29.04.2005

Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa A,

Prosimy rozwi¸azywa´c ka˙zde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ecamy do

rozwi¸azania 4 zada´

n ale mo˙zna rozwi¸aza´c ich wi¸ecej - do zaliczenia na pewno

wystarcz¸a 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
s¸a za 1 lub dwa punkty

Zad.1 (1 pt) Podaj przykÃlad ci¸agu (x

n

) w przestrzeni l

1

d¸a˙z¸acego do zera i

skÃladaj¸acego si¸e z element´ow niezerowych.

Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸e odwzorowania liniowego T : (R

2

, k · k

∞

) → (R

3

, k · k

1

)

T ((x, y)) = (x, x + y, x − y).

Zad.3 (1 pt) Czy nast¸epuj¸ace odwzorowanie liniowe jest ci¸agÃle

T : l

∞

→ R,

T (x) =

∞

X

n=0

x

n

(2n)

2

?

Zad.4 (1 pt) Czy nast¸epuj¸acy zbi´or ma niepuste wn¸etrze

A ⊂ l

1

,

A = {x = (x

n

) : x

2005

= 0 } ?

Zad.5 (2 pt) Udowodnij, ˙ze odwzorowanie liniowe T : C

1

[0, 1] → C[0, 1] dane

wzorem T (f ) = f

0

jest nieci¸agÃlym odwzorowaniem o domkni¸etym wykresie, gdzie

C

1

[0, 1] oznacza przestrze´

n funkcji r´o˙zniczkowalnych w spos´ob ci¸agÃly i zar´owno

C

1

[0, 1] jak i C[0, 1] wyposa˙zone s¸a w norm¸e supremaln¸a. Czy nie przeczy to

twierdzeniu o domkni¸etym wykresie?

Zad.6 (2 pt) Oblicz norm¸e operatora M : l

n

∞

→ l

n

∞

, gdzie

M ((x

1

, . . . , x

n

)) =











1

1

2

· · ·

1

n

1
2

1

2

2

· · ·

1

2

n

..

.

..

.

. ..

..

.

1

n

1

n

2

. . .

1

n

n



















x

1

x

2

..

.

x

n









Zad.7 (2 pt) Udowodnij, ˙ze zbi´or ci¸ag´ow o prawie wszystkich wyrazach r´ownych

zero jest g¸esty w c

0

.

Zad.8 (2 pt) Udowodnij zupeÃlno´s´c przestrzeni unormowanej

l

∞

(Z) = {x = (x

n

)

n∈Z

: kxk

∞

: = sup

n∈Z

|x

n

| < ∞}

z norm¸a k · k

∞

, gdzie Z oznacza zbi´or liczb caÃlkowitych.

1

29.04.2005

Kolokwium z analizy funkcjonalnej ANF 311, grupa B,

Prosimy rozwi¸azywa´c ka˙zde zadanie na innej podpisanej kartce. Zach¸ecamy do

rozwi¸azania 4 zada´

n ale mo˙zna rozwi¸aza´c ich wi¸ecej - do zaliczenia na pewno

wystarcz¸a 3 punkty, do oceny bardzo dobrej 4 zadania za dwa punkty - zadania
s¸a za 1 lub dwa punkty

Zadania

Zad.1 (1 pt) Podaj przykÃlad ci¸agu (x

n

) w przestrzeni l

2

d¸a˙z¸acego do zera i

skÃladaj¸acego si¸e z element´ow niezerowych.

Zad.2 (1 pt) Oblicz norm¸e odwzorowania liniowego T : (R

2

, k · k

∞

) → (R

3

, k · k

1

)

T ((x, y)) = (x − y, x + y, y).

Zad.3 (1 pt) Czy nast¸epuj¸ace odwzorowanie liniowe jest ci¸agÃle

T : l

∞

→ R,

T (x) =

∞

X

n=0

(−1)

n

x

n

n

2

?

Zad.4 (1 pt) Czy nast¸epuj¸acy zbi´or ma niepuste wn¸etrze

A ⊂ c

0

,

A = {x = (x

n

) : x

2n

= 0, n ∈ N } ?

Zad.5 (2 pt) Udowodnij zupeÃlno´s´c przestrzeni unormowanej

l

∞

(Z) = {x = (x

n

)

n∈Z

: kxk

∞

: = sup

n∈Z

|x

n

| < ∞}

z norm¸a k · k

∞

, gdzie Z oznacza zbi´or liczb caÃlkowitych.

Zad.6 (2 pt) Udowodnij, ˙ze odwzorowanie liniowe T : C

1

[0, 1] → C[0, 1] dane

wzorem T (f ) = f

0

jest nieci¸agÃlym odwzorowaniem o domkni¸etym wykresie, gdzie

C

1

[0, 1] oznacza przestrze´

n funkcji r´o˙zniczkowalnych w spos´ob ci¸agÃly i zar´owno

C

1

[0, 1] jak i C[0, 1] wyposa˙zone s¸a w norm¸e supremaln¸a. Czy nie przeczy to

twierdzeniu o domkni¸etym wykresie?

Zad.7 (2 pt) Oblicz norm¸e operatora M : l

n

∞

→ l

n

∞

, gdzie

M ((x

1

, . . . , x

n

)) =









1

1

2

· · ·

1

n

2

2

2

· · ·

2

n

..

.

..

.

. ..

..

.

n

n

2

. . .

n

n

















x

1

x

2

..

.

x

n







 .

Zad.8 (2 pt) Udowodnij, ˙ze zbi´or ci¸ag´ow o prawie wszystkich wyrazach r´ownych

zero jest g¸esty w l

1

.

2