · B,

M

10

= D · E,

M

11

= E · D,

M

12

= F · G,

M

13

= G · F,

M

14

= H

T

· L,

M

15

= L · H.

V. Dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.

1) A =

£

x + 1 y

¤

,

B =

£

2y x − 1

¤

,

2) A =

£ √

3 4

¤

,

B =

£

3

x

log

2

y

¤

,

3) A =

·

x + 2

0

3

y + 1

¸

,

B =

·

y + 1

0

3

2x

¸

.

VI. Dla jakich wartości x, y i z macierze A i B są równe.

1) A =

£

x + y x + z y + z

¤

,

B =

£

3 4 −1

¤

,

2) A =

·

x + y 0
x − z z

¸

,

B =

·

2

0

1 y − 3

¸

.

8

VII. Dla jakich wartości x i y spełnione są równania.

1) A + B = C, gdzie A =

·

x

2

y −1

¸

,

B =

·

y

−2

−x

1

¸

,

C =

·

4 0
2 0

¸

,

2) 2A − B = C, gdzie A =

·

x 3
x 3

¸

,

B =

·

y

1

−y 0

¸

,

C =

·

3 5

x 6

¸

,

3) A + B = C, gdzie A =

·

ax x − y

mx

3

¸

,

B =

·

by y − x

ny

1

¸

,

C =

·

c 0

d 4

¸

.

VIII. Dla jakich wartości x i y spełnione są równania.

1) A · B = C, gdzie A =

·

1 2
1 1

¸

,

B =

·

x
y

¸

,

C =

·

1
0

¸

,

2) A · B = C, gdzie A =

·

4 2
2 1

¸

,

B =

·

x
y

¸

,

C =

·

2
1

¸

,

3) A · B = C, gdzie A =

·

1 1
2 2

¸

,

B =

·

x
y

¸

,

C =

·

3
4

¸

.

IX. Dla jakich wartości x macierz A jest osobliwa?

1) A =

·

x − 8 −2

8

x

¸

,

2) A =

·

x + 2 2
x + 1 x

¸

,

3) A =

·

x + 2 2

−2

x

¸

,

4) A =





1 2 3
7 8 x
4 5 6



 ,

5) A =

·

4 − log x

1

4

log x

¸

.

X. Znaleźć macierz odwrotną względem macierzy A.

1) A =

·

2 4
1 3

¸

,

2) A =





2 0 0
0 2 0
0 0 2



 ,

3) A =





1 2 3
2 1 1
3 0 0



 .

XI. Rozwiązać układ równań za pomocą macierzy odwrotnej.

1)

½

x + y = 3
x − y = 1

2)

½

2x + y = 1

x + y = 0

3)







2x − 4y + 3z = 1

x − 2y + 4z = 3
3x − y + 5z = 2

9

XII. Rozwiązać układ równań za pomocą wzorów Cramera.

1)

½

2x − y = 3
x + 2y = 4

2)

½

ax + by = r

mx + ny = s

3)







x + y = 3

2x − z = −1

y + z = 5

4)







x + 2y + 3z = 6

2x + y + z = 2

3x − y + 2z = 4

XIII. Dla jakich wartości a dany układ równań jest oznaczony.

1)

½

ax + y = 2

4x + y = 3

2)

½

x + ay = 2

2x + y = 4

XIV. Dla jakich wartości a dany układ równań ma niezerowe rozwiązania. Znaleźć te rozwiązania.

1)

½

ax + y = 0

2x + y = 0

2)







ax − y + z = 0

2x + y + z = 0

3x + 3y + 2z = 0

Odpowiedzi.
I.

1) 28,

2) 17,

3) x

2

− y

2

,

4) 0,

5) 4,

6) − 22,

7) 112.

II.

1) x = 2,

2) x

1

= 1, x

2

= 2,

3) x

1

= −

4
3

, x

2

= 0,

4) x ∈ ∅,

5) x =

d − 2b
2a − c

,

6) x = 0,

7) x = −1 ±

√

5,

8) x ∈ ∅.

III.

1) x ∈ (3, +∞),

2) x ∈ (2.4),

3) x ∈ (−∞, 0) ∪ (3, +∞),

4) x ∈ (1, 2),

5) x ∈ (−1, +∞).

10

IV.

M

1

=

·

1 5
4 1

¸

,

M

2

=

·

3

12

10 −1

¸

,

M

3

=

·

0

2

2 −4

¸

,

M

4

=

·

2 2

2

3 2 −2

¸

,

M

5

=

·

4

11

−6 −6

¸

,

M

6

=

·

1

2

2 −3

¸

,

M

7

=

·

6

10

−92 −8

¸

,

M

8

=

·

1 0
6 1

¸

,

M

9

=





0

2 4

6

1 0

−3 0 1



 ,

M

10

=





2

0

1

2

0 −1



 ,

M

11

nie istnieje,

M

12

=





2z 2y

2x

2c 2b

2a

2p 2n 2m



 ,

M

13

=





2m 2n 2p

2a

2b 2c

2x 2y 2z



 ,

M

14

=









1 3 0
2 2 1
0 0 2
1 1 1







 ,

M

15

=





1 2 0 1
3 2 0 1
0 1 2 1



 ,

V.

1) x = 3, y = 2,

2) x =

1
2

, y = 2,

3) x = 2, y = 3.

VI.

1) x = 4, y = −1, z = 0,

2) x = 0, y = 2, z = 3.

VII.

1) x = 1, y = 3,

2) x = 1, y = 0,

3) x =

cn − bd

an − bm

, y =

ad − cm

an − bm

.

VIII.

1) x = 0, y = 1,

2) y = 1 − 2x, x ∈ R,

3) x ∈ ∅, y ∈ ∅.

IX.

1) x = 4,

2) x = ±

√

2,

3) x ∈ ∅,

4) x = 9,

5) x = 100.

11

X.

1) A

−1

=

·

3
2

−2

−

1
2

1

1

¸

,

2) A

−1

=





1
2

0 0

0

1
2

0

0 0

1
2



 ,

3) A

−1

=





0

0

1
3

−1

3

−

5
3

1

−2

1



 .

XI.

1) x = 2, y = 1,

2) x = 1, y = −1,

3) x = −1, y = 0, z = 1.

XII.

1) x = 2, y = 1,

2) x =

nr − bs

an − bm

, y =

as − mr

an − bm

,

3) x = 1, y = 2, z = 3,

4) x = 0, y = 0, z = 0.

XIII.

1) a 6= 4,

2) a 6=

1
2

.

XIV.

1) a = 2, y = −2x x ∈ R,

2) a = 4, x = −

1
3

z, y = −

1
3

z, z ∈ R.

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej.

I. Znaleźć dziedzinę funkcji.

1) f (x) =

√

2x − 4,

2) f (x) = log(3 − 2x),

3) f (x) = log(x − x

2

),

4) f (x) =

√

x

2

− 4,

5) f (x) =

√

x

2

− 4x + 4,

6) f (x) = ln(10x − x

2

− 25),

7) f (x) = ln

x − 1
x − 2

,

8) f (x) = ln(x − 1) + ln(x − 2),

9) f (x) =

p

log(x − 3).

12

II Obliczyć pochodną funkcji.

1) y = x

5

,

2) y = x

1/3

,

3) y = x

0,1

,

4) y = x

−3

,

5) y =

3

√

x,

6) y =

1

x

4

,

7) y = t

3

,

8) K =

1
r

,

9) v =

√

t,

10) y = x

4

+ 3x

2

+ 5x + 7,

11) u = t

7

+ 2t

5

+

1

t

3

,

12) w =

3

√

s +

1

s

2

+

√

3,

13) F =

√

t + 4

4

√

t

3

,

14) y = x

2

· e

x

,

15) y = x

3

lnx,

16) y = t

4

· 2

t

,

17) y =

e

x

x

,

18) u =

lnt

t

2

19)y =

x

2

+ 2x
e

x

,

20) y =

2x + 3
3x + 2

,

21) K =

t

2

+ 3

2t + 1

.

III Obliczyć pochodną funkcji złożonej.

1) y = e

20x

,

2) y = e

2−3x

,

3) T = e

5s+3

,

4) k = e

t

3

,

5) y = ln3x,

6) y = ln(5x + 3),

7) y = ln(x

2

+ 5x),

8) y = (x

2

+ 1)

10

,

9) y = (1 + lnx)

5

,

10) y =

√

3x + 7,

11) y =

7

p

(2x + 1)

2

.

IV Narysować funkcję i jej pochodną (na tym samym układzie współrzędnych).

1) y = 4x,

2) y =

1
2

x,

3) y = 1 − x,

4) y = e

2x

,

5) y = e

−x

,

6) y = x

2

,

7) y = lnx,

V Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest rosnąca.

1) y = x

2

− 2x,

2) y = x

3

− 3x,

3) y = ln(x

2

− 2x).

VI Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest malejąca.

1) y =

1

x

,

2) y =

1
3

x

3

−

3
2

x

2

, +2x,

3) y = −x

2

+ 2x.

13

VII Obliczyć wartość funkcji oraz jej pochodną w danym punkcie.

1) f (x) = x

2

+ 2x,

x

0

= 2,

2) f (x) = x

3

− 9x,

x

0

= 1,

3) f (x) =

1

x

,

x

0

=

1
2

,

4) f (x) = x · e

x

,

x

0

= 0,

5) f (x) =

lnx

x

,

x

0

= 1,

6) f (x) = (x

2

+ 1)

5

,

x

0

= 0,

7) f (x) =

x − 1
x + 1

,

x

0

= 1,

8) f (x) = e

x

+ e

2x

+ e

−x

,

x

0

= ln2.

VIII Obliczyć pochodną drugiego rzędu (w zad. 1, 2, 3 również trzeciego rzędu).

1) y = x

4

+ 5x

2

+ 3x,

2) y = e

2x

+ e

−x

,

3) y = lnx,

4) K = e

−5t

,

5) R = e

t

2

,

6) s = ln(2t + 3).

IX Wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest wypukła ku górze

(zad. 1, 2, 3) oraz wypukła ku dołowi (zad. 4,5,6).

1) f (x) = x

2

− 3x,

2) f (x) = x

3

− 9x,

3) f (x) = lnx,

4) f (x) = 4 − 2x

2

,

5) f (x) = 12x − x

3

,

6) f (x) = x

4

− x

3

.

X Wyznaczyć przedziały, w których funkcja rośnie coraz szybciej

(zad. 1, 2), maleje coraz wolniej (zad. 3, 4).

1) f (x) = x

3

− 3x,

2) f (x) = x +

1

x

,

3) f (x) = 12x − x

3

,

4) f (x) =

1

x

.

XI Wyznaczyć ekstrema funkcji.

1) f (x) = x

2

− 6x + 9,

2) f (x) = x

2

+ 4x + 5,

3) f (x) = x

3

,

4) f (x) = e

−

1
2

x

2

,

5) f (x) = e

x

+ e

−x

,

6) f (x) = x

4

− 6x

2

.

14

XII Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji.

1) f (x) = x

3

,

2) f (x) =

1
3

x

3

− x

2

,

3) f (x) = 2x −

1

x

,

4) f (x) = e

−

1
2

x

2

.

XIII Wyznaczyć miejsca zerowe, ekstrema i punkty przegięcia funkcji oraz

naszkicować jej wykres.

1) f (x) = x

3

+ 6x

2

,

2) f (x) = x

3

+ 6x

2

+ 9x,

3) f (x) = 4x

2

−

1
4

x

4

,

4) f (x) =

lnx

x

.

Odpowiedzi.

I.

1) x ∈ h2, +∞),

2) x ∈ (−∞,

3
2

),

3) x ∈ (0, 1),

4) x ∈ (−∞, −2i ∪ h2, +∞),

5) x ∈ R,

6) x ∈ ∅,

7) x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞),

8) x ∈ (2, +∞),

9) x ∈ h4, +∞).

15

II.

1) 5x

4

,

2)

1

3

3

√

x

2

,

3) 0, 1y

−0,9

4) − 3x

−4

,

5)

1

3

3

√

x

2

,

6) − 4e

−5

,

7) 3t

2

,

8) −

1

r

2

,

9)

1

2

√

t

,

10) 4x

3

+ 6x + 5,

11) 7t

6

+ 10t

4

−

3

t

4

,

12)

1

3

3

√

s

2

−

2

s

3

,

13)

1

2

√

t

+

3

4

√

t

,

14) (2x + x

2

)e

x

,

15) (3lnx + 1)x

2

,

16) (4 + tln2)t

3

2

t

,

17)

e

x

(x − 1)

x

2

,

18)

1 − 2lnt

t

3

,

19)

2 − x

2

e

x

,

20) −

5

(3x + 2)

2

,

21)

2t

2

+ 2t − 6

(2t + 1)

2

.

III.

1) 20e

20x

,

2) − 3e

2−3x

,

3) 5e

5s+3

,

4) 3t

2

e

t

3

,

5)

1

x

,

6)

5

5x + 3

,

7)

2x + 5

x

2

+ 5x

,

8) 20x(x

2

+ 1)

11

,

9)

5(1 + lnx)

4

x

,

10)

3

2

√

3x + 7

,

11)

4

7

7

p

(2x + 1)

5

.

V.

1) x ∈ (1, +∞),

2) x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞),

3) x ∈ (2, +∞).

VI.

1) x ∈ R \ {0},

2) x ∈ (1, 2),

3) x ∈ (1, +∞).

16

VII.

1) f (2) = 8, f

0

(2) = 6,

2) f (1) = −8, f

0

(1) = −6,

3) f (

1
2

) = 2, f

0

(

1
2

) = −4,

4) f (0) = 0, f

0

(0) = 1,

5) f (1) = 0, f

0

(1) = 1,

6) f (0) = 1, f

0

(0) = 5,

7) f (1) = 0, f

0

(1) =

1
2

,

8) f (ln2) = 6, 5, f

0

(ln2) = 9, 5.

VIII.

1) y

0

= 4x

3

+ 10x + 3,

y

00

= 12x

2

+ 10,

y

000

= 24x,

2) y

0

= 2e

2x

− e

−x

,

y

00

= 4e

2x

+ e

−x

,

y

000

= 8e

2x

− e

−x

,

3) y

0

=

1

x

,

y

00

= −

1

x

2

,

y

000

=

2

x

3

,

4) K

0

= −5e

−5t

,

K

00

= 25e

−5t

,

5) R

0

= 2te

t

2

,

R

00

= (2 + 4t

2

)e

t

2

,

6) s

0

=

2

2t + 3

,

s

00

= −

4

(2t + 3)

2

,

IX.

1) x ∈ ∅,

2) x ∈ (−∞, 0),

3) x ∈ (0, +∞),

4) x ∈ ∅,

5) x ∈ (−∞, 0),

6) x ∈ (−∞, 0) ∪ (

1
2

, +∞).

X.

1) x ∈ (1, +∞),

2) x ∈ (1, +∞),

3) x ∈ (−∞, −2),

4) x ∈ (0, +∞).

XI.

1) f

min

(3) = 0,

2) f

min

(−2) = 1,

3) Brak ekstremów,

4) f

max

(0) = 1,

5) f

min

(0) = 2,

6) f

min

(−

√

3) = f

min

(

√

3) = −9, f

max

(0) = 0.

17

XII.

1) (0, 0),

2) (1, −

2
3

),

3) Brak punktów przegięcia,

4) (1, −

1

√

e

), (−1, −

1

√

e

).

XIII.
1) Miejsca zerowe (0, 0), (−6, 0),

f

max

(−4) = 160, f

min

(0) = 0,

punkt przegięcia (−2, 16).

2) Miejsca zerowe (0, 0), (−3, 0),

f

max

(−3) = 0, f

min

(−1) = 4,

punkt przegięcia (−2, −2).

3) Miejsca zerowe (0, 0), (−4, 0), (4, 0)

f

max

(−

√

8) = f

max

(

√

8 = 16, f

min

(0) = 0,

punkty przegięcia

¡

−

q

8
3

,

80

9

¢

,

¡q

8
3

,

80

9

¢

.

4) Miejsce zerowe (1, 0),

f

max

(e) =

1
e

,

punkt przegięcia

¡

e

3
2

,

3
2

e

−

3
2

¢

.

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.

I Określić i przedstawić graficznie dziedzinę funkcji.

1) f (x, y) =

√

x + lny,

2) f (x, y) = log(x + 2) −

p

y − 1,

3) f (x, y) =

p

2y − x,

4) f (x, y) =

√

y − x − ln(x − 1),

5) f (x, y) =

p

y − 2x − ln(y + x),

6) f (x, y) = log(y − x) −

p

x + 1 − y,

7) f (x, y) = log(y − x

2

+ 1),

8) f (x, y) =

p

y − x

2

+ ln(1 − x

2

− y),

9) f (x, y) =

√

y − e

x

− log(y + e

x

− 1),

10) f (x, y) =

√

y −

p

lnx − y,

10) f (x, y) =

p

y − lnx − log[ln(x + 1) − y].

18

II Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji.

1) z = x

5

+ y

3

+ e

x

− lny,

2) z = x

0,5

+ y

−0,2

+ e

3x

− 2

y

,

3) z =

1

x

+

2

y

2

−

3

x

3

+

8

y

4

,

4) z =

√

xy,

5) u = x

2

+ 3y

3

− 4z

5

+ xy

4

− 3z

2

x

5

− 2y

4

z

7

,

6) s = 3t

2

+ 4t

5

r

7

,

7) w = t

2

+ r

5

+ e

−t

+ ln(2r + 3),

8) T = u

1
2

+ v

−3,5

− e

3u

,

9) K = t

2

y

3

+ 4ty

5

− t

4

e

2y

,

10) z = e

2x+3y

+ ln(5x − 4y),

11) z = e

x

2

−y

3

+ ln(3x

4

− 7y + 2),

12) z =

x
y

+

y

2

x

3

,

13) z = (3x

2

− 5y

4

)

10

,

14) u = t

2

3

√

s +

1
r

,

15) v =

t + 2s
3t + s

.

III Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji.

1) z = x

4

+ 3y

2

+ e

2x

− e

−y

,

2) z =

1

x

+

2

y

2

+ x

4

y

5

,

3) u = e

2x−3t

+

x

2

t

,

4) w = t

5

v

3

+ e

5t

− e

−2v

,

5) R = u

2

v

3

−

1

u

+ lnv + e

2u−5v

+ (2u + 3)

2

.

Odpowiedzi.
I.

1)

½

x ≥ 0

y > 0

2)

½

x > −2

y ≥ 1

3) y ≥

1
2

x

4)

½

y ≥ x

x > 1

5)

½

y ≥ 2x
y > −x

6)

½

x ≤ x + 1

y > x

7) y > x

2

− 1

8)

½

y ≥ x

2

y < 1 − x

2

9)

½

y ≥ e

x

y > 1 − e

x

10)

½

y ≥ 0
y ≤ lnx

11)







x ≥ lnx

y < ln(x + 1)

x > −1

19

II.

1) z

0

x

= 5x

4

+ e

x

,

z

0

y

= 3y

2

−

1
y

.

2) z

0

x

= 0, 5x

−0,5

+ 3e

3x

,

z

0

y

= −0, 2y

−1,2

− 2

y

ln2.

3) z

0

x

= −

1

x

2

+

9

x

4

,

z

0

y

= −

4

y

3

−

32
y

5

.

4) z

0

x

=

1
2

p

y
x

,

z

0

y

=

1
2

q

x
y

.

5) u

0

x

= 2x + y

4

− 15z

2

x

4

,

u

0

y

= 9y

2

+ 4xy

3

− 8y

3

z

7

,

u

0

z

= −20z

4

− 6zx

5

− 14y

4

z

6

.

6) s

0

t

= 6t + 20t

4

r

7

,

s

0

r

= 28t

5

r

6

.

7) w

0

t

= 2t − e

−t

,

w

0

r

= 5r

4

+

2

2r+3

.

8) T

0

u

=

1
2

u

−

1
2

− 3e

3u

,

t

0

v

= −3, 5v

−4,5

.

9) K

0

t

= 2ty

3

+ 4y

5

− 4t

3

e

2y

,

K

0

y

= 3t

2

y

2

+ 20ty

4

− 2t

4

e

2y

.

10) z

0

x

= 2e

2x+3y

+

5

5x−4y

,

z

0

y

= 3e

2x+3y

−

4

5x−4y

.

11) z

0

x

= 2xe

x

2

−y

3

+

12x

3

3x

4

−7y+2

,

z

0

y

= −3y

2

e

x

2

−y

3

−

7

3x

4

−7y+2

.

12) z

0

x

=

1
y

−

3y

2

x

4

,

z

0

y

= −

x

y

2

2y
x

3

.

13) z

0

x

= 60x(3x

2

− 5y

4

),

z

0

y

= −200y

3

(3x

2

− 5y

4

).

14) u

0

t

=

3

√

s,

u

0

r

= −

1

r

2

,

u

0

s

=

t

2

3

3

√

s

2

.

15) v

0

s

=

5t

(3t+3)

2

,

v

0

t

= −

5s

(3t+s)

2

.

III.

1) z

00

xx

= 12x

2

+ 4e

2x

,

z

00

yy

= 6 − e

−y

,

z

00

xy

= 0.

2) z

00

xx

=

2

x

3

,

z

00

yy

=

12
y

4

+ 20x

4

y

3

,

z

00

xy

= 20x

3

y

4

.

3) u

00

xx

= 4e

2x−3t

+

2x

t

,

u

00

tt

= 9r

2x−3t

+

2x

2

t

3

+ 20x

4

y

3

,

u

00

xt

= −6e

2x−3t

−

2x

t

2

.

4) w

00

tt

= 20t

3

v

3

,

w

00

vv

= 6t

5

v − 4e

−2v

,

w

00

tv

= 15t

4

v

2

.

5) R

00

uu

= 2v

3

−

2

v

3

− 10e

2u−5v

+ 8,

R

00

vv

= 6u

2

v −

1

v

2

+ 25e

2u−5v

,

R

00

uv

= 6uv

2

− 10e

2u−5v

.

20

Rachunek całkowy

I Obliczyć całki nieoznaczone.

1)

Z

(x

2

+ x

3

+ x

5

)dx,

2)

Z

(t

5

− 5t

4

− 8t)dt,

3)

Z

(x

1
2

+ x

2
3

− x

0,2

)dx,

4)

Z

(s

1
4

+ 2s

−3

+ 4s

−

1
2

)ds,

5)

Z

(

√

x +

3

√

x +

4

√

x

3

)dx,

6)

Z ³

1

√

t

+

1

3

√

t

2

´

dt,

7)

Z ³

1

x

2

−

2

x

3

+

5

x

6

´

dx,

8)

Z ³

3

t

4

−

4

t

5

+ 7

´

dt,

9)

Z ³

t

√

t −

1

√

t

´

dt,

10)

Z

(

3

√

s

2

−

4

√

s

3

)ds,

11)

Z

(2x + 5)

2

dx,

12)

Z

(2x + 3)(2x − 3)dx,

13)

Z

x

2

− 1

x − 1

dx,

14)

Z

x

3

+ x

2

+ x − 3

x

4

dx.

II Obliczyć całki.

1)

Z

(e

x

+ e

2x

− 6e

−3x

)dx,

2)

Z

(e

5t

− 7e

−t

+ e

3

)dt,

3)

Z

(e

mx

− e

nx

+ e

3x+4

)dx,

4)

Z

(

√

e

x

+

4

√

e

3x

)dx,

5)

Z ³

1

e

x

−

2

e

2x

+

1
3

´

dx,

6)

Z

(2

x

+ 2

3x

+ 2

−x

)dx.

III Obliczyć całki.

1)

Z ³

1

x

+

1

x − 1

+

2

x + 1

´

dx,

2)

Z ³

1

3x

+

1

2x − 1

+

2

4x + 3

´

dx,

3)

Z ³

2x

x

2

+ 1

−

x

x

2

+ 4

+

6x

2

x

3

+ 1

+

x

3

x

4

+ 2

´

dx,

4)

Z

(t + 1)

2

t

3

dt,

21

IV Obliczyć całki oznaczone.

1)

Z

3

0

x

2

dx,

2)

Z

2

1

(4x + 1)dx,

3)

Z

1

0

(3t

2

+ 2t)dt,

4)

Z

1

1
2

1

t

2

dt,

5)

Z

e

1

1

x

dx,

6)

Z

2

0

e

x

dx,

7)

Z

ln2

0

e

t

dt,

8)

Z

4

1

1

√

x

dx,

9)

Z

3

2

1

r − 1

dr,

10)

Z

1

0

3

√

xdx,

11)

Z

2

0

(2t + 5)

2

dt,

12)

Z

2

0

√

e

x

dx.

V Obliczyć za pomocą całki oznaczonej pole obszaru ograniczonego osią OX

oraz krzywą f(x) w danym przedziale. Narysować wykres.

1) f (x) = 2x + 2

w przedziale h0, 2i,

2) f (x) = 8 − 2x

w przedziale h1, 2i,

3) f (x) = 6x − 3x

2

w przedziale h0, 2i,

4) f (x) = 12x − 6x

2

w przedziale h1, 2i,

5) f (x) = 3x

2

− 12x

w przedziale h4, 5i.

22

Odpowiedzi. I.

1)

1
3

x

3

+

1
4

x

4

+

1
6

x

6

+ C,

2)

1
6

t

6

− t

5

− 4t

2

+ C,

3)

2
3

x

3
2

+

3
5

x

5
3

−

5
6

x

1,2

+ C,

4)

4
5

s

5
4

− s

−2

− 8s

1
2

+ C,

5)

2
3

x

3
2

+

3
4

x

4
3

−

4
7

x

7
4

+ C,

6) 2t

1
2

− 3t

1
3

+ C,

7) −

1

x

+

1

x

2

−

1

x

5

+ C,

8) −

1

t

3

+

1

t

4

+ 7t + C,

9)

2
5

√

t

5

− 2

√

t + C,

10)

3
5

3

√

s

5

−

4
7

4

√

s

7

+ C,

11)

1
6

(2x + 5)

3

,

12)

4
3

x

3

− 9x + C,

13)

1
2

x

2

+ x + C,

14) ln|x| −

1

x

−

1

2x

2

+

1

x

3

+ C

.

II.

1)e

x

+

1

2e

2x

+ 2e

−3x

+ C,

2)

1
5

e

5t

+ 7e−t + C,

3)

1

m

e

mx

−

1

n

e

nx

+

1
3

e

3x+4

+ C,

4) 2e

x
2

+

4
3

e

3x

4

+ C,

5) − e

−x

+ e

−2x

+

1
3

x + C,

6)

2

x

ln2

+

2

3x

3ln2

−

2

−x

ln2

+ C.

III.

1) ln|x| + C,
2)

1
3

ln|x| +

1
2

ln|2x − 1| +

1
2

ln|4x + 3| + C,

3) ln|x

2

+ 1| −

1
2

ln|x

2

+ 4| + 2ln|x

3

+ 1| +

1
4

ln|x

4

+ 2| + C,

4) ln|t| −

2

t

−

1

2t

2

+ C.

IV.

1) 9,

2) 7,

3) 2,

4) 1,

5) 1,

6) e

2

− 1,

7) 1,

8) 2,

9) ln2,

10)

3
4

,

11)

604

3

,

12) 2(e − 1).

IV.

1) 8,

2) 5,

3) 4,

4) 4,

5) 7.

23