Elementy

analizy

funkcjonalnej

Spis treści

Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.

Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.

Przestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.

Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Rozdział 2. Przestrzenie liniowe metryczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.

Przestrzenie liniowe unormowane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.

Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.

Przestrzeń Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Rozdział 3. Przestrzenie unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Sprawdzenie spełnialności aksjomatów normy przez normę wyznaczoną przez iloczyn skalarny

8

3.1.

Ortogonalność w przestrzeni unitarnej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2.

Zbiory otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3.

Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Rozdział 4. Operatory i funkcjonały liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.1.

Działania na operatorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.2.

Przykłady operatorów liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4.3.

Złożenie operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.4.

Teoria równania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.5.

Widmo operatora liniowego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.6.

Operatory samosprzężone

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Dodatek A. Pytania na egzamin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Dodatek B. Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Rozdział 1

Pojęcia wstępne

1.1. Przestrzenie metryczne

Niech X — zbiór dowolny

Definicja 1.1. Metryką nazywamy funkcję d : X × X → R

+

∪ {0} spełniającą warunki

m1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y dla każdego x, y ∈ X
m2) d(x, y) = d(y, x) dla każdego x, y ∈ X
m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z) dla każdego x, y, z ∈ X (Aksjomat trójkąta)

d(x, y) — uogólniona odległość x od y

Definicja 1.2. Przestrzenią metryczną nazywamy strukturę (X, d), gdzie X jest niepustym zbiorem,
a d jest metryką określoną na zbiorze X

Przykłady przestrzeni metrycznych

1) (R, | |)

d(x, y) = |x − y|

m1)

V

x,y∈R

d(x, y) = 0 ⇔ |x − y| = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y

m2)

V

x,y∈R

d(x, y) = |x − y| = |−1| · |x − y| = |(−1)(x − y)| = |y − x| = d(y, x)

m3)

V

x,y,z∈R

d(x, y) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ¬ |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z)

|a + b| ¬ |a| + |b|

Rys. 1.1: Punkty w przestrzeni R

2

2) (R

2

, d)

x = (x

1

, x

2

) y = (y

1

, y

2

)

d(x, y) =

p

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

metryka pitagorejska

3) (R

2

, d

m

)

d(x, y) = |x

1

− y

1

| + |x

2

− y

2

|

metryka manhattańska

4) (R

2

, d

max

)

d

max

(x, y) = max{|x

1

− y

1

| , |x

2

− y

2

|}

metryka maximum

1.2. PRZESTRZENIE LINIOWE

2

5) (R

n

, d)

x = (x

1

, . . . , x

n

) y = (y

1

, . . . , y

n

)

d(x, y) =

v
u
u
t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

uogólniona metryka pitagorejska

m1) d(x, y) = 0 ⇔

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

V

i

(x

i

− y

i

)

2

= 0 ⇔

V

i

x

i

− y

i

=

0 ⇔

V

i

x

i

= y

i

⇔ x = y

m2) d(x, y) =

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

=

s

n

P

i=1

[(−1)(y

i

− x

i

)]

2

=

s

n

P

i=1

(−1)

2

(y

i

− x

i

)

2

=

=

s

n

P

i=1

(y

i

− x

i

)

2

= d(y, x)

m3) Ponieważ

V

x,y

d(x, y) ­ 0 to wystarczy pokazać, że

[d(x, y) + d(y, z)]

2

­ [d(x, z)]

2

[d(x, z)]

2

=

n

P

i=1

(x

i

− z

i

)

2

=

n

P

i=1

[(x

i

− y

i

) + (y

i

− z

i

)]

2

=

n

P

i=1

[(x

i

− y

i

)

2

+ 2(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) +

+ (y

i

− z

i

)

2

] =

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

|

{z

}

[d(x,y)]

2

+2

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) +

n

X

i=1

(y

i

− z

i

)

2

|

{z

}

[d(y,z)]

2

Z nierówności Schwarza–Cauchy’ego, która mówi, że:



n

P

i=1

u

i

v

i



2

¬



n

P

i=1

u

2
i

 

n

P

i=1

v

2

i



a w szczególności

n

P

i=1

u

i

v

i

¬

s

n

P

i=1

u

2
i

! s

n

P

i=1

v

2

i

!

mamy:

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)(y

i

− z

i

) ¬

v
u
u
t

n

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

v
u
u
t

n

X

i=1

(y

i

− z

i

)

2

Zatem:

[d(x, y)]

2

¬ [d(x, y)]

2

+ 2[d(x, y)d(y, z)] + [d(y, z)]

2

= [d(x, y) + d(y, z)]

2

6) {0, 1}

n

=

n

(b

1

, . . . , b

n

) : b

i

∈ {0, 1}

o

^

x,y∈X

x=(x

1

,...,x

n

) x

i

∈{0,1}

y=(y

1

,...,y

n

) y

i

∈{0,1}

d(x, y) =





{i : x

i

6= y

i

}





=liczba pozycji na których x i y się różnią=liczba jedynek (waga) w ciągu x ± y

odległość Haminga

1.2. Przestrzenie liniowe

Definicja 1.3. Przestrzenią liniową (wektorową) nad zbiorem

K (K = R lub K = C) nazywamy

dowolny zbiór X, w którym określone są działania:

^

x,y∈X

(x, y) 7→ x + y ∈ X

^

λ∈

K

^

x,y∈X

(λ, x) 7→ λ · x ∈ X

spełniające następujące aksjomaty przestrzeni liniowej:

A1)

V

x,y∈X

x + y = y + x

Grzegorz Jastrzębski

1.3. LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW, BAZA I WYMIAR PRZESTRZENI LINIOWEJ

3

A2)

V

x,y,z∈X

(x + y) + z = x + (y + z)

A3)

W

~

0∈X

V

x∈X

x + ~0 = x

A4)

V

x∈X

W

−x∈X

x + (−x) = 0

A5)

V

λ∈

K

V

x,y∈X

λ(x + y) = λx + λy

A6)

V

λ,µ∈

K

V

x∈X

(λ + µ)x = λx + µx

A7)

V

λ,µ∈

K

V

x∈X

λ(µx) = (λµ)x

A8)

V

x∈X

1 · x = x

Przykłady:

1) X = R nad K = R

-

2) X = C nad K = R

-

6





>

[x, y]

x, y

2’) X = R

2

nad

K = R ≡ 2)

3) X = R

n

nad

K = R

x = (x

1

, . . . , x

n

) y = (y

1

, . . . , y

n

) λ ∈

K

x + y

def

= (x

1

+ y

1

, . . . x

n

+ y

n

)

λx

def

= (λx

1

, . . . , λx

n

)

4) X – zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n nad

K = R

A = [a

ij

]

m×n

B = [b

ij

]

m×n

^

A+B∈X

A + B

def

= [a

ij

+ b

ij

]

^

λ∈R

^

A∈X

λA = [λa

ij

]

5) X = C(ha, bi) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale ha, bi

^

f,g∈X

^

t∈ha,bi

(f + g)(t)

def

= f (t) + g(t)

^

λ∈R

^

f ∈X

(λf )(t)

def

= λf (t)

1.3. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar przestrzeni liniowej

Przykłady

1) X = R

~

u, ~

v ∈ R

-

0

~

v

~

u



-

~

u || ~

v ⇔

_

c∈R

~

u = c~

v

Dowolne dwa wektory ~

u, ~

v ∈ R są liniowo zależne

2) X ∈ R

2

-

6

~

v

~

u





~

u k ~

v ⇔

W

c∈R

~

u = c~

v – ~

u, ~

v są liniowo zależne

~

u ∦ ~v ⇔ ∼

W

c∈R

~

u = c~

v – ~

u, ~

v są liniowo niezależne

~

u, ~

v, ~

w są liniowo zależne ponieważ:

_

a,b∈R

~

w =

a~

u + b~

v

|

{z

}

kombinacja liniowa ~

u i ~

v

Grzegorz Jastrzębski

Każda baza w R

2

(minimalny układ liniowo niezależnych wektorów) składa się z 2 wektorów.

Z tego wynika, że wymiar tej przestrzeni wynosi 2.

3) X = R

3

Jeśli ~

u, ~

v, ~

w nie leżą na jednej płaszczyźnie to dwa z nich leżą na tej samej płaszczyźnie ale trzeci

nie, więc:

∼

_

a,b∈R

~

w = a~

u + b~

v

czyli ~

u, ~

v, ~

w są liniowo niezależne.

Każda baza w R

3

składa się z 3 wektorów. Czyli wymiar tej przestrzeni wynosi 3.

Definicja 1.4. Mówimy, że punkty x

1

, . . . , x

n

przestrzeni liniowej są liniowo niezależne jeżeli

^

α

1

,...,α

n

∈

K

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

= ~0 ⇒ α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0

(1.3.1)

nie istnieją stałe α

1

, . . . , α

n

, z których conajmniej jedna jest rożna od 0, takie, że

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

= ~0

nie jest możliwe zapisanie któregokolwiek z punktów jako kombinacji liniowej pozostałych

Definicja 1.5. Kombinacją liniową punktów x

1

, . . . , x

k

nazywamy punkt

α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

k

x

k

gdzie α

1

, . . . , α

k

∈

K

Jeżeli punkty nie są liniowo niezależne to są liniowo zależne

Definicja 1.6. Maksymalną liczbę liniowo niezależnych punktów przestrzeni liniowej X nazywamy
jej wymiarem i oznaczamy dim X

Definicja 1.7. Jeżeli dim X = k to każdy układ k liniowo niezależnych punktów nazywamy bazą tej
przestrzeni

Przykłady:

i) W R bazę tworzy każdy punkt x ∈ R

ii) W R

2

bazę tworzą dowolne dwa wektory nie leżące na jednej prostej

iii) W R

3

bazę tworzą dowolne trzy wektory, które nie leżą na jednej płaszczyźnie

Uwaga: Jeżeli x

1

, . . . , x

n

tworzą bazę przestrzeni X to dla każdego y ∈ X punkty x

1

, . . . , x

n

, y są

liniowo zależne a zatem y daje się zapisać jako kombinacja liniowa punktów bazy, tzn.:

W

α

1

,...,α

n

∈

K

y = α

1

x

1

+ α

2

x

2

+ . . . + α

n

x

n

Definicja 1.8. Zbiór

Y ⊂ X nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni X jeśli:

^

y

1

,y

2

∈

Y

α

1

,α

2

∈

K

α

1

y

1

+ α

2

y

2

∈

Y

(1.3.2)

Rozdział 2

Przestrzenie liniowe metryczne

2.1. Przestrzenie liniowe unormowane

Definicja 2.1. Normą w przestrzeni liniowej X nad zbiorem skalarów

K nazywamy funkcję:

X

3 x 7→ ||x|| ∈ R

+

∪ {0}

(2.1.1)

taką, że:

n1)

V

x∈X

(||x|| = 0) ⇐⇒ x = 0

n2)

V

λ∈

K

V

x∈X

||λx|| = |λ| · ||x||

(jednorodność)

n3)

V

x,y∈X

||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||

(aksjomat trójkąta)

Definicja 2.2. Przestrzeń liniową z określoną na tej przestrzeni normą nazywamy przestrzenią
unormowaną

Każdą przestrzeń unormowaną X można uważać za przestrzeń metryczną.

Definicja 2.3. Przyjmuje się następującą definicję metryki wyznaczonej przez normę:

d(x, y)

def

= ||x − y|| = ||x + (−y)||

(2.1.2)

Tak zdefiniowana funkcja spełnia aksjomaty metryki:

m1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y

m

||x − y|| = 0

n1

⇐⇒ x − y = 0 ⇔ x + (−y) = 0 ⇔ −x = −y ⇔ x = y

m2) d(x, y) = d(y, x)

||x − y|| = ||(−1)(y − x)||

n2

= |−1| · ||y − x|| = ||y − x||

m3) d(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z)

||x − z|| = ||x + (y − y) − z|| = ||(x − y) + (y − z)||

n3

¬ ||x − y|| + ||y − z||

Przykłady

1) X = R

V

x∈R

||x|| = |x|

n1)

V

x∈R

||x|| = 0 ⇔ |x| = 0 ⇔ x = 0

n2)

V

λ∈R

V

x∈R

||λx|| = |λx| = |λ| |x| = |λ| ||x||

n3)

V

x,y∈R

||x + y|| = |x + y| ¬ |x| + |y| = ||x|| + ||y||

2) X = R

n

X

3 x = (x

1

, . . . , x

n

) → ||x||

def

=

s

n

P

i=1

x

2
i

metryka wyznaczona przez tę normę:

d(x, y) = ||x − y|| =

s

n

P

i=1

(x

i

− y

i

)

2

3) X = C(ha, bi) – przestrzeń liniowa funkcji określonych na ha, bi

V

f ∈C(ha,bi)

||f ||

def

=

sup

x∈ha,bi

(|f |) metryka wyznaczona przez tę normę:

^

f,g∈C(ha,bi)

d(f, g) = ||f − g|| = sup

x∈ha,bi

(|f (x) − g(x)|)

nazywa się metryką Czybyszewa

2.2. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU PUNKTÓW PRZESTRZENI METRYCZNEJ

6

— przykład

X = C(h0, 1i),

f (x) = x, g(x) = x

2

d(f, g) = sup

x∈h0,1i

|f (x) − g(x)| = sup

x∈h0,1i




x − x

2




= sup

x∈h0,1i

(x−x

2

) = max(x−x

2

) =

1
2

−(

1
2

)

2

=

1
4

2.2. Zbieżność ciągu punktów przestrzeni metrycznej

Definicja 2.4. Ciąg liczbowy (a

n

) jest zbieżny do liczby a ∈ R ⇔

V

ε>0

W

M

V

n>M

|a

n

− a| < ε

piszemy lim

n→∞

a

n

= a

Definicja 2.5. Ciąg punktów (x

n

)

n∈N

przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeśli istnieje

taki punkt x ∈ X, że

lim

n→∞

d(x

n

, x) = 0

(2.2.1)

i piszemy

lim

n→∞

x

n

= x

Definicja 2.6. Zbieżność ciągu (x

n

) punktów przestrzeni liniowej unormowanej X do punktu x ∈ X

w sensie metryki wyznaczonej przez normę nazywamy zbieżnością według normy

lim

n→∞

x

n

= x według normy ⇐⇒ lim

n→∞

||x

n

− x|| = 0

(2.2.2)

Definicja 2.7. Mówimy, że ciąg (x

n

) przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli

^

ε>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) < ε

(2.2.3)

Twierdzenie 2.1. Ciąg, który spełnia warunek Cauchy’ego nazywamy ciągiem podstawowym

Twierdzenie 2.2. Każdy ciąg zbieżny punktów przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy’ego

zbieżny

−→

←

6−

podstawowy

Dowód:Niech lim

n→∞

x

n

= x

Wtedy

^

ε>0

_

M

^

n>M

d(x

n

, x) < ε

i niech ε =

1
2

ε

0

czyli

^

ε>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) <

1

2

ε

0

Zatem:

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) ¬ d(x

n

, x) + d(x, x

m

)

|

{z

}

<

1
2

ε

0

+

1
2

ε

0

=ε

0

skąd

^

ε

0

>0

_

M

^

n,m>M

d(x

n

, x

m

) < ε

0

więc ciąg (x

n

) jest podstawowy

Definicja 2.8. Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeżeli każdy ciąg podstawowy punktów X
jest zbieżny w tej przestrzeni.

Przykłady:

przestrzenie zupełne: R

n

, ha, bi

przestrzenie które nie są zupełne: (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi\{c} gdzie a, b, c ∈ R

Grzegorz Jastrzębski

2.3. Przestrzeń Banacha

Definicja 2.9. Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną

Przykłady

1. R

2

||x|| =

s

n

P

i=1

x

2
i

2. C(ha, bi)

||f || = sup

x∈ha,bi

|f |

metryczne

liniowe

unormowane

zupełne

Banacha

Rys. 2.1: Klasyfikacja przestrzeni

Rozdział 3

Przestrzenie unitarne

Niech X – przestrzeń linowa.

Definicja 3.1. X nazywamy przestrzenią unitarną jeśli dla każdej pary uporządkowanej (x, y) punk-
tów tej przestrzeni przyporządkowana jest liczba (x|y) taka, że:

u1) (x|x) > 0 ⇐⇒ x 6= 0 dla każdego x ∈ X oraz (x|x) = 0 ⇐⇒ x = 0
u2)

V

α

1

,α

2

∈R

V

x

1

,x

2

,y∈X

(α

1

x

1

+ α

2

x

2

|y) = α

1

(x

1

|y) + α

2

(x

2

|y)

u3)

V

x,y∈X

(x|y) = (y|x)

(x|y) nazywamy uogólnionym iloczynem skalarnym wektorów x i y

Definicja 3.2. Normę w przestrzeni unitarnej X określamy wzorem:

^

x∈X

||x||

def

=

p

(x|x)

(3.0.1)

i nazywamy normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny

Sprawdzenie spełnialności aksjomatów normy przez normę wyznaczoną przez iloczyn
skalarny

n1) ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

m
p(x|x) = 0 ⇐⇒ (x|x)

u1

= 0

n2)

V

x∈X

V

λ∈R

||λx|| = |λ| · ||x||

m
p(λx|λx)

u2

=

pλ · λ(x|x) = pλ

2

(x|x) =

√

λ

2

p(x|x) = |λ| · ||x||

n3)

V

x,y∈X

||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||

Wykorzystamy nierówność Schwarz’a

V

x,y∈X

|(x|y)| ¬ ||x|| · ||y||, mianowicie:



||x + y||



2

= (x + y|x + y)

u2

= (x|x) + 2(x|y) + (y|y) = ||x||

2

+ 2(x|y) + ||y||

2

nier.Schw.

¬

||x||

2

+ 2 ||x|| · ||y|| + ||y||

2

=



||x|| + ||y||



2

Uwaga: Każda przestrzeń unitarna jest

przestrzenią unormowaną

Definicja 3.3. Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną, która jest przestrzenią zupełną
w sensie normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny

Przykłady

1) X = R

n

jest przestrzenią Hilberta

x = (x

1

, . . . , x

n

)

y = (y

1

, . . . , y

n

)

(x|y) =

n

P

i=1

x

i

· y

i

||x|| = |x| =

s

n

P

i=1

x

2
i

=

p(x|x)

2) X = C(ha, bi) nie jest przestrzenią Hilberta (choć jest przestrzenią Banacha tyle, że nie w sensie

normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny)

^

f,g∈C(ha,bi)

(f |g) =

b

Z

a

f (t)g(t) dt

3.1. ORTOGONALNOŚĆ W PRZESTRZENI UNITARNEJ

9

Norma wyznaczona przez ten iloczyn skalarny

V

f,g∈C(ha,bi)

||f || =

p(f|f) =

v
u
u
u
t

b

Z

a

f

2

(t) dt

|

{z

}

norma kwadratowa

u1)

V

f,g∈C(ha,bi)

(f |f ) > 0 jeśli f ≡ 0

jeżeli f ≡ 0 to istnieje x ∈ ha, bi takie, że f (x) 6= 0 również f

2

(x) 6= 0 stąd

(f |f ) =

b

R

a

f (t)f (t) dt =

b

R

a

f

2

(t) dt > 0

u2)

V

α

1

,α

2

∈R

V

f,g∈C(ha,bi)

(α

1

f

1

+ α

2

f

2

|g) = α

1

(f

1

|g) + α

2

(f

2

|g)

(α

1

f

1

+ α

2

f

2

|g) =

b

R

a

[(α

1

f

1

(t) + α

2

f

2

(t)]g(t) dt =

b

R

a

α

1

f

1

(t)g(t) dt +

+

b

R

a

α

2

f

2

(t)g(t) dt = α

1

b

R

a

f

1

(t)g(t) dt + α

2

b

R

a

f

2

(t)g(t) dt = α

1

(f

1

|g) + α

2

(f

2

|g)

u3)

V

f,g∈C(ha,bi)

(f |g) =

b

R

a

f (t)g(t) dt =

b

R

a

g(t)f (t) dt = (g|f )

Uwaga: Można udowodnić, ze dowolną przestrzeń unitarną da się rozszerzyć (przez dodanie nowych
elementów) do przestrzeni Hilberta (czyli zupełnej ze względu na normę wyznaczoną przez iloczyn
skalarny)

3.1. Ortogonalność w przestrzeni unitarnej

Niech X – dowolna przestrzeń unitarna

Definicja 3.4. Punkty x, y ∈ X nazywamy ortogonalnymi ⇐⇒ (x|y) = 0

Definicja 3.5. Punkt y ∈ X nazywamy ortogonalnymi do podprzestrzeni X

o

przestrzeni X jeśli jest

ortogonalny do każdego punktu x ∈ X



V

x∈X

(x|y) = 0



Definicja 3.6. Punkt x

o

w X nazywa się rzutem ortogonalnym punktu x ∈ X na podprzestrzeń

X

o

przestrzeni X jeśli x

o

∈ X

o

oraz różnica x − x

o

jest ortogonalna do X

o

Twierdzenie 3.1. Każdy punkt x ∈ X ma co najwyżej jeden rzut ortogonalny na daną podprzestrzeń
X

o

przestrzeni X

Dowód:

Przypuśćmy, że x

0

o

, x

00

o

są rzutami ortogonalnymi pewnego punktu x na podprzestrzeń X

o

wtedy

z definicji 3.6:

x

0

o

, x

00

o

∈ X

o

oraz

V

y∈X

o

(

(x − x

0

o

|y) = 0

(x − x

00

o

|y) = 0

Odejmując stronami:

L = (x − x

0

o

|y) − (x − x

00

o

|y)

u2

=(x − x

0

o

− (x − x

00

o

)|y) = (x

00

o

− x

0

o

)

czyli

(x

00
o

− x

0
o

|y) = 0 − 0

=⇒

^

y∈X

o

(x

00

− x

0
o

|y) = 0

(

F)

W szczególności, wstawiając y = x

00

o

− x

0

o

do (

F) otrzymamy, że:

(x

00

o

− x

0

o

|x

00

o

− x

0

o

) = 0 ⇔ (||x

00

o

− x

0

o

||)

2

= 0 ⇔ ||x

00

o

− x

0

o

|| = 0

n1

⇐⇒ x

00

o

− x

0

o

= 0 ⇔

x

00
o

= x

0
o

Zatem nie istnieją dwa różne rzuty ortogonalne x na X

o

3.2. Zbiory otwarte i domknięte w przestrzeniach metrycznych

Niech (X, d) przestrzeń metryczna,

Z ⊆ X

Definicja 3.7. Otoczeniem Q(P

o

, r) punktu P

o

o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich takich

punktów P , że:

d(P, P

o

) < r

(3.2.1)

Grzegorz Jastrzębski

3.3. BAZA ORTONORMALNA PRZESTRZENI UNITARNEJ

10

Definicja 3.8. Sąsiedztwem S(P

o

, r) punktu P

o

o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich takich

punktów P , że:

0 < d(P, P

o

) < r

(3.2.2)

Definicja 3.9. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru

Z jeżeli w każdym sąsiedztwie tego

punktu P (dowolnie małym) znajduje się punkt ze zbioru

Z

Definicja 3.10. Zbiór

Z nazywamy otwartym jeśli dla każdego punktu P z tego zbioru istnieje

otoczenie punktu P o r > 0 zawarte w całości w zbiorze

Z

Definicja 3.11. Zbiór

Z nazywamy domkniętym jeśli zawiera wszystkie punkty skupienia tego

zbioru

1) X = R

(0, 1i nie jest otwarty ani domknięty.

Dowolne otoczenie punktu 1 nie zawiera się w tym zbiorze
0 jest punktem skupienia, bo dowolne sąsiedztwo 0 zawiera punkty z tego zbioru, który nie należy
do tego zbioru.

2) X = R

2

Z = {(x, y) : x

2

+ y

2

< 1}

|

{z

}

Z

1

∪ {(7, 7)}

|

{z

}

P

o

Z

1

jest otwarty ale

Z nie jest otwarty bo nie istnieje otoczenie punktu P

o

zawarte w całości

w zbiorze

Z

3) X = R

2

Z = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 1}

|

{z

}

Z

1

∪ {(7, 7)}

|

{z

}

P

o

Z

1

jest domknięty (zawiera wszystkie swoje punkty skupienia)

P

o

(7, 7) nie jest punktem skupienia tego zbioru ponieważ istnieje sąsiedztwo tego punktu, które

nie zawiera żadnego elementu zbioru

Z.

Zbiór

Z zawiera wszystkie swoje punkty skupienia więc też jest domknięty.

4) X = R h0, 1i jest domknięty bo dowolny punkt spoza tego zbioru nie jest punktem skupienia.
5) X = R (0, 1) jest otwarty bo dowolny punkt tego zbioru ma otoczenie zawarte w tym zbiorze.
6) X = R

2

Z = R

n

jest otwarty bo dla każdego punktu P ∈ R

n

z tego zbioru istnieje (każde)

otoczenie punktu P zawierające się w tym zbiorze.
Z = R

n

jest domknięty bo zawiera wszystkie swoje punkty skupienia (bo zawiera wszystkie punkty

przestrzeni X).

7) X = R

2

Z = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ r} ∪ {(0, y) : y ∈ (1, 7)}

Z nie jest otwarty bo istnieje punkt, np.:(0, r), taki, ze nie istnieje otoczenie tego punktu zawarte
w

Z

Z nie jest domknięty bo punkt (0, 7) jest punktem skupienia, gdyż każde sąsiedztwo tego punktu
zawiera elementy zbioru

Z, który nie należy do zbioru Z

Twierdzenie 3.2 (O rzucie ortogonalnym). Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta a podprzestrzeń X

o

⊆

X jest domknięta, to każdy punkt x ∈ X ma rzut ortogonalny na X

o

Każdy wektor ~

x da się zapisać w postaci ~

x = ~

x

o

+ ~

y gdzie ~

y – wektor ortogonalny do X

o

a ~

x

o

∈ X

o

3.3. Baza ortonormalna przestrzeni unitarnej

Niech X – przestrzeń unitarna o wymiarze k, skończenie wymiarowa, tzn. dim X = k ∈ N (czyli

każda baza składa się z k wektorów)

6

-















6

-







e

1

(1, 0, 0)

e

2

(0, 1, 0)

e

3

(0, 0, 1)

{e

1

, e

2

, e

3

} jest bazą gdyż:

1) jest układem wektorów liniowo niezależnych (bo żadnego

z tych wektorów nie da się wyrazić jako kombinację liniową
pozostałych)

2) jest maksymalnym takim układem liniowo niezależnych

wektorów (ponieważ dowolny wektor ~

u = (x, y, z) ∈ R

3

da

się zapisać jako kombinacja liniowa e

1

, e

2

, e

3

w następujący

sposób:

(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = xe

1

+ ye

2

+ ze

3

Grzegorz Jastrzębski

Definicja 3.12. Bazą ortonormalną przestrzeni X nazywamy każdy układ k wektorów tej przestrzeni
(a

1

. . . a

k

) taki, że:

(a

i

|a

j

) =

(

1

i = j

0

i 6= j

(3.3.1)

Twierdzenie 3.3. Jeżeli (a1 . . . a

k

) jest bazą ortonormalną przestrzeni unitarnej X, to dla każdego

x ∈ X

x =

k

X

i=1

(x|a

i

) · a

i

(3.3.2)

(każdy wektor przestrzeni X da się zapisać jako kombinacja liniowa wektorów bazy ortonormalnej)

Dowód:

Niech x =

k

P

i=1

λ

i

a

i

λ

i

∈ R

wtedy: (x|a

j

) =



k

P

i=1

λ

i

a

i





a

j



=

k

P

i=1

(λ

i

a

i

|a

j

) =

k

P

i=1

λ

i

(a

i

|a

j

) =

dla ustalonego j = 1 . . . k
= λ

1

(a

1

|a

j

) + . . . + λ

j−1

(a

j−1

|a

j

) + λ

j

(a

j

|a

j

) + λ

j+1

(a

j+1

|a

j

) + . . . + λ

k

(a

k

|a

j

) =

z definicji 3.12
= λ

j

· 1 = λ

j

czyli λ

j

= (x|a

j

) dla j = 1 . . . k

zatem x =

k

P

i=1

λ

i

a

i

=

k

P

i=1

(x|a

i

)a

i

Twierdzenie 3.4. Jeżeli baza jest ortonormalna to jest układem wektorów niezależnych

Dowód:

Weźmy x = 0 wtedy jeżeli 0 =

k

P

i=1

λ

i

a

i

to λ

i

= (0|a

i

) = 0(ξ|a

i

) = 0

Twierdzenie 3.5. Każda niepusta przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa ma bazę
ortonormalną

Każdą przestrzeń unitarną k-wymiarową można uważać za izomorficzną z przestrzenią R

k

.

Definicja 3.13. Każdą przestrzeń unitrną skończenie wymiarową nazywa się przestrzenią
euklidesową

Rozdział 4

Operatory i funkcjonały liniowe

Operator – przekształcenie przestrzeni liniowej X w przestrzeń liniową

Y

Funkcjonał – operator o wartościach liczbowych.

4.1. Działania na operatorach

Niech X dowolny zbiór,

Y – przestrzeń unormowana

oraz operatory T

1

, T

2

: X

 Y wtedy

T

1

+ T

2

: X

 Y taki, że

V

x∈X

(T

1

+ T

2

)(x) = T

1

(x) + T

2

(x)

dla liczby α
αT

1

: X

 Y

V

x∈X

(αT

1

)(x) = α · T

1

(x)

Definicja 4.1. Niech X,

Y przestrzenie liniowe unormowane

Operator T : X

 Y nazywamy liniowym jeśli:

L1)

^

x,y∈

Y

T (x + y) = T (x) + T (y)

(4.1.1)

L2)

^

λ∈R∨C

^

x∈

Y

T (λx) = λT (x)

(4.1.2)

Przykłady

1. X =

Y = R

V

x∈R

T (x) = ax + b

a, b– stałe (a, b ∈ R)

T nie jest operatorem liniowym bo

L2)

W

λ∈R

W

x∈R

T (λx) = aλx + b = λ(ax) + b 6= λ(ax + b)

nie jest spełnione, jak również

L1) T (x + y) = a(x + y) + b

6=

T (x) + T (y) = ax + b + ay + b

2. X =

Y = R

V

x∈R

T (x) = ax T jest operatorem liniowym bo

L1)

V

x,y∈R

T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = T (x) + T (y)

L2)

V

λ∈R

V

x∈R

T (λx) = a(λx) = λ(ax) = λT (x)

są spełnione

Definicja 4.2. Operator T : X  Y jest ciągły ⇐⇒

^

(x

n

)

n∈N

∈X

x∈X



lim

n→∞

x

n

⇒ lim

n→∞

T (x

n

) = T (x)



(4.1.3)

Definicja 4.3. Operator T : X  Y jest ograniczony ⇐⇒

_

c∈R

+

^

x∈X

||T (x)|| ¬ c ||x||

(∗)

Twierdzenie 4.1 (Banacha). Operator liniowy T : X  Y jest ciągły wtedy, i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony

Uwaga 1: Można pokazać, że zbiór wszystkich operatorów liniowych T : X

 Y przy ustalonych

przestrzeniach liniowych unormowanych X,

Y wraz z działaniami tworzy przestrzeń liniową.

4.2. PRZYKŁADY OPERATORÓW LINIOWYCH

13

Co więcej, zbiór wszystkich operatorów liniowych ciągłych wraz z tymi działaniami tworzy prze-

strzeń liniową unormowaną operatorów liniowych ciągłych przekształcających X w

Y oznaczaną przez

L(X,

Y). Norma operatora liniowego ciągłego T : X  Y jest zdefiniowana następująco:

||T ||

L

def

=

sup

x:||x||¬1



||T (x)||



(4.1.4)

Uwaga 2:

^

x∈X

||T (x)|| ¬ ||T ||

L

||x||

(4.1.5)

oraz ||T ||

L

jest najmniejszą z liczb c spełniających nierówność ∗ bo

||T ||

L

=

sup

x:||x||¬1



||T (x)||



¬

sup

x:||x||¬1

c ||x||

¬ c · 1 = c

Sprawdzenie aksjomatów normy dla ||T ||

L

n1) ||T ||

L

= 0 ⇐⇒ T ≡ 0



V

x∈X

T (x) = 0



„⇐” T ≡=⇔

V

x∈X

T (x) = 0 zatem dla c = 0

V

x∈X

0 = ||0|| = ||T (x)|| ¬ c ||x|| = 0 czyli

0 ¬ ||T ||

L

¬ 0

||T ||

L

jest najmniejszą stałą c dla której zachodzi warunek ∗ a warunek ∗ zachodzi dla c = 0

więc ||T ||

L

= 0

„⇒” Załóżmy, ze T 6≡ 0 czyli istnieje x

o

∈ X takie, ze T (x

o

) 6= 0.

Zatem dla x = x

o

: 0 < ||T (x)|| ¬ ||T ||

L

||x

o

|| stąd ||T ||

L

6= 0

n2)

V

α∈R

V

T ∈L(X,

Y)

||αT ||

L

= |α| · ||T ||

L

„⇐” ||(αT )(x)|| = ||αT (x)|| = |α| ||T (x)|| ¬ |α| ||T ||

L

|

{z

}

c

||x||

zatem ||αT ||

L

¬ |α| · ||T ||

L

ponieważ ||αT ||

L

jest najmniejszą stałą c dla której zachodzi

warunek:

^

x∈X

||(αT )(x)|| ¬ c ||x||

oraz |α| ||T ||

L

jest pewną taką stałą

„⇒” T =

1

α

αT

α 6= 0

Wtedy

V

x∈X

||T (x)|| =







1

α

αT (x)







=




1

α




||αT (x)|| ¬

1

α

||αT ||

L

|

{z

}

c

||x||

Zatem ||T ||

L

¬

1

|α|

||αT ||

L

|α| ||T ||

L

¬ ||αT ||

L

n3)

V

T

1

,T

2

∈L(X,

Y)

||T

1

+ T

2

||

L

¬ ||T

1

||

L

+ ||T

2

||

L

V

x∈X

||(T

1

+ T

2

)(x)|| = ||T

1

(X) + T

2

(x)|| ¬ ||T

1

(x)|| + ||T

2

(x)|| ¬ ||T

1

||

L

||x|| + ||T

2

||

L

||x|| =

||T

1

||

L

+ ||T

2

||

L

|

{z

}

c

||x||

zatem ||T

1

+ T

2

||

L

¬ ||T

1

||

L

+||T

2

||

L

gdyż ||T

1

||

L

+||T

2

||

L

jest pewną stałą c przy której zachodzi

^

x∈X

||(T

1

+ T

2

)(x)|| ¬ c ||x||

oraz ||T

1

+ T

2

||

L

jest najmniejszą taką stałą.

4.2. Przykłady operatorów liniowych

1) X – zbiór ciągów liczbowych a

n

∞

n=0

takich, że

∞

P

n=0

|a

n

| < ∞

Operator T zdefiniujemy następująco:

^

(a

n

)∈X

T (a

n

) =

∞

X

n=0

a

n

T : X 7→ R (T jest funkcjonałem)

Grzegorz Jastrzębski

4.3. ZŁOŻENIE OPERATORÓW

14

Jest liniowy gdyż:

L1)

V

a

n

,b

n

∈X

T (a

n

+ b

n

) =

∞

P

n=0

(a

n

+ b

n

) =

∞

P

n=0

a

n

+

∞

P

n=0

b

n

= T (a

n

) + T (b

n

)

L2)

V

α∈R

V

a

n

∈X

T (αa

n

) =

∞

P

n=0

(αa

n

) = α

∞

P

n=0

a

n

= αT (a

n

)

2) X – zbiór wszystkich funkcji określonych na przedziale ha, bi

Operator liniowy T zdefiniujemy następująco:

^

f ∈X

T (f ) = f

0

T : X 7→

Y: zbiór wszystkich funkcji określonych na ha, bi

3)

Z – zbiór ciągów liczbowych a

n

∞

n=0

zbieżnych (X z przykładu 1 zawiera się w

Z)

Norma w

Z jest zdefiniowana następująco:

^

(a

n

)∈

Z

||a

n

||

def

= sup

n

|a

n

|

(4.2.1)

Niech

Y = R

Operator liniowy T :

Z 7→ R zdefiniowany jest następująco

^

(a

n

)∈

Z

T (a

n

)

def

= lim

n→∞

a

n

(4.2.2)

T jest ograniczony gdyż:

V

(a

n

)∈X







T a

n








=









lim

n→∞

a

n









=





lim

n→∞

a

n





¬ sup

n

|a

n

| = ||a

n

||

Czyli dla dowolnej stałej c ­ 1 zachodzi (i nie zachodzi dla żadnego c < 1)

V

a

n

∈

Z

||T (a

n

)|| ¬ c ||a

n

||

(bo ||T (a

n

)|| ¬ 1 ||a

n

||) zatem ||T ||

L

= 1

4) T

a

: R 7→ R a ∈ R (= const)

^

x∈R

T

a

(x) = ax

(4.2.3)

T

a

jest liniowy. Jest również ograniczony a tym samym ciągły.

V

x∈R

||T

a

(x)|| = |T (x)| = |ax| = |a| |x| = |a| ||x|| czyli

W

c­|a|

||T (x)|| ¬ c ||x||

Co więcej ||T

a

||

L

= |a|

Można pokazać, że:

T ∈ L(R, R) ⇔

_

a∈R

^

x∈R

T (x) = ax

4.3. Złożenie operatorów

Niech T

1

∈ L(X,

Y), T

2

∈ L(

Y, Z)

X

T

1

−−−−→

Y

T

2

−−−−→

Z

Definicja 4.4. Złożeniem operatorów T

1

i T

2

nazywamy operator T

2

T

1

: X 7→

Z zdefiniowany nastę-

pująco

^

x∈X

T

2

T

1

(x)

def

= T

2



T

1

(x)



(4.3.1)

Dowód ograniczoności:

V

x∈X

||T

2

T

1

(x)|| =









T

2



T

1

(x)










= ||T

2

||

L

||T

1

(x)||

T

1

∈L(X,

Y)

¬

||T

2

||

L

||T

1

||

L

|

{z

}

c

||x||

Wniosek z dowodu: ||T

2

T

1

||

L

¬ ||T

2

||

L

||T

1

||

L

||T

2

||

L

||T

1

||

L

jest pewną stałą c przy której zachodzi warunek (∗) a ||T

2

T

1

||

L

jest, z definicji, naj-

mniejszą taką stałą c.

Dowód liniowości

L1)

V

x,y∈X

(T

2

T

1

)(x + y) = (T

2

T

1

)(x) + (T

2

T

1

)(y) ⇒ T

2

(T

1

(x + y) = T

2

(T

1

(x) + T

1

(y)) =

= T

2

(T

1

(x)) + T

2

(T

1

(y))

L2)

V

λ∈R

V

x,y∈X

= λ(T

2

T

1

)(x) ⇒ T

2

(T

1

(λx)) = T

2

(λT

1

(x)) = λT

2

(T

1

(x))

Grzegorz Jastrzębski

4.4. TEORIA RÓWNANIA LINIOWEGO

15

Definicja 4.5. Potęgą T

n

operatora liniowego ciągłego T ∈ L(X,

Y) nazywamy operator zdefiniowany

następująco

(

T

1 def

= T

T

n def

= T · T

n−1

dla n ­ 2

(4.3.2)

T

n

∈ L(X,

Y)

indukcja po n:

1

◦

) n = 1 oczywiste z założenia, że T ∈ L(X,

Y)

2

◦

) z założenia, że T

n−1

∈ L(X,

Y) wynika, że T

n

∈ L(X,

Y) bo T

n

jest złożeniem T, T

n−1

Uwaga: ||T

n

||

L

¬ ||T ||

L

n

V

x∈X

||T

n

(x)|| ¬







T

2







L

||x|| ¬ ||T ||

L

n

||x||

Przykład:

T : R

m

7→ R

n

^

x∈R

m

T (x) = Ax

gdzie A = [a

ij

]

n×m

czyli

T (x) = y =






y

1

..

.

y

n






=






a

11

. . .

a

1m

..

.

..

.

a

n1

. . .

a

nm













x

1

..

.

x

m








y

i

=

m

X

j=1

a

ij

x

j

dla i = 1, . . . , n

Operator ten jest liniowy bo

L1) T (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = T (x) + T (y)
L2) T (λx) = A(λx) = λ(Ax) = λT (x)

Jest ograniczony

||T (x)||

2

=

n

P

i=1

(y

i

)

2

=

n

P

i=1

m

P

j=1

a

ij

x

j

!

2

¬

n

P

i=1

m

P

j=1

a

2
ij

!

m

P

j=1

x

2
j

!

=

n

P

i=1

m

P

j=1

a

2
ij

||x||

2

czyli

V

x∈R

m

||T (x)|| ¬ c ||x|| gdzie c =

s

n

P

i=1

m

P

j=1

a

2
ij

Wniosek:

||T ||

L

¬

s

n

P

i=1

m

P

j=1

a

2
ij

bo ||T ||

L

jest najmniejszym c przy którym zachodzi:

V

x∈R

m

||T (x)|| ¬ c ||x||

Można pokazać, że:

T : R

m

7→ R

n

jest liniowy ⇐⇒

_

A

n×m

^

x∈R

m

T (x) = Ax

Każdy operator liniowy T : R

m

7→ R

n

daje się reprezentować macierzą A

n×m

. Każda macierz wy-

znacza operator liniowy T

A

: R

m

7→ R

n

^

x∈

m

T

A

(x) = Ax

Uwaga: dla dowolnych macierzy A

n×k

, B

k×m

T

A

T

B

= T

AB

AB

n×m

czyli T

AB

: R

m

7→ R

n

oraz

T

A

T

B

(x) = T

A

(T

B

(x)) = T

A

(Bx) = A(Bx) = AB(x) = T

AB

(x)

4.4. Teoria równania liniowego

X – przestrzeń unormowana;

T ∈ L(X, X)

Rozważmy równanie postaci

x − T (x) = y

(4.4.1)

Grzegorz Jastrzębski

4.4. TEORIA RÓWNANIA LINIOWEGO

16

gdzie y ∈ X – dane; x ∈ X – szukane
czyli równanie postaci

y = U (x)

(4.4.2)

gdzie U = I − T Równanie to ma rozwiązanie ⇐⇒ istnieje operator odwrotny U

−1

x = U

−1

(y)

Definicja 4.6. Operatorem odwrotnym do operatora T : X 7→

Y jest operator T

−1

:

Y 7→ X taki, że

T · T

−1

= I

Uwaga: Jeśli U ∈ L(X,

Y) oraz U

−1

istnieje to U

−1

∈ L(

Y, X) czyli U

−1

jest liniowy oraz zależy

w sposób ciągły od y ∈

Y

Twierdzenie 4.2. Jeżeli X jest przestrzenią Banacha oraz T ∈ L(X,

Y) przy czym ||T ||

L

< 1 to

równanie (4.4.1) ma dla dowolnego y ∈ X dokładnie jedno rozwiązanie x = U

−1

(y)

Dowód:

n-te przybliżenie rozwiazania

x = y + T (x) = y + T (y + T (x)) = y + t(y) + T

2

(x) = y + T (y) + T

2

(y + T (x)) = . . . = y + T (y) +

. . . + T

n−1

(y) + T

n

(x)

| {z }

↓

0

n=∞

= x

n

+ T

n

(x)

Definiujemy n-te przybliżenie następująco:

x

n

= y + T (y) + T

2

(y) + . . . + T

n−1

(y) =

n−1

X

k=0

T

k

(y)

Rozwiązaniem jest

x = lim

n7→∞

(x

n

+ T

n

(x)) = lim

n7→∞

x

n

= lim

n7→∞

n−1

X

k=0

T

k

(y) =

∞

X

n=0

T

n

(y)

|

{z

}

Szereg Neumann’a

Można pokazać, że jeśli ||T ||

L

< 1 to szereg Neumann’a jest zbieżny a zatem istnieje rozwiązanie.

Przykład:

X = R

n

;

y = T (x);

T : X 7→ X

(istnieje macierz A

n×n

taka, że y = Ax – układ n równań liniowych z n niewiadomymi)

dla y = 0

Ax = 0 – układ równań jednorodnych z n niewiadomymi.

Układ Ax = 0 nigdy nie jest sprzeczny bo x = 0 jest zawsze rozwiązaniem . Co więcej, układ ma

dokładnie jedno rozwiązanie (x=0)

⇔ r(A) = n ⇔ r(A) ¬ n(A) ¬ n(A

0

) ¬ n ⇔ n(A) = n(A

0

) ⇔

układ Ax = y ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego y

(A

0

= [A|y])

Fakt (uogólnienie powyższego):

X – przestrzeń Banacha, T ∈ L(X, X)
Równanie x − T (X) = y ma rozwiązanie dla każdego y ∈ X ⇔ x = 0 jest jedynym rozwiązaniem
równania jednorodnego x − T (x) = 0

Przykład

X – zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale ha, bi

a, b ∈ R

Zdefiniujemy następujący operator całkowy

^

f ∈X

T (f ) = h

gdzie

^

s∈ha,bi

h(s) =

b

Z

a

N (s, t)·f (t) dt

(4.4.3)

N (s, t) – jądro operatora T (funkcja ciągła i określona w przedziale ha, bi × ha, bi)
Można pokazać, że tak zdefiniowany operator T jest liniowy i ograniczony a tym samym ciągły, czyli
T ∈ L(X, X)

||T (f )|| = ||h|| = sup

s∈ha,bi

|h(s)|

oraz

||f || = sup

t∈ha,bi

|f (t)|

Z „Faktu” wynika, że:
Dla każdej funkcji g, określonej na ha, bi istnieje funkcja f określona na ha, bi spełniająca równanie
całkowe:

^

s∈ha,bi

f (s) =

b

Z

a

N (s, t)f (t) dt = g(s) ⇐⇒

Grzegorz Jastrzębski

4.5. WIDMO OPERATORA LINIOWEGO

17

jedynie funkcja f ≡ 0 jest rozwiązaniem równania

^

s∈ha,bi

f (s) =

b

Z

a

N (s, t)f (t) dt = 0

4.5. Widmo operatora liniowego

X – przestrzeń Banacha;

T ∈ L(X, X);

λ ∈ R

Definicja 4.7. Jeżeli równanie T (x) − λx = y ma dla każdego y (w szczególności y = 0) dokładnie
jedno rozwiązanie, to mówimy, że λ jest wartością regularną operatora T
λ jest wartością regularną operatora T ⇐⇒ istnieje operator (T − λI)

−1

Definicja 4.8. Zbiór wszystkich liczb λ, które nie są wartościami regularnymi operatora T nazywamy
jego widmem i oznaczamy przez Sp(T )

Twierdzenie 4.3. Jeżeli λ ∈ Sp(t) ⇒ |λ| ¬ ||T ||

L

Definicja 4.9. Liczba λ nazywa się wartością własną operatora T jeżeli równanie T (x) − λx = 0
ma różne od zera rozwiązania.
Każde z takich rozwiązań nazywamy elementem (wektorem) własnym odpowiadającej wartości
własnej λ

Twierdzenie 4.4. Każda wartość własna operatora T należy do jego widma

Jeżeli λ jest wartością własną, to równanie T (x)λx = 0 ma więcej niż jedno rozwiązanie, czyli

istnieje y = 0 przy którym równanie T (x) − λx = y nie ma dokładnie jednego rozwiązania. Zatem λ
nie jest wartością regularną czyli należy do widma.

R

wartość regularna

widmo









wartość własna

Rys. 4.1: Uwaga: Nie każdy element widma operatora T jest jego wartością własną

4.6. Operatory samosprzężone

Niech X – przestrzeń Hilberta, T ∈ L(X, X)

Definicja 4.10. Jeżeli dla dowolnych x, y ∈ X



T (x)|y



=



x|T (y)



(4.6.1)

to T nazywamy operatorem samosprzężonym

Grzegorz Jastrzębski

Przykład:

X = R

n

Operator T : L(R

n

, R

n

) opisany macierzą A

n×n

jest samosprzężony gdy macierz jest symetryczna,

bo:

(A x|y) =



T (x)|y



=



x|T (y)



= (x|A y)

( ~

A x)

T

(~

y) = (~

x)

T

( ~

A y)

(A x)

T

y = x

T

A y

x

T

A

T

y = x

T

A y

A

T

= A

czyli macierz jest symetryczna

Twierdzenie 4.5. Jeżeli T jest operatorem samosprzężonym, to

||T || = sup

||x||=1







T (x)|y






(4.6.2)

Uwaga:

sup |x

n

| =

(

|sup x

n

|

gdy |sup x

n

| > |inf x

n

|

|inf x

n

|

gdy |sup x

n

| < |inf x

n

|

(†)

Definicja 4.11. Jeżeli T jest operatorem samosprzężonym, to liczby

m(T )

def

=

inf

||x||=1







T (x)|x






(4.6.3)

M (T )

def

=

sup

||x||=1







T (x)|x






(4.6.4)

nazywamy odpowiednio kresem dolnym (m) i górnym (M ) operatora T

Z twierdzenia 4.5 i wzoru (†) wynika, że:

||T || = max

n

|m(T )| , |M (T )|

o

(4.6.5)

Twierdzenie 4.6. Każda liczba λ należąca do widma operatora samosprzeżonego spełnia nierówność

m(T ) ¬ λ ¬ M (T )

(4.6.6)

obie liczby m(T ) i M (T ) są elementami widma.

Twierdzenie 4.7 (Banacha o punkcie stałym operatora zwężającego). Jeżeli X jest przestrzenią
Banacha, T ∈ L(X, X) oraz istnieje stała α < 1 taka, że

x, y ∈ X :

d(T (x), T (y)) ¬ αd(x, y)

to w przestrzeni X istnieje jeden taki punkt x

∗

, że x

∗

= T (x

∗

)

Dodatek A

Pytania na egzamin

— Część pierwsza (rozdziały 1., 2.)

1. Co to jest metryka? Podaj przykład metryki.
2. Co to jest przestrzeń metryczna? Podaj przykład przestrzeni metrycznej.
3. Co to jest przestrzeń liniowa? Podaj przykład przestrzeni liniowej.
4. Kiedy mówimy, że punkty przestrzeni liniowej są liniowo niezależne? Co nazywamy bazą

przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej?

5. Co to jest norma? Podaj przykład normy.
6. Co to jest przestrzeń unormowana? Podaj przykład takiej przestrzeni.
7. Jak wygląda metryka wyznaczona przez normę? wykaż, że jest metryką.
8. Co to jest metryka pitagorejska? Wykaż, że jest metryką.
9. Co to jest metryka Czybyszewa?

10. Co to jest zbieżność według normy?
11. Jaki ciąg nazywamy podstawowym? Podaj warunek Cauchy’ego.
12. Jaką przestrzeń nazywamy zupełną? Podaj przykład takiej przestrzeni.
13. Co to jest przestrzeń Banacha? Podaj przykład przestrzeni Banacha.

— Część druga (rozdział 3.)

1. Co to jest przestrzeń unitarna? Podaj przykład takiej przestrzeni.
2. Jak wygląda norma przestrzeni unitarnej? Wykaż, że jest normą.
3. Co to jest przestrzeń Hilberta? Podaj przykład takiej przestrzeni.
4. Jaki zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy otwartym a jaki domkniętym? Podaj przykłady

zbiorów otwartych i zbiorów domkniętych.

5. Czy zbiór R

n

jest otwarty? Czy jest domknięty? Podaj przykład zbioru, który nie jest otwarty

ani domknięty.

6. Jakie punkty przestrzeni unitarnej nazywamy ortogonalnymi? jaki punkt jest ortogonalny do

przestrzeni?

7. Co to jest rzut ortogonalny? Twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
8. Co to jest baza ortonormalna przestrzeni unitarnej? Podaj przykład takiej bazy.

— Część trzecia

1. Co to jest operator liniowy? Podaj przykład takiego operatora?
2. Co nazywamy funkcjonałem? Podaj przykład funkcjonału.
3. Co to jest norma operatora? Podaj normę dowolnie wybranego operatora.
4. Jaki operator liniowy nazywamy ciągłym a jaki ograniczonym?
5. Podaj dwa przykłady operatorów ciągłych. Ile wynoszą normy tych operatorów?
6. Jak wygląda operator liniowy wyznaczony przez macierz? Czy jest ograniczony?
7. Jakiego równania dotyczy teoria równania liniowego? Twierdzenie Banacha o operatorze od-

wrotnym.

8. Jaki jest związek między rozwiązywalnością równania liniowego niejednorodnego a rozwiązy-

walnością równania liniowego jednorodnego?

9. Co nazywamy wartością regularną a co wartością własną operatora? Widmo operatora linio-

wego. Czy każdy element widma jest wartością własną operatora?

10. Pojęcie operatora samosprzężonego. Podaj przykład takiego operatora. Norma operatora sa-

mosprzężonego.

11. Twierdzenie o widmie operatora samosprzężonego.

Dodatek B

Oznaczenia

d(x, y) — uogólniona odległość x od y

N — zbiór liczb naturalnych

R — zbiór liczb rzeczywistych

C — zbiór liczb zespolonych
K — zbiór skalarów

W — kwantyfikator szczegółowy (istnieje takie ..., że ...)
V — kwantyfikator ogólny (dla wszystkich ... zachodzi ...)
∼ — negacja
dim X — wymiar przestrzeni liniowej X
||x|| — norma wektora x
||T ||

L

— norma operatora

C(ha, bi) — zbiór funkcji określonych na ha, bi
(a|b) — iloczyn skalarny