I Kolokwium z teorii miary i całki (gr 1)

Zadanie 1 Niech X = N i niech

M = {A ⊂ N : A − skończony} ∪ {B ⊂ N : B − nieskończony i N\B − skończony}.

Czy M jest σ-ciałem w X?

Odpowiedź 1 Nie jest to σ-ciało gdyż, np. A

n

= {n} ∈ M, n ∈ N, a

S

n∈N

A

n

/

∈ M.

Zadanie 2 Dla dowolnego zbioru A ⊂ R połóżmy

µ(A) =



0

gdy

A - co najwyżej przeliczalny

+∞

gdy

A - nieprzeliczalny

.

Czy µ jest miarą na σ-ciele M = 2

R

.

Odpowiedź 2 Jest to miara. Warunki na miarę są łatwe do sprawdzenia.

Zadanie 3 Niech A = Z i B = (−1, 1) × (0, 1). Wykaż, wykorzystując mierzalność w sensie Lebesgue’a
przedziałów domkniętych w R i R

2

, że

A ∈ L

1

i

B ∈ L

2

oraz oblicz

λ

1

(A)

i

λ

2

(B).

Odpowiedź 3 Ponieważ A =

S

z∈Z

, to A ∈ L

1

i λ

1

(A) = 0. Ponieważ B = ([−1, 1] \ {−1, 1}) × ([0, 1] \ {0, 1}),

to B ∈ L

2

i λ

2

(B) = 2 (skorzystaj z odpowiedniego twierdzenia).

Zadanie 4 Pokaż z definicji, że funkcja f : R → [−∞, +∞] dana wzorem

f (x) = −|x| + 1

jest mierzalna w sensie Lebesgue’a.

Odpowiedź 4 Dziedzina funkcji f , czyli zbiór R ∈ L

1

. Ponadto, biorąc dowolne c ∈ R mamy

{x ∈ R : f(x) < c} =



R ∈ L

1

gdy

c > 1

(−∞, c − 1) ∪ (1 − c, +∞) ∈ L

1

,

gdy

c ¬ 1

.

Zadanie 5 Wykaż, że funkcja f : [−2, 2] → [0, +∞) dana wzorem

f (x) =



2

gdy

1 ¬ |x| ¬ 2

1

gdy

|x| ¬ 1

.

jest funkcją prostą nieujemną oraz oblicz

Z

[−2,2]

f dλ

1

.

Uwaga! Mierzalność funcji i całkowalność roumiemy tutaj w sensie Lebesgue’a.

Odpowiedź 5 Mierzalność funkcji f wykazuje się równie łatwo jak w zadaniau 4. Ponadto, funkcja f jest
nieujemna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości. Łatwo zauważyć, że przyjmując a

1

= 1 i a

2

= 2 oraz

A

1

= [−2, −1] ∪ [1, 2] i A

2

= (−1, 1) mamy f = a

1

∗ χ

A

1

,[−2,2]

+ a

2

∗ χ

A

2

,[−2,2]

, skąd

Z

[−2,2]

f dλ

1

= 1 ∗ 2 + 2 ∗ 2 = 6.

1