analiza funkcjonalana kolokwia i egzaminy

Zadanie 1. Niech E, F beda przestrzeniami liniowymi unormowanymi i niech A : E → F bedzie odwzorowaniem ι

liniowym.

a) Prosze podać definicje ciagÃlości A w punkcie x ι

0 ∈ E.

b) Prosze podać definicje ograniczoności A.

c) OdwoÃlujac sie do podanych definicji prosze udowodnić, że jeżeli A jest ograniczony to jest ciagÃly w punkcie ι

x 0 = 0 .

d) OdwoÃlujac sie do podanych definicji prosze udowodnić, że jeżeli A jest jest ciagÃly w punkcie x ι

0 = 0 to jest

ograniczony.

Zadanie 2. Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma ι

kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Niech X := {u ∈ E; u(0) = 0 }, Y := {u ∈ E; u(0) = 1 }

a) Prosze udowodnić, że X i Y sa domknietymi podzbiorami przestrzeni E.

b) Prosze udowodnić, że X jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni E.

c) Prosze udowodnić, że Y nie jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni E.

d) Prosze udowodnić, że X jest przestrzenia Banacha.

Zadanie 3. Niech X bedzie przestrzenia Banacha zdefiniowana w poprzednim punkcie. Niech ι

A : X → X bedzie odwzorowaniem liniowym zdefiniowanym wzorem ι

( A( u))( t) := (1 − t 2) u( t) a) Prosze udowodnić, że kAk ≤ 1 .

b) Czy istnieje element u ∈ X taki, że kuk = 1 oraz kA( u) k = 1?

Imie i Nazwisko:

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.

a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x

n}∞

n=1 , xn ∈ E.

b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x zbieżne,

n}∞

n=1 , {yn}∞

n=1 , xnyn ∈ E, sa ι

lim ( xn + yn) = lim xn + lim yn n→∞

n→∞

oraz

lim kxn + ynk = k lim xn + lim ynk n→∞

n→∞

Zadanie 2.

a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι

wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.

b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.

c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι

udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.

d) Niech EF := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.

Operator B : F → F dany wzorem

( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.

Zadannie 3.

a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι

b) Prosze udowodnić, że wzór

A( x) := {y 1 , y 1 , . . . , yn, . . . }, x = {x 1 , x 2 , . . . , xn, . . . }

gdzie



 x 1 ,

dla n = 1;

yn =

 n+1 ,

dla n = 2 k;

xn− 1 ,

dla n = 2 k + 1 > 1 .

definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .

Zadannie 3.

a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι

b) Prosze udowodnić, że wzór

A( x) := { 3 x 2 , 3 x 1 , 3 x 4 , 3 x 2 , . . . }

definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .

c) Prosze udowodnić, że A nie jest zwarty.

d) Prosze znaleźć wartości wÃlasne A.

Imie i Nazwisko:

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.

a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x

n}∞

n=1 , xn ∈ E.

b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x ι

n}∞

n=1 , {yn}∞

n=1 , xn, yn ∈ E, sa ι

zbieżne, to

lim ( xn + yn) = lim xn + lim yn n→∞

n→∞

oraz

lim kxn + ynk = k lim xn + lim ynk n→∞

n→∞

Zadanie 2.

a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι

wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.

b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.

c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι

udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.

d) Niech F := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.

Operator B : F → F dany wzorem

( B( u))( t) := (2 − t 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.

Zadanie 3.

a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι

b) Prosze udowodnić, że wzór

A( x) := {x 1 , x 3 , x 2 , x 5 , x 4 , . . . }



( tzn.

 x 1 ,

dla n = 1;

yn =

 n+1 ,

dla n = 2 k;

xn− 1 ,

dla n = 2 k + 1 > 1 .

gdzie y = A( x) )

definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .

c) Jakie sa wartości wÃlasne i wektory wÃlasne A?

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E bedzie przestrzenia liniowa unormowana.

a) Prosze podać definicje zbieżności ciagu {x

n}∞

n=1 , xn ∈ E.

b) OdwoÃlujac sie do podanej definicji prosze udowodnić, że jeżeli ciagi {x ι

n}∞

n=1 , {αn}∞

n=1 , xn ∈ E, αn ∈ R , sa ι

zbieżne, to

lim ( αnxn) = lim αn lim xn

n→∞

oraz

lim kαnxnk = k lim αn lim xnk n→∞

n→∞

Zadanie 2.

a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι

wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.

b) Prosze sformuÃlować i udowodnić twierdzenie o normie zÃlożenia operatorów liniowych ograniczonych.

c) Niech E := ( C[ − 1 , 1] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 1 , 1] }. Prosze ι

udowodnić, że operator A : E → E dany wzorem ( A( u))( t) := ( t 2 − 2) u( t) jest liniowy, ograniczony i wyliczyć jego norme.

d) Niech F := ( C[ − 10 , 10] , k.k) bedzie przestrzenia funkcji ciagÃlych z norma kuk := sup {|u( t) |; t ∈ [ − 10 , 10] }.

Operator B : F → F dany wzorem

( B( u))( t) := ( t 2 − 2) u( t) jest liniowy, ograniczony. Prosze wyliczyć jego norme.

Zadanie 3.

a) Prosze podać definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlajacego w przestrzeni Hilberta ι

b) Prosze udowodnić, że wzór

A( x) := {x 1 , x 2 , x 4 , x 3 , x 6 , x 5 , . . . }



( tzn.

 xn,

dla n = 1 , 2;

yn =

 n− 1 ,

dla n = 2 k > 2;

xn+1 ,

dla n = 2 k + 1 > 2 .

gdzie y = A( x) )

definiuje symetryczny operator A : l 2 → l 2 .

c) Jakie sa wartości wÃlasne i wektory wÃlasne A?

Imie i Nazwisko:

Zadanie 1.

a) Prosze podać definicje ograniczonego operatora liniowego określonego w przestrzeni Banacha E i przyjmujacego ι

wartości w przestrzeni Banacha F. Prosze podać definicje normy takiego operatora.

b) Niech x = {x 1 , x 2 , x 3 , . . . , xn, . . . } ∈ l 2

Prosze udowodnić, że wzór

A( x) := { 0 , (1 − ) x

) x

2 , (1 − 3 3 , . . . , (1 − n n, . . . }

definiuje ograniczony operator A : l 2 → l 2 .

c) Prosze udowodnić, że kAk ≤ 1 .

d) Prosze udowodnić, że kAk = 1 .

Zadanie 2.

a) Niech H bedzie przestrzenia Hilberta. Prosze podać definicje liniowego ograniczonego funkcjonaÃlu ξ : H → R .

b) Prosze udowodnić, że liniowy ograniczony funkcjonaÃl ξ : H → R jest ciagÃly.

c) Ustalmy element a ∈ H i przyjmijmy

ξ( x) := < x, a >

Prosze udowodnić, że tak zdefiniowany funkcjonaÃl jest ograniczony i ι

kξk = kak

d) Prosze sformuÃlować twierdzenie Riesza (o postaci funkcjonaÃlu liniowego ograniczonego w przestrzeni ι

Hilberta).