1

Przestrzenie Banacha i Hilberta.

Definicja 1.1

Niepusty zbi´or E wyposa˙zony w dwa dziaÃlania:

(x, y) 7→ x + y, x, y ∈ E

(α, x) 7→ αx, x ∈ E, α ∈ R

spelniaja

ι

ce naste

ι

puja

ι

ce warunki:

(a) dla x, y, z ∈ R i α, β ∈ R,

x + y = y + x,

(x + y) + z = x + (y + z),

α(x + y) = αx + αy,

(α + β)x = αx + βx,

α(βx) = (αβ)x,

1x = x,

(b) istnieje dok Ãladnie jeden element 0 ∈ E taki, ˙ze

x + 0 = 0 + x = x dla x ∈ E;

(c) dla ka˙zdego x ∈ E istnieje dok Ãladnie jeden element (−x) ∈ E taki, ˙ze

x + (−x) = (−x) + x = 0;

nazywa sie

ι

przestrzenia

ι

liniowa

ι

rzeczywista

ι

( lub przestrzenia

ι

liniowa

ι

nad R).

Uwaga. W notatkach tych nie be

ι

dziemy zajmowa´c sie

ι

przestrzeniami liniowymi nad ciaÃlami r´o˙znymi od

R, i dlatego zamiast ”przestrze´n liniowa nad R” be

ι

dziemy pisa´c ”przestrze´n liniowa”.

1

Definicja 1.2

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

liniowa

ι

. Funkcje

ι

k.k : E −

→ [0, ∞)

speÃlniaja

ι

ca

ι

naste

ι

puja

ι

ce warunki

kxk = 0

⇐⇒

x = 0, dla x ∈ E;

kx + yk

≤

kxk + kyk, dla x, y ∈ E;

kαxk

=

|α|kxk,

dla α ∈ R, x ∈ E;

be

ι

dziemy nazywa´c norma

ι

.

Definicja 1.3

Je˙zeli E jest przestrzenia

ι

liniowa

ι

i k.k : E −

→ [0, ∞) jest norma

ι

, to pare

ι

(E, k.k) nazy-

wamy przestrzenia

ι

unormowana

ι

.

Twierdzenie 1.4

Je˙zeli (E, k.k) jest przestrzenia

ι

unormowana

ι

to funkcja ρ : E × E −

→ [0, ∞), zdefi-

niowana wzorem

ρ(x, y) := kx − yk, x, y ∈ E

jest metryka

ι

. (Przestrze´n unormowana jest przestrzenia

ι

metryczna

ι

.)

Definicja 1.5

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

liniowa

ι

. Funkcje

ι

< ., . >: E × E −

→ R

speÃlniaja

ι

ca

ι

naste

ι

puja

ι

ce warunki

< x, x > ≥ 0, dla x ∈ E;

< x, x >= 0 ⇒ x = 0, dla x ∈ E;

< x, y > = < y, x >

dla x, y ∈ E;

< αx + βy, z > = α < x, z > +β < y, z >

dla α, β ∈ R, x, y, z ∈ E;

be

ι

dziemy nazywa´c iloczynem skalarnym.

Definicja 1.6

Je˙zeli E jest przestrzenia

ι

liniowa

ι

i < ., . >: E −

→ R jest iloczynem skalarnym, to pare

ι

(E, < ., . >) nazywamy przestrzenia

ι

unitarna

ι

.

Twierdzenie 1.7

Je˙zeli (E, < ., . >) jest przestrzenia

ι

unitarna

ι

to funkcja k.k : E −

→ [0, ∞), zdefiniowana

wzorem

kxk :=

√

< x, x > = < x, x >

1
2

, x ∈ E

jest norma

ι

. (Przestrze´n unitarna jest przestrzenia

ι

unormowana

ι

.)

2

Definicja 1.8

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

0

, x

n

∈ E, n ∈ N. Je˙zeli

lim

n

−

→

∞

kx

n

− x

0

k = 0

to m´owimy, ˙ze cia

ι

g {x

n

} jest zbie˙zny do x

0

i piszemy

x

0

= lim

n

−

→

∞

x

n

Twierdzenie 1.9

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

0

, y

0

, x

n

∈ E, n ∈ N. Je˙zeli cia

ι

g

{x

n

} jest jednocze´snie zbie˙zny do x

0

oraz y

0

to x

0

= y

.

(Cia

ι

g zbie˙zny ma dok Ãladnie jedna

ι

granice

ι

.)

Twierdzenie 1.10

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

0

, y

0

, x

n

, y

n

∈ E, n ∈ N. Je˙zeli

x

0

= lim

n

−

→

∞

x

n

oraz y

0

= lim

n

−

→

∞

y

n

to

x

0

+ y

0

= lim

n

−

→

∞

(x

n

+ y

n

)

Twierdzenie 1.11

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

0

, x

n

∈ E, α

0

, α

n

∈ R, n ∈ N.

Je˙zeli

α

0

= lim

n

−

→

∞

α

n

oraz x

0

= lim

n

−

→

∞

x

n

to

α

0

x

0

= lim

n

−

→

∞

(α

n

x

n

)

Definicja 1.12

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

n

∈ E, n ∈ N. Je˙zeli

∀

²>0

∃

N ∈N

∀

n,m>N

kx

n

− x

m

k < ²

(C)

to m´owimy, ˙ze cia

ι

g {x

n

} speÃlnia warunek Cauchy’ego.

Twierdzenie 1.13

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

i niech x

n

∈ E, n ∈ N. Je˙zeli cia

ι

g {x

n

}

jest zbie˙zny, to speÃlnia warunek Cauchy’ego.

Definicja 1.14

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unormowana

ι

. Je˙zeli ka˙zdy cia

ι

g element´ow przestrzeni E

speÃlniaja

ι

cy warunek Cauchy’ego jest zbie˙zny, to E jest przestrzenia

ι

Banacha. (Przestrze´n unormowana

jest przestrzenia

ι

Banacha je˙zeli jest przestrzenia

ι

metryczna

ι

zupeÃlna

ι

wzgle

ι

dem metryki wyznaczonej przez

norme

ι

.)

Definicja 1.15

Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

unitarna

ι

. Je˙zeli ka˙zdy cia

ι

g element´ow przestrzeni E speÃlniaja

ι

cy

warunek Cauchy’ego jest zbie˙zny, to E jest przestrzenia

ι

Hilberta. (Przestrze´n unitarna jest przestrzenia

ι

Hilberta je˙zeli jest przestrzenia

ι

metryczna

ι

zupeÃlna

ι

wzgle

ι

dem metryki wyznaczonej przez norme

ι

wyznaczona

ι

przez iloczyn skalarny.)

3

Zadania.

Zadanie 1.1

Niech R

∞

oznacza zbi´or cia

ι

g´ow liczbowych (cia

ι

g´ow liczb rzeczywistych) o prawie wszystkich

wyrazach r´ownych 0, t.j.

R

∞

3 x = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . . } ⇐⇒ ∃

N

∀

n>N

x

n

= 0

Je˙zeli x = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . . }, y = {y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . . } ∈ R

∞

i α ∈ R to przyjmujemy

x + y := {x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

n

+ y

n

, . . . },

αx := {αx

1

, αx

2

, . . . , αx

n

, . . . },

< x, y >:=

∞

X

n=1

x

n

y

n

.

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze

1.

przy tak okre´slonych dziaÃlaniach R

∞

jest przestrzenia

ι

liniowa

ι

;

2.

przy tak okre´slonym iloczynie skalarnym R

∞

jest przestrzenia

ι

unitarna

ι

;

3.

R

∞

nie jest przestrzenia

ι

Hilberta.

Zadanie 1.2

Niech l

2

oznacza zbi´or cia

ι

g´ow liczbowych x = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . . } takich, ˙ze

∞

X

n=1

(x

n

)

2

< ∞

( ”szeregi zbie˙zne z kwadratem”). Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wzory podane w poprzednim zadaniu definiuja

ι

w

przestrzeni l

2

dziaÃlania liniowe i iloczyn skalarny takie,˙ze przestrze´n ta jest przestrzenia

ι

Hilberta.

Zadanie 1.3

Niech C[0, 1] oznacza zbi´or kt´orego elementami sa

ι

cia

ι

gÃle funkcje x : [0, 1] −

→ R. Poniewa˙z

suma i iloczyn dw´och funkcji cia

ι

gÃlych sa

ι

funkcjami cia

ι

gÃlymi, to C[0, 1] ma naturalna

ι

strukture

ι

przestrzeni

liniowej. Prosze

ι

pokaza´c, ˙ze wz´or

kxk

0

:= sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]}

definiuje norme

ι

oraz, ˙ze przy tak zdefiniowanej normie C[0, 1] jest przestrzenia

ι

Banacha.

Zadanie 1.4

Niech C

1

[0, 1] oznacza zbi´or kt´orego elementami sa

ι

funkcje klasy C

1

x : [0, 1] −

→ R.

Poniewa˙z suma i iloczyn dw´och funkcji klasy C

1

sa

ι

funkcjami klasy C

1

, to C

1

[0, 1] ma naturalna

ι

strukture

ι

przestrzeni liniowej. Prosze

ι

pokaza´c, ˙ze wz´or

kxk

1

:= sup{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} + sup{|x

0

(t)|; t ∈ [0, 1]}

definiuje norme

ι

oraz, ˙ze przy tak zdefiniowanej normie C

1

[0, 1] jest przestrzenia

ι

Banacha.

Zadanie 1.5

Udowodni´c Twierdzenia 1.4, 1.7, 1.9, 1.10, 1.11, 1.13.

4