Zadanie 1. Niech E, F be

ι

da

ι

przestrzeniami liniowymi unormowanymi i niech A : E → F be

ι

dzie odwzorowaniem

liniowym.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

cia

ι

gÃlo´sci A w punkcie x

0

∈ E.

b)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

ograniczono´sci A.

c)

OdwoÃluja

ι

c sie

ι

do podanych definicji prosze

ι

udowodni´c, ˙ze je˙zeli A jest ograniczony to jest cia

ι

gÃly w punkcie

x

0

= 0.

d)

OdwoÃluja

ι

c sie

ι

do podanych definicji prosze

ι

udowodni´c, ˙ze je˙zeli A jest jest cia

ι

gÃly w punkcie x

0

= 0 to jest

ograniczony.

Zadanie 2. Niech E := (C[−1, 1], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−1, 1]}. Niech

X := {u ∈ E; u(0) = 0}, Y := {u ∈ E; u(0) = 1}

a)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze X i Y sa

ι

domknie

ι

tymi podzbiorami przestrzeni E.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze X jest podprzestrzenia

ι

liniowa

ι

przestrzeni E.

c)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze Y nie jest podprzestrzenia

ι

liniowa

ι

przestrzeni E.

d)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze X jest przestrzenia

ι

Banacha.

Zadanie 3. Niech X be

ι

dzie przestrzenia

ι

Banacha zdefiniowana

ι

w poprzednim punkcie. Niech

A : X → X be

ι

dzie odwzorowaniem liniowym zdefiniowanym wzorem

(A(u))(t) := (1 − t

2

)u(t)

a)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze kAk ≤ 1.

b)

Czy istnieje element u ∈ X taki, ˙ze kuk = 1 oraz kA(u)k = 1?

1

Imie

ι

i Nazwisko:

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

liniowa

ι

unormowana

ι

.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

zbie˙zno´sci cia

ι

gu {x

n

}

∞

n=1

, x

n

∈ E.

b)

OdwoÃluja

ι

c sie

ι

do podanej definicji prosze

ι

udowodni´c, ˙ze je˙zeli cia

ι

gi {x

n

}

∞

n=1

, {y

n

}

∞

n=1

, x

n

y

n

∈ E, sa

ι

zbie˙zne,

to

lim

n→∞

(x

n

+ y

n

) = lim

n→∞

x

n

+ lim

n→∞

y

n

oraz

lim

n→∞

kx

n

+ y

n

k = k lim

n→∞

x

n

+ lim

n→∞

y

n

k

Zadanie 2.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

ograniczonego operatora liniowego okre´slonego w przestrzeni Banacha E i przyjmuja

ι

cego

warto´sci w przestrzeni Banacha F. Prosze

ι

poda´c definicje

ι

normy takiego operatora.

b)

Prosze

ι

sformuÃlowa´c i udowodni´c twierdzenie o normie zÃlo˙zenia operator´ow liniowych ograniczonych.

c)

Niech E := (C[−1, 1], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−1, 1]}. Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze operator A : E → E dany wzorem

(A(u))(t) := (2 − t

2

)u(t)

jest liniowy, ograniczony i wyliczy´c jego norme

ι

.

d)

Niech EF := (C[−10, 10], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−10, 10]}.

Operator B : F → F dany wzorem

(A(u))(t) := (2 − t

2

)u(t)

jest liniowy, ograniczony. Prosze

ι

wyliczy´c jego norme

ι

.

Zadannie 3.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlaja

ι

cego w przestrzeni Hilberta

H.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wz´or

A(x) := {y

1

, y

1

, . . . , y

n

, . . . }, x = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . . }

gdzie

y

n

=







x

1

,

dla n = 1;

x

n+1

,

dla n = 2k;

x

n−1

,

dla n = 2k + 1 > 1.

definiuje symetryczny operator A : l

2

→ l

2

.

2

Zadannie 3.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlaja

ι

cego w przestrzeni Hilberta

H.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wz´or

A(x) := {3x

2

, 3x

1

, 3x

4

, 3x

2

, . . . }

definiuje symetryczny operator A : l

2

→ l

2

.

c)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze A nie jest zwarty.

d)

Prosze

ι

znale´z´c warto´sci wÃlasne A.

Imie

ι

i Nazwisko:

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

liniowa

ι

unormowana

ι

.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

zbie˙zno´sci cia

ι

gu {x

n

}

∞

n=1

, x

n

∈ E.

b)

OdwoÃluja

ι

c sie

ι

do podanej definicji prosze

ι

udowodni´c, ˙ze je˙zeli cia

ι

gi {x

n

}

∞

n=1

, {y

n

}

∞

n=1

, x

n

, y

n

∈ E, sa

ι

zbie˙zne, to

lim

n→∞

(x

n

+ y

n

) = lim

n→∞

x

n

+ lim

n→∞

y

n

oraz

lim

n→∞

kx

n

+ y

n

k = k lim

n→∞

x

n

+ lim

n→∞

y

n

k

Zadanie 2.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

ograniczonego operatora liniowego okre´slonego w przestrzeni Banacha E i przyjmuja

ι

cego

warto´sci w przestrzeni Banacha F. Prosze

ι

poda´c definicje

ι

normy takiego operatora.

b)

Prosze

ι

sformuÃlowa´c i udowodni´c twierdzenie o normie zÃlo˙zenia operator´ow liniowych ograniczonych.

c)

Niech E := (C[−1, 1], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−1, 1]}. Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze operator A : E → E dany wzorem

(A(u))(t) := (2 − t

2

)u(t)

jest liniowy, ograniczony i wyliczy´c jego norme

ι

.

d)

Niech F := (C[−10, 10], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−10, 10]}.

Operator B : F → F dany wzorem

(B(u))(t) := (2 − t

2

)u(t)

jest liniowy, ograniczony. Prosze

ι

wyliczy´c jego norme

ι

.

Zadanie 3.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlaja

ι

cego w przestrzeni Hilberta

H.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wz´or

A(x) := {x

1

, x

3

, x

2

, x

5

, x

4

, . . . }

( tzn.

y

n

=







x

1

,

dla n = 1;

x

n+1

,

dla n = 2k;

x

n−1

,

dla n = 2k + 1 > 1.

gdzie y = A(x) )

definiuje symetryczny operator A : l

2

→ l

2

.

c)

Jakie sa

ι

warto´sci wÃlasne i wektory wÃlasne A?

3

Egzamin z analizy funkcjonalnej.

Zadanie 1. Niech E be

ι

dzie przestrzenia

ι

liniowa

ι

unormowana

ι

.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

zbie˙zno´sci cia

ι

gu {x

n

}

∞

n=1

, x

n

∈ E.

b)

OdwoÃluja

ι

c sie

ι

do podanej definicji prosze

ι

udowodni´c, ˙ze je˙zeli cia

ι

gi {x

n

}

∞

n=1

, {α

n

}

∞

n=1

, x

n

∈ E, α

n

∈ R, sa

ι

zbie˙zne, to

lim

n→∞

(α

n

x

n

) = lim

n→∞

α

n

lim

n→∞

x

n

oraz

lim

n→∞

kα

n

x

n

k = k lim

n→∞

α

n

lim

n→∞

x

n

k

Zadanie 2.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

ograniczonego operatora liniowego okre´slonego w przestrzeni Banacha E i przyjmuja

ι

cego

warto´sci w przestrzeni Banacha F. Prosze

ι

poda´c definicje

ι

normy takiego operatora.

b)

Prosze

ι

sformuÃlowa´c i udowodni´c twierdzenie o normie zÃlo˙zenia operator´ow liniowych ograniczonych.

c)

Niech E := (C[−1, 1], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−1, 1]}. Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze operator A : E → E dany wzorem

(A(u))(t) := (t

2

− 2)u(t)

jest liniowy, ograniczony i wyliczy´c jego norme

ι

.

d)

Niech F := (C[−10, 10], k.k) be

ι

dzie przestrzenia

ι

funkcji cia

ι

gÃlych z norma

ι

kuk := sup{|u(t)|; t ∈ [−10, 10]}.

Operator B : F → F dany wzorem

(B(u))(t) := (t

2

− 2)u(t)

jest liniowy, ograniczony. Prosze

ι

wyliczy´c jego norme

ι

.

Zadanie 3.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

liniowego symetrycznego ograniczonego operatora dziaÃlaja

ι

cego w przestrzeni Hilberta

H.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wz´or

A(x) := {x

1

, x

2

, x

4

, x

3

, x

6

, x

5

, . . . }

( tzn.

y

n

=







x

n

,

dla n = 1, 2;

x

n−1

,

dla n = 2k > 2;

x

n+1

,

dla n = 2k + 1 > 2.

gdzie y = A(x) )

definiuje symetryczny operator A : l

2

→ l

2

.

c)

Jakie sa

ι

warto´sci wÃlasne i wektory wÃlasne A?

4

Imie

ι

i Nazwisko:

Zadanie 1.

a)

Prosze

ι

poda´c definicje

ι

ograniczonego operatora liniowego okre´slonego w przestrzeni Banacha E i przyjmuja

ι

cego

warto´sci w przestrzeni Banacha F. Prosze

ι

poda´c definicje

ι

normy takiego operatora.

b)

Niech x = {x

1

, x

2

, x

3

, . . . , x

n

, . . . } ∈ l

2

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze wz´or

A(x) := {0, (1 −

1
2

)x

2

, (1 −

1
3

)x

3

, . . . , (1 −

1

n

)x

n

, . . . }

definiuje ograniczony operator A : l

2

→ l

2

.

c)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze kAk ≤ 1.

d)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze kAk = 1.

Zadanie 2.

a)

Niech H be

ι

dzie przestrzenia

ι

Hilberta. Prosze

ι

poda´c definicje

ι

liniowego ograniczonego funkcjonaÃlu ξ : H → R.

b)

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze liniowy ograniczony funkcjonaÃl ξ : H → R jest cia

ι

gÃly.

c)

Ustalmy element a ∈ H i przyjmijmy

ξ(x) :=< x, a >

Prosze

ι

udowodni´c, ˙ze tak zdefiniowany funkcjonaÃl jest ograniczony i

kξk = kak

d)

Prosze

ι

sformuÃlowa´c twierdzenie Riesza (o postaci funkcjonaÃlu liniowego ograniczonego w przestrzeni

Hilberta).

5