LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

3

RUCH PRECESYJNY GIROSKOPU

Cel

ć

wiczenia

Obserwacja zjawiska precesji regularnej. Badanie zale

ż

no

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej

precesji od momentu sił zewn

ę

trznych.

Literatura

Do zrozumienia zjawisk giroskopowych potrzebne jest opanowanie podstawowych

wiadomo

ś

ci z kinematyki i dynamiki ruchu kulistego ciała sztywnego. Nale

ż

y zaznaczy

ć

,

ż

e wiadomo

ś

ci ogólne, zawarte w niniejszej instrukcji, stanowi

ą

tylko niewielkie

streszczenie teorii giroskopu. Dlatego, przed przyst

ą

pieniem do wykonywania

ć

wiczenia, trzeba przestudiowa

ć

zagadnienie z poni

ż

ej proponowanych podr

ę

czników.

[1] J.Leyko, Mechanika ogólna, tom I, rozdz. XIV, tom II, rozdz. VII, rozdz. IX, rozdz. XII.

[2] A.Piekara, Mechanika ogólna, strony 158-167
[3] M.Łuno, A.Szaniawski, Zarys Mechaniki ogólnej, rozdz. 11, 12, 15,17, 20, 21.

[4] A.Januszajtis, Fizyka dla Politechnik, § 34, 35, 36.
[5] S.Szozeniowski, Fizyka do

ś

wiadczalna, cz

ęść

I, rozdz; X.

Zagadnienia kontrolne

Stopie

ń

przygotowania si

ę

do

ć

wiczenia, pod wzgl

ę

dem opanowania potrzebnej

wiedzy ogólnej, mo

ż

na sprawdzi

ć

, staraj

ą

c si

ę

odpowiedzie

ć

na ni

ż

ej podane pytania:

Co to jest ruch kulisty?
Co to jest kr

ę

t ciała (wzgl

ę

dem punktu i wzgl

ę

dem osi)?

Jaka jest tre

ść

zasady kr

ę

tu?

Co to jest moment bezwładno

ś

ci ciała wzgl

ę

dem osi?

Co to s

ą

główne osie i główne momenty bezwładno

ś

ci?

Co to jest ruch precesyjny?
Co to jest precesja regularna?
Jaka jest zale

ż

no

ść

wektora pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej precesji od wektora momentu sił

zewn

ę

trznych?

Podstawy teoretyczne zwi

ą

zane z przeprowadzanym eksperymentem

Giroskop to ciało sztywne, szybko wiruj

ą

ce dokoła swojej osi symetrii. Gdy

moment główny

M

r

zewn

ę

trznych sił, przyło

ż

onych do giroskopu, jest równy zero, to

na podstawie zasady kr

ę

tu:

,

M

dt

K

d

r

r

=

(1)

kr

ę

t giroskopu jest wektorem stałym (

const

K

=

r

) i o

ś

obrotu giroskopu zachowuje swój

kierunek w przestrzeni. Je

ż

eli moment główny

M

r

zewn

ę

trznych sił nie jest równy zero,

to giroskop porusza si

ę

tak,

ż

e tylko jeden jego punkt jest nieruchomy. Ruch giroskopu

w tym przypadku mo

ż

na traktowa

ć

jako ruch obrotowy dokoła osi chwilowej,

przechodz

ą

cej przez ten nieruchomy punkt. Mamy tu do czynienia z ruchem kulistym

giroskopu, a

ś

rodek ruchu kulistego le

ż

y na osi symetrii i jest najcz

ęś

ciej punktem

podparcia (np. przegub kulisty) giroskopu.
Równanie wektorowe (1) jest równowa

ż

ne trzem równaniom skalarnym:

,

x

x

M

dt

dK

=

,

y

y

M

dt

dK

=

,

z

z

M

dt

dK

=

(2)

gdzie:

x

M

,

y

M

,

z

M

- miary rzutów na osie układu współrz

ę

dnych momentu

M

r

sił

zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na giroskop,

x

K

,

y

K

,

z

K

- kr

ę

ty wzgl

ę

dem osi x,y,z a zarazem miary rzutów kr

ę

tu

K

r

na te osie.

Je

ż

eli osie x,y,z pokrywaj

ą

si

ę

z głównymi osiami bezwładno

ś

ci ciała, to:

x

x

x

I

K

ω

=

,

y

y

y

I

K

ω

=

,

z

z

z

I

K

ω

=

gdzie: I

x

, I

y

, I

z

- s

ą

głównymi momentami bezwładno

ś

ci ciała, a

x

ω

,

y

ω

,

z

ω

to

składowe chwilowej pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej

ω

r

wzgl

ę

dem głównych osi bezwładno

ś

ci.

Oczywi

ś

cie, je

ś

li:

y

x

y

x

I

I

≠

≠

ω

ω

z

x

z

x

I

I

≠

≠

ω

ω

z

y

z

y

I

I

≠

≠

ω

ω

to kierunek osi chwilowej, zgodny z kierunkiem wektora

ω

r

, nie pokrywa si

ę

z

ż

adn

ą

z

głównych osi bezwładno

ś

ci ciała i nie pokrywa si

ę

tak

ż

e z kierunkiem

K

r

kr

ę

tu ciała.

Dlatego w giroskopie, znajduj

ą

cym si

ę

pod działaniem momentu sił zewn

ę

trznych,

konieczne jest rozró

ż

nienie trzech prostych, przechodz

ą

cych przez nieruchomy punkt

(punkt podparcia giroskopu)

,

a mianowicie:

1. kierunek chwilowej pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej

ω

r

,

2. kierunek kr

ę

tu

K

r

,

3. kierunek osi symetrii giroskopu.

Pierwsze dwa kierunki s

ą

niewidoczne w czasie ruchu giroskopu i zmieniaj

ą

si

ę

w

przestrzeni oraz wzgl

ę

dem samego giroskopu. O

ś

symetrii giroskopu jest widoczna i

w czasie ruchu giroskopu zmienia swoje poło

ż

enie tylko wzgl

ę

dem otaczaj

ą

cej

przestrzeni.

W przybli

ż

onej, elementarnej teorii ruchu giroskopu zakłada si

ę

,

ż

e kierunki

wektorów

K

r

i

ω

r

mało si

ę

ró

ż

ni

ą

od kierunku osi symetrii i to w dowolnej chwili. Tak

jest wtedy, gdy giroskop szybko obraca si

ę

dokoła osi symetrii pokrywaj

ą

cej si

ę

, np. z

osi

ą

x. Wtedy:

z

x

y

x

ω

ω

ω

ω

>>

>>

,

zatem,

ω

r

ma kierunek mało ró

ż

ni

ą

cy si

ę

od kierunku osi symetrii. Poniewa

ż

I

x

, I

y

, I

z

s

ą

tego samego rz

ę

du i zazwyczaj:

to kierunek

K

r

b

ę

dzie bliski kierunkowi osi

giroskopu dokoła osi symetrii wektor
prawie le

żą

na osi symetrii.

obrotu obserwuj

ą

c ruch osi symetrii giroskopu

zewn

ę

trznych (

M

r

=0), to z ró

pr

ę

dko

ść

k

ą

towa

ω

r

i o

ś

symetrii giroskopu p

co do wielko

ś

ci.

Dla krótkotrwałego działania sił zewn

mały, dlatego (równanie (1)) b

st

ą

d małe b

ę

d

ą

zmiany kierunków w przestrzeni wektorów

Gdy zewn

ę

trzne siły działaj

kierunek w przestrzeni wektora
zmienia

ć

. Taki ruch nazywa si

Niech giroskop ma posta

na pr

ę

cie L zawieszonym na nici F. Gdy nadamy giroskopowi ob

poziomo, to zacznie si

ę

ona obraca

zawieszenia O. W omawianym przypadku na gi

ci

ęż

ko

ś

ci

P

r

(np. ci

ęż

ar silniczka):

h jest odległo

ś

ci

ą

od punktu O

wektora momentu .

Moment

M

r

jest prostopadły do p

patrz

ą

cego na rysunek. Je

jak zaznaczono na rysunku, to wektor

z

x

y

x

I

I

I

I

>

>

,

,

dzie bliski kierunkowi osi x. Przy bardzo szybkim wirowaniu

giroskopu dokoła osi symetrii wektor chwilowej pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej i wektor kr

metrii. Dlatego mo

ż

na wnioskowa

ć

o ruchu chwilowej osi

c ruch osi symetrii giroskopu. Gdy nie ma momentu s

), to z równania (1) otrzymujemy:

const

K

=

r

ś

symetrii giroskopu pozostaj

ą

w przestrzeni nierucho

Dla krótkotrwałego działania sił zewn

ę

trznych (uderzenie) czas

mały, dlatego (równanie (1)) b

ę

dzie bardzo mały przyrost kr

ę

tu:

t

M

K

∆

=

∆

r

r

zmiany kierunków w przestrzeni wektorów

K

r

i

ω

r

i osi sy

trzne siły działaj

ą

długo, nawet wtedy, gdy ich moment jest

kierunek w przestrzeni wektora

K

r

i wektora

ω

r

i kierunek osi

Taki ruch nazywa si

ę

precesj

ą

.

Niech giroskop ma posta

ć

jednorodnej tarczy S (rys.1) szybko obra

cie L zawieszonym na nici F. Gdy nadamy giroskopowi obroty i ustawimy jego o

ę

ona obraca

ć

w płaszczy

ź

nie poziomej doko

zawieszenia O. W omawianym przypadku na giroskop działa moment

ar silniczka):

h

P

M

⋅

=

punktu O do

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci giroskopu, a

Rys.1.

jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany

cego na rysunek. Je

ż

eli tarcza giroskopu szybko obraca si

zaznaczono na rysunku, to wektor

K

K

K

r

r

r

∆

+

=

′

x. Przy bardzo szybkim wirowaniu

towej i wektor kr

ę

tu

o ruchu chwilowej osi

. Gdy nie ma momentu sił

const

. Wtedy kr

ę

t

K

r

,

w przestrzeni nieruchome i stałe

trznych (uderzenie) czas

∆

t jest bardzo

(3)

i osi symetrii .

długo, nawet wtedy, gdy ich moment jest niewielki,

symetrii b

ę

d

ą

si

ę

jednorodnej tarczy S (rys.1) szybko obracaj

ą

cej si

ę

roty i ustawimy jego o

ś

nie poziomej dokoła punktu

a moment

M

r

siły

(4)

, a M modułem

łaszczyzny rysunku i skierowany od oczu

eli tarcza giroskopu szybko obraca si

ę

tak,

tworzy k

ą

t

ϕ

∆

z wektorem

K

r

. K

ą

t

ϕ

∆

le

ż

y w płaszczy

ź

nie poziomej.

Wymuszony ruch giroskopu b

ę

dzie odbywał si

ę

w płaszczy

ź

nie poziomej,

zgodnie z ruchem wskazówek zegara, je

ś

li patrzy si

ę

z góry. Łatwo sprawdzi

ć

,

ż

e gdy zmieni si

ę

kierunek obrotów tarczy giroskopu, płaszczyzna obrotu osi

giroskopu pozostanie ta sama ale kierunek obracania osi b

ę

dzie odwrotny, ni

ż

poprzednio. Kierunki odpowiednich wektorów s

ą

znane i dalej rozpatrywane b

ę

d

ą

tylko ich warto

ś

ci.

Niech

Ω

oznacza pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

procesji, tzn. pr

ę

dko

ść

obracania si

ę

osi

giroskopu pod działaniem stałego momentu sił zewn

ę

trznych. W czasie

∆

t

przyrost kr

ę

tu (rys.1) b

ę

dzie wynosił:

ϕ

∆

⋅

=

∆

K

K

st

ą

d

t

K

t

K

∆

∆

⋅

=

∆

∆

ϕ

.

Przechodz

ą

c do granicy, gdy

∆

t->0, otrzymujemy:

dt

d

K

dt

dK

ϕ

⋅

=

(5)

Pr

ę

dko

ść

k

ą

towa precesji wynosi:

dt

d

ϕ

=

Ω

Poniewa

ż

M

dt

dK

=

i

ω

I

K

=

, ze wzoru (5) otrzymamy:

M

K

dt

d

K

dt

dK

=

Ω

=

=

ϕ

,

Ω

=

ω

I

M

(6)

Przebieg

ć

wiczenia

Celem wykonywanych pomiarów jest wyznaczenie pr

ę

dko

ś

ci obrotowej wirnika

giroskopu na podstawie wyprowadzonych zale

ż

no

ś

ci.

Przyrz

ą

d składa si

ę

z metalowego pr

ę

ta (1) (rys.2) zawieszonego przegubowo na

pionowym wałku (2) . Pr

ę

t (1) mo

ż

e obraca

ć

si

ę

dokoła osi poziomej i pionowej, które

przechodz

ą

przez jego

ś

rodek. Na jednym ko

ń

cu pr

ę

ta jest umocowany silniczek (3).

Silniczek ten jest zasilany pr

ą

dem trójfazowym (400 Hz, 36 V) poprzez trzy

pier

ś

cienie (4) i blaszki kontaktowe (5). Zasilacz znajduje si

ę

w podstawie przyrz

ą

du.

Wirnik silniczka, obracaj

ą

c si

ę

z du

żą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

, jest wła

ś

nie giroskopem.

Na drugim ramieniu pr

ę

ta (1) umieszcza si

ę

przeciw-wag

ę

(6) silnika; jej poło

ż

enie

dobiera si

ę

tak, aby pr

ę

t (1) pozostawał w pozycji poziomej. Dodatkowy ci

ęż

arek (7)

wytwarza moment siły zewn

ę

trznej, wywołuj

ą

cy ruch precesyjny. Dla małego

momentu b

ę

dzie mała pr

ę

dko

ść

k

ą

towa

Ω

precesji, a czas pełnego obrotu osi

giroskopu b

ę

dzie znaczny. W tym czasie mo

ż

e ujawni

ć

si

ę

działanie momentu sił

tarcia w zawieszaniu (8) wałka (2) na belce (9); giroskop b

ę

dzie w precesji tak

ż

e

dokoła osi poziomej poprzecznej do pr

ę

ta (1). Dlatego w zawieszeniu (8) powinny

by

ć

dobre ło

ż

yska poprzeczno-wzdłu

ż

ne. Wtedy, dla dwóch lub trzech obrotów

precesyjnych, k

ą

t mi

ę

dzy pr

ę

tem (1) i pionem pozostanie, w przybli

ż

eniu, prostym.

Rys.2.

Na wst

ę

pie, trzeba sprawdzi

ć

, czy pr

ę

t (1) mo

ż

e swobodnie obraca

ć

si

ę

dokoła

pionowej i poziomej osi. Nast

ę

pnie ustala si

ę

poło

ż

enie przeciwwagi (6) tak, aby pr

ę

t

(1) pozostał w pozycji poziomej. Po wł

ą

czeniu pr

ą

du, nale

ż

y odczeka

ć

około 10

minut, a

ż

wirnik silnika uzyska maksymalne obroty. Gdy silnik zacznie pracowa

ć

na

maksymalnych obrotach, przytrzymujemy pr

ę

t (1) i zawieszamy dodatkowy ci

ęż

arek

(7). Wtedy ostro

ż

nie puszcza si

ę

giroskop; rozpocznie si

ę

ruch precesyjny. Przy

pomocy sekundomierza wyznacza si

ę

okres T pełnego obrotu precesyjnego

giroskopu. St

ą

d pr

ę

dko

ść

k

ą

towa precesji:

T

π

2

=

Ω

(7 )

Ta pr

ę

dko

ść

odpowiada momentowi M, wytworzonemu przez ci

ęż

arek (7). Nale

ż

y

wyznaczy

ć

pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

precesji dla ró

ż

nych warto

ś

ci momentu M, zmieniaj

ą

c

wielko

ść

i rami

ę

siły ci

ęż

ko

ś

ci ci

ęż

arka (7).

Znaj

ą

c pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

precesji dla zadanego momentu siły mo

ż

na wyznaczy

ć

pr

ę

dko

ść

k

ą

tow

ą

wirnika giroskopu

ω

z zale

ż

no

ś

ci:

Ω

=

ω

I

M

Nale

ż

y przyj

ąć

,

ż

e moment bezwładno

ś

ci wirnika giroskopu wynosi:

(

)

2

5

10

0,1

8

,

16

m

kg

I

−

⋅

±

=

Po wykonaniu zadanej liczby pomiarów nale

ż

y wył

ą

czy

ć

zasilanie silnika.

Okres ruchu precesyjnego dla niewielkich momentów siły mo

ż

e by

ć

bardzo długi. Z

powodu sił tarcia nie uda si

ę

wtedy zmierzy

ć

nawet całego okresu ruchu. Nale

ż

y tak

dobra

ć

mas

ę

ci

ęż

arka i rami

ę

siły aby móc zmierzy

ć

jeden okres ruchu.

Szczegółowe kroki przeprowadzonych pomiarów i sposób obliczenia wyników
znajduj

ą

si

ę

w arkuszu sprawozdania.