Estymacja przedziałowa i weryfikacja hipotez
Artur Wilkowski
27 maja 2014
Jak określać macierze kowariancji pomiarów i kofaktorów?
Jak określać macierze kowariancji pomiarów i
kofaktorów?
A. Wilkowski
Jak określać macierze kowariancji pomiarów i kofaktorów?
Do realizacji wyrównania (estymacji średniej) musimy znać
stosunki między wariancjami obserwacji, znajomość samych
wariancji nie jest konieczna. Stosunki są zakodowane w macierzy
kofaktorów:
Q
x
ob
=
q
1
0
· · ·
0
0
q
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
q
n
A faktyczna macierz kowariancji pomiarów jest przeskalowaną
macierzą kofaktorów. W praktyce kofaktory są najlepszym
dostępnym przybliżeniem wariancji poszczególnych pomiarów.
C
x
ob
=
σ
2
1
0
· · ·
0
0
σ
2
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
σ
2
n
= σ
2
0
Q
x
ob
gdzie σ
2
0
- jest współczynnikiem wariancji
A. Wilkowski
Jak określać macierze kowariancji pomiarów i kofaktorów?
Dostępne są dwie drogi:
I
Znamy tylko stosunki między wariancjami pomiarów
(kofaktory). Możemy estymować współczynnik wariancji
m
0
= ˆ
σ
0
, w celu określenia macierzy kowariancji pomiaru
a-posteriori. Jest to tzw. model Gaussa-Markova.
II
Znamy (np. na podstawie danych producenta instrumentu)
wariancje pomiarów, wtedy najczęściej przyjmujemy σ
0
= 1 i
macierz kowariancję zapisujemy jako:
C
x
ob
=
σ
2
1
0
· · ·
0
0
σ
2
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
σ
2
n
Jest to tzw. model Helmerta. W tym wypadku również
możemy estymować współczynnik wariancji m
0
= ˆ
σ
0
- w celu
wykrycia błędów grubych przez porównanie go z zakładanym
σ
0
= 1
A. Wilkowski
Rozkład estymatora wartości oczekiwanej obserwacji
Rozkład estymatora wartości oczekiwanej obserwacji
A. Wilkowski
Rozkład estymatora wartości oczekiwanej obserwacji
Punktowym estymatorem wartości oczekiwanej obserwacji w
modelu pomiarowym jest
ˆ
x = ˆ
E(x
ob
) = A ˆ
X + w
wyrażony jako funkcja estymatora wektora parametrów
ˆ
X = −(A
T
P A)
−1
A
T
P L
Macierz kowariancji estymatora wartości oczekiwanej
poszczególnych obserwacji (czyli wyrównanych wartości obserwacji)
ma postać:
1
Dla modelu Helmerta (znane wariancje obserwacji)
C
ˆ
x
= σ
2
0
A(A
T
P A)
−1
A
T
2
Dla modelu Gaussa-Markowa (estymowane wariancje
obserwacji)
ˆ
C
ˆ
x
= m
2
0
A(A
T
P A)
−1
A
T
i m
0
= ˆ
σ
0
. W tym przypadku faktycznie obliczamy estymator
macierzy kowariancji.
A. Wilkowski
Rozkład estymatora wartości oczekiwanej obserwacji
Tzw. błąd średni obserwacji obliczamy biorąc pierwiastek
elementu na przekątnej estymatora macierzy kowariancji.
m
ˆ
x
i
= m
0
q
[A(A
T
P A)
−1
A
T
]
ii
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Helmerta
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej -
model Helmerta
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Helmerta
Rozpatrzmy model n pomiarów tej samej wartości oraz model
Helmerta (znane wariancje obserwacji) . Wariancja estymatora
wartości przeciętnej ma postać ogólną:
σ
2
ˆ
x
=
σ
2
0
P
n
i=1
p
i
Pamiętajmy, że przyjęliśmy σ
0
= 1 oraz p
i
=
1
σ
2
i
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Helmerta
Szczególne przypadki tego rozwiązania:
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, każdy pomiar
ma identyczną wariancję σ
2
Wartość przeciętna estymatora wartości oczekiwanej
ˆ
x =
1
n
P
n
i=1
x
ob
i
Wariancja estymatora σ
2
ˆ
x
=
σ
2
n
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, pomiary mają
różne wariancje
ˆ
x =
P
n
i=1
p
i
x
ob
i
P
n
i=1
p
i
σ
2
ˆ
x
=
1
P
n
i=1
p
i
=
1
P
n
i=1
1
σ2
i
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Helmerta
Załóżmy, że obserwacje mają rozkład łączny normalny. Wtedy
estymator wartości oczekiwanej ma rozkład normalny
ˆ
x ∼ N (x, σ
ˆ
x
)
Stąd standaryzowana zmienna losowa T
T =
ˆ
x − x
σ
ˆ
x
∼ N (0, 1)
Znajdujemy takie t, że
P (−t ¬ T ¬ t) = 1 − α
Czyli Φ(t) − Φ(−t) = 1 − α, czyli Φ(t) = 1 −
α
2
. I mamy
P (ˆ
x − σ
ˆ
x
t ¬ x ¬ ˆ
x + σ
ˆ
x
t) = 1 − α
Czyli z prawdopodobieństwem 1 − α wartość prawdziwa naszej
obserwacji znajdzie się w przedziale [ˆ
x − σ
ˆ
x
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Helmerta
Przykład. Załóżmy że α = 0.05. Wtedy
Φ(t) = 1 −
α
2
= 1 − 0.025 = 0.975
Zatem t = 1.95996 oraz z prawdopodobieństwem równym 0.95
wartość dokładna znajdzie się w przedziale
[ˆ
x − σ
ˆ
x
· 1.95996 ¬ x ¬ ˆ
x + σ
ˆ
x
· 1.95996]
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Gaussa-Markowa
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej -
model Gaussa-Markowa
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Gaussa-Markowa
Rozpatrzmy model n pomiarów tej samej wartości oraz model
Gaussa-Markowa(nieznane a-priori wariancje obserwacji).
Wariancja estymatora wartości przeciętnej ma postać ogólną:
ˆ
σ
2
ˆ
x
=
ˆ
σ
2
0
P
n
i=1
p
i
=
m
2
0
P
n
i=1
p
i
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Gaussa-Markowa
Przypadki szczególne tego rozwiązania
1
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, każdy pomiar
ma identyczną wariancję
ˆ
x =
1
n
P
n
i=1
x
ob
i
ˆ
σ
2
=
1
n−1
P
n
i=1
ˆ
v
2
i
ˆ
σ
2
ˆ
x
=
ˆ
σ
2
n
2
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, pomiary mają
różne wariancje
ˆ
x =
P
n
i=1
p
i
x
ob
i
P
n
i=1
p
i
ˆ
σ
0
2
=
1
n−1
ˆ
V P ˆ
V
T
=
1
n−1
P
n
i=1
p
i
ˆ
v
2
i
ˆ
σ
2
ˆ
x
=
ˆ
σ
2
0
P
n
i=1
p
i
Przypomnijmy - poprawka jest określona jako ˆ
v
i
= ˆ
x − x
ob
i
.
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Gaussa-Markowa
Estymator standaryzowanej zmiennej T =
ˆ
x−x
ˆ
σ
ˆ
x
ma rozkład
t-Studenta o n − 1 stopniach swobody. Znajdujemy takie t, że
P (−t ¬ T
n−1
¬ t) = 1 − α
Czyli F
n−1
(t) − F
n−1
(−t) = 1 − α, czyli F
n−1
(t) = 1 −
α
2
, gdzie
F
n−1
jest dystrybuantą rozkładu Studenta o n − 1 stopniach
swobody. I mamy
P (ˆ
x − ˆ
σ
ˆ
x
t ¬ x ¬ ˆ
x + ˆ
σ
ˆ
x
) = 1 − α
Czyli z prawdopodobieństwem 1 − α wartość prawdziwa naszej
obserwacji znajdzie się w przedziale [ˆ
x − ˆ
σ
ˆ
x
t ¬ x ¬ ˆ
x + ˆ
σ
ˆ
x
t]
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa wartości oczekiwanej - model
Gaussa-Markowa
Przykład. Załóżmy że α = 0.05 oraz wykonaliśmy 5 pomiarów
(czyli n − 1 = 4). Wtedy
F
4
(t) = 1 −
α
2
= 1 − 0.025 = 0.975
Zatem t = 2.7764 oraz z prawdopodobieństwem równym 0.95
wartość dokładna znajdzie się w przedziale
[ˆ
x − σ
ˆ
x
· 2.7764 ¬ x ¬ ˆ
x + σ
ˆ
x
· 2.7764]
A. Wilkowski
Rozkład estymatora współczynnika wariancji
Rozkład estymatora współczynnika wariancji
A. Wilkowski
Rozkład estymatora współczynnika wariancji
Zakładamy, że wektor pomiaru x
ob
ma łączny rozkład normalny w
postaci
x
ob
∼ N (x = E(x
ob
), C
x
ob
= σ
0
P
−1
)
Przypomnijmy - estymator współczynnika wariancji (nieobciążony,
niezmienniczy i najefektywniejszy), wyraża się jako
ˆ
σ
2
0
= m
2
0
=
1
n − r
ˆ
V
T
P V
Natomiast wyrażenie
ˆ
V
T
P ˆ
V
σ
2
0
=
(n−r)ˆ
σ
2
0
σ
2
0
jest zmienną losową o
rozkładzie chi-kwadrat i n − r stopniach swobody.
(n − r)ˆ
σ
2
0
σ
2
0
∼ χ
2
n−r
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa współczynnika wariancji - model
Gaussa-Markowa
Estymacja przedziałowa współczynnika wariancji -
model Gaussa-Markowa
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa współczynnika wariancji - model
Gaussa-Markowa
W przypadku modelu Gaussa-Markowa nie mamy wiedzy a-priori
dotyczącej wartości współczynnika wariancji. Jego wartość jest
określana wyłącznie na podstawie obserwacji.
T =
(n − r)ˆ
σ
2
0
σ
2
0
∼ χ
2
n−r
Znajdujemy takie wartość χ
2
1
oraz χ
2
2
, że
P (χ
2
1
¬ T ¬ χ
2
2
) = 1 − α
Czyli F
χ
2
n−r
(χ
2
2
) − F
χ
2
n−r
(χ
2
1
) = 1 − α. Przyjmujemy arbitralnie
takie χ
2
1
i χ
2
2
, że F
χ
2
n−r
(χ
2
2
) = 1 −
α
2
oraz F
χ
2
n−r
(χ
2
1
) =
α
2
i mamy
P
χ
2
1
¬
(n − r)ˆ
σ
2
0
σ
2
0
¬ χ
2
2
!
= 1 − α
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa współczynnika wariancji - model
Gaussa-Markowa
Przekształcając mamy
P
(n − r)ˆ
σ
2
0
χ
2
2
¬ σ
2
0
¬
(n − r)ˆ
σ
2
0
χ
2
1
!
= 1 − α
Zatem z prawdopodobieństwem 1 − α ”prawdziwa” wartość
współczynnika wariancji znajdzie się w (dwustronnym) przedziale
ufności
h
(n−r)ˆ
σ
2
0
χ
2
2
,
(n−r)ˆ
σ
2
0
χ
2
1
i
.
A. Wilkowski
Estymacja przedziałowa współczynnika wariancji - model
Gaussa-Markowa
Przykład. Załóżmy, że α = 0.05 oraz wykonaliśmy 4 pomiary
nadmiarowe. Wtedy
F
χ
2
4
(χ
2
2
) = 1 −
α
2
= 0.975
F
χ
2
4
(χ
2
1
) =
α
2
= 0.025
(
χ
2
2
= 11.1433
χ
2
1
= 0.4844
Zatem χ
2
= 0.7107. Zatem z prawdopodobieństwem 0.95
”prawdziwy” współczynnik wariancji σ
2
0
znajdzie się w przedziale
h
4ˆ
σ
2
0
11.1433
,
4ˆ
σ
2
0
0.4844
i
.
A. Wilkowski
Weryfikacja współczynnika wariancji - model Helmerta
(test globalny
Weryfikacja współczynnika wariancji - model
Helmerta (test globalny)
A. Wilkowski
Weryfikacja współczynnika wariancji - model Helmerta
(test globalny
W modelu Helmerta zakładamy, że znane są wariancje obserwacji
a-priori. Przyjmujemy σ
0
= 1. Porównujemy wsp. wariancji a-priori
(σ
2
0
) i a-posteriori (ˆ
σ
2
0
).
T =
(n − r)ˆ
σ
2
0
σ
2
0
∼ χ
2
n−r
Korzystając z założenia σ
0
= 1
T = (n − r)ˆ
σ
2
0
∼ χ
2
n−r
Znajdujemy taką wartość χ
2
, że
P (T ¬ χ
2
) = 1 − α
Czyli F
χ
2
n−r
(χ
2
) = 1 − α,
A. Wilkowski
Weryfikacja estymacji współczynnika wariancji - model
Helmerta (test globalny)
Zatem zachodzi
P ((n − r)ˆ
σ
2
0
> χ
2
) = α
lub zamiennie
P ( ˆ
V
T
P ˆ
V > χ
2
) = α
Zatem, jeżeli stwierdzimy, że obliczona wartość ˆ
σ
0
spełnia warunek
(n − r)ˆ
σ
2
0
> χ
2
(ew. po prostu ˆ
V
T
P ˆ
V > χ
2
), dla małego α,
możemy podejrzewać błąd gruby obserwacji.
A. Wilkowski
Weryfikacja estymacji współczynnika wariancji - model
Helmerta (test globalny)
Przykład. Załóżmy że α = 0.05 oraz wykonaliśmy 4 pomiary
nadmiarowe (czyli n − r = 4). Wtedy
F
χ
2
4
(χ
2
) = 1 − α = 1 − 0.5 = 0.95
Zatem χ
2
= 9.4877. Teraz jeżeli spełniona jest zależność
4ˆ
σ
2
0
> 9.4877
możemy oczekiwać błędu modelu lub błędu grubego obserwacji.
A. Wilkowski
Rozkład prawdopodobieństwa estymatorów poprawek
Rozkład prawdopodobieństwa estymatorów
poprawek
A. Wilkowski
Rozkład prawdopodobieństwa estymatorów poprawek
Estymatory poprawek ˆ
V mają rozkład o wartości przeciętnej
E( ˆ
V) = 0
oraz macierzy kowariancji
Dla modelu Helmerta
C
ˆ
V
= σ
2
0
(P
−1
− A(A
T
P A)
−1
A
T
)
Dla modelu Gaussa-Markowa
ˆ
C
ˆ
V
= m
2
0
(P
−1
− A(A
T
P A)
−1
A
T
)
A. Wilkowski
Rozkład prawdopodobieństwa estymatorów poprawek
Wariancję pojedynczej poprawki (estymatora poprawki) można
odczytać z przekątnej macierzy kowariancji
Dla modelu Helmerta
σ
2
ˆ
v
i
=
C
ˆ
V
ii
Dla modelu Gaussa-Markowa
ˆ
σ
2
ˆ
v
i
=
h
ˆ
C
ˆ
V
i
ii
W przypadku, gdy mamy n obserwacji tej samej wartości x,
wariancję estymatora poprawki obliczamy
Dla modelu Helmerta σ
2
ˆ
v
i
= σ
2
0
1
p
i
−
1
P
n
i=1
p
i
Dla modelu Gaussa-Markowa ˆ
σ
2
ˆ
v
i
= m
2
0
1
p
i
−
1
P
n
i=1
p
i
A. Wilkowski
Test szczegółowy Baarda’y
Test szczegółowy Baarda’y
A. Wilkowski
Test szczegółowy Baarda’y
Znajomość wariancji estymatorów poszczególnych poprawek
umożliwia skonfrontowanie wyników pomiarów z naszym modelem,
odbywa się to przez sprawdzenie czy niektóre poprawki nie są ”za
duże” tzn. czy obserwowana wartość nie jest ”zbyt odległa” od
wartości estymowanej. Założenia:
Obserwacje są niezależne i mają rozkłady normalne
Zatem można zaniedbać wyrazy ”poza przekątną” macierzy
C
ˆ
V
oraz ˆ
C
ˆ
V
(kowariancje)
A. Wilkowski
Test szczegółowy Baarda’y - model Helmerta
Estymator poprawki (poprawka) ma rozkład
ˆ
v
i
= ˆ
x
i
− x
ob
i
∼ N (0, σ
ˆ
v
i
)
Szukamy obszaru, w którym estymator ˆ
v
i
powinien znaleźć się z
dużym prawdopodobieństwem (1 − α). Stąd standaryzowana
zmienna losowa T
T =
ˆ
v
i
σ
ˆ
v
i
∼ N (0, 1)
Znajdujemy takie t, że
P (−t ¬ T ¬ t) = P (|T | ¬ t) = 1 − α
Czyli Φ(t) − Φ(−t) = 1 − α, czyli Φ(t) = 1 −
α
2
. Mamy z kolei
P (|T | > t) = P
ˆ
v
i
σ
ˆ
v
i
> t
= α
Zajście zdarzenia, że zmienna losowa | ˆ
v
i
| przekroczy wartość tσ
ˆ
v
i
jest mało prawdopodobne (p = α) i wskazuje na możliwość
popełniania błędu grubego w danej obserwacji.
A. Wilkowski
Test szczegółowy Baarda’y - model Helmerta
Przykład. Przyjmijmy poziom ufności α = 0.05. Wtedy
Φ(t) = 1 −
α
2
= 1 − 0.025 = 0.975
Zatem t = 1.95996 oraz z prawdopodobieństwem równym 0.95
estymator poprawki ˆ
v
i
powinien spełniać warunek
|ˆ
v
i
| ¬ 1.95996 · σ
ˆ
v
i
Niespełnienie warunku występuje jedynie 5% przypadków i może
wskazywać na obecność błędu grubego obserwacji.
A. Wilkowski
Test szczegółowy Baarda’y - model Gaussa-Markowa
W modelu Gaussa-Markowa test Baarda’y wygląda identycznie z
dwoma wyjątkami:
Zamiast znanej a-priori wariancji estymatora σ
ˆ
v
i
używamy
estymatora tej wariancji ˆ
σ
ˆ
v
i
W związku z tym, że używamy estymatora wariancji w
przypadku małych prób dla zmiennej T powinniśmy przyjąć
rozkład t-Studenta o n − r stopniach swobody.
A. Wilkowski
[1] P. Grzegorzewski, K. Bobecka, A. Dembińska, J. Pusz.
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka.
Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania, 2001.
[2] J. Jakubowski, R. Sztencel.
Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego.
SCRIPT, 2002.
[3] Zbigniew Wiśniewski.
Rachunek Wyrównawczy w Geodezji (z przykładami).
Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w
Olsztynie, 2009.
A. Wilkowski
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Estymacja Przedzialowa cz 1
estymacja przedziałowa - wzory, Zad
03 Statystyka Matematyczna Estymacja przedziałowaid 4487
03 Statystyka Matematyczna Estymacja przedziałowa
6. Estymacja przedziałowa
MP 6 estymacja przedzialowa
Estymacja przedziałowa
Estymacja przedzialowa, Statystyka
Estymacja przedzialowa II, statystyka
materialy estymacja przedzialowa parametrow, AGH, Semestr VIII, Statystyka
estymacja przedzialowa id 16372 Nieznany
ESTYMACJA PRZEDZIALOWA zadania dla studentów cw4(1)
Estymacja Przedziałowa, Elektrotechnika
(11820) estymacja przedzia�owa akt
Estymacja przedziałowa, Płyta farmacja Bydgoszcz, statystyka, pozostałe
2 estymacja przedzialowa
07 estmacja przedzialowa, Estymacja przedziałowa
więcej podobnych podstron