GRANICE I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

1. Udowodnić, że podana granica nie istnieje lim

x→0

1

x

3

.

2. Dana jest funkcja f (x) =







sin 2x

x

,

x ∈ (−

π

2

, 0),

2x
|x|

,

x ∈ (0,

π

2

)

. Oblicz granice tej funkcji w punkcie x

0

= 0.

3. Dowieść, że jeżeli n, m ∈ N oraz a

m

, b

n

6= 0 to

lim

x→∞

a

m

x

m

+ a

m−1

x

m−1

+ ... + a

1

x + a

0

b

n

x

n

+ b

n−1

x

n−1

+ ... + b

1

x + b

0

=



























+∞,

m > n, a

m

· b

n

> 0,

−∞,

m > n, a

m

· b

n

< 0,

a

m

b

n

n = m,

0

m < n,

4. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:

1) lim

x→1

2

1

1−x3

,

2) lim

x→2

x

2

− 4

|x − 2|

,

3) lim

x→0

sin x

|x|

,

4) lim

x→3

x

3

− 3

(x − 3)

2

,

5) lim

x→3

x

3

− 3

(x − 3)

3

,

6) lim

x→1

x + 1

x − 1

,

7) lim

x→1

x

2

− 3x + 2

(x − 1)

2

.

5. Obliczyć podane granice

1) lim

x→∞

√

1 + x + 2

√

1 + x

2

,

2)

lim

x→−∞

√

x

2

+ 1

x

,

3)

lim

x→−∞

p

x

2

+ 1 + x



,

4)

lim

x→−1

x

3

− 2x − 1

x

5

− 2x − 1

,

5) lim

x→0

√

1 − 2x − x

2

− (1 + x)

x

,

6) lim

x→∞

x

2

− x + 4

√

x

3

+ 2

,

7) lim

x→4

x

2

− 6x + 8

x

2

− 5x + 4

,

8) lim

x→5

3

√

x − 4 − 1

x − 5

,

9) lim

x→∞

(

p

x

2

+ x − 6 − x),

10) lim

x→0

5x

3 sin 2x

,

11) lim

x→0

sin 5x

sin 3x

,

12) lim

x→

π

2

cos x

π − 2x

,

13)

lim

x→0

−

tg 3x

x

3

,

14) lim

x→∞

tg

1
x

tg

2
x

,

15) lim

x→0

sin 6x

tg 2x

,

16) lim

x→0

sin

2

3x

x

2

,

17) lim

x→0

1 − cos x

x

2

,

18) lim

x→∞

2

x

+ 3

x

3

x

+ 1

,

19) lim

x→∞

2 · 5

x

− 2

x

3

x

− 4 · 5

x

,

20) lim

x→0

(1 + x)

1

5x

,

21) lim

x→0

+

x

√

1 + sin x,

22) lim

x→∞



3x + 5

3x + 7



x+1

,

23) lim

x→2

+

(x − 1)

1

x−2

,

24) lim

x→∞

x [ln(x + 4) − ln(x + 1)] ,

25) lim

x→0

+

[ln(x) − ln(sin 2x)] ,

26) lim

x→0

ln(1 + sin

2

x)

x

2

,

27) lim

x→0

1 −

√

1 − x

sin 4x

,

28)

lim

x→−∞

x + sin x

x − cos x

,

29) lim

x→

π

4

cos x − sin x

cos 2x

,

30) lim

x→0

√

2 −

√

1 + cos x

sin

2

x

,

31) lim

x→1

x

4

− 3x + 2

x

5

− 4x + 3

32)

lim

x→−1

1 +

3

√

x

1 +

5

√

x

,

33) lim

x→

1
2

8x

3

− 1

6x

2

− 5x + 1

34) lim

x→8

√

9 + 2x − 5

3

√

x − 2

35)

lim

x→−∞

e

x+sin

2

x

,

36) lim

x→∞

(2 sin x − x).

6. Funkcje określone na wspólnej dziedzinie X = R \ {0} wzorami

a) f (x) =

tg 3x

5x

b) f (x) =

3

√

x + 1 − 1

x

są nieciągłe w punkcie x

0

= 0. Określić funkcje w tym punkcie w taki sposób aby były one ciągłe.

1

7. Zbadać czy podane funkcje są ciągłe

a) f (x) =

(

sin x,

|x| ¬

π

2

,

4

x
π

2

,

|x| >

π

2

,

b) f (x) =















x − 1,

x ¬ 0,

0,

0 < x < 2,

2x − 4,

x ­ 2,

c) f (x) =







x

|x|

,

x 6= 0,

0,

x = 0.

d) f (x) =















x,

x ¬ 0,

x

x−1

,

0 < x < 1,

x

2

− 14,

x ­ 1

8. Znaleźć wartości parametrów a,b,c,p tak aby podane funkcje były ciągłe

a) f (x) =

(

x

3

−27

x−3

,

x 6= 3,

p,

x = 3,

b) f (x) =

(

sin 3x
sin 5x

,

x 6= 0,

p,

x = 0,

c) f (x) =

(

√

1+x−1

x

,

x 6= 0,

a,

x = 0.

d) f (x) =

(

tg(x−2)

x

2

−2x

,

x 6= 2,

a,

x = 2,

e) f (x) =



























sin ax

x

,

x < 0,

x

4

−1

x

2

−4x+3

,

0 ¬ x < 1,

c,

x = 1,

2 − 2

bx

,

x > 1,

f) f (x) =















√

x

2

+5−3

x

2
4

,

x ∈ R \ {−2, 2},

1
2

ln

2

a −

1
3

ln a,

x = 2,

1
3

sin b,

x = −2.

9. Wykorzystując twierdzenie Dorboux, uzasadnić, że f (x) = sin x + cos x w przedziale [0, π] przyjmuje

wartość

1
3

.

10. Wykorzystując twierdzenie Dorboux, uzasadnić, że f (x) = 2

x

+x

2

w przedziale [1, 3] przyjmuje wartość

1

10

.

11. Wykorzystując twierdzenie Dorboux, uzasadnić, że f (x) = ln x + x

2

− 1 w przedziale [1, e] przyjmuje

wartość π.

12. Korzystając z twierdzenia Dorboux wykazać, że wielomian stopnia trzeciego x

3

+ ax

2

+ bx + c = 0 ma

co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

14. Uzasadnić, że podane równania mają jedno rozwiązanie we wskazanych przedziałach:

a) 3

x

+ x = 3, [0, 1],

b) 4

x

= x

2

, [−1, 0].

2