BUDOWNICTWO, SEMESTR I

LISTA 5

Geometria analityczna

1. Obliczyć długości podanych wektorów:

a) −

→

a = [3, −4, 12];

b)

−

−

→

P Q, gdzie P = (2, 3, −2), Q = (3, 4, −1).

2. Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a) −

→

a = [1, −2, 5],

−

→

b = [3, −1, 0];

b) −

→

u = 3

−

→

i − 2

−

→

k , −

→

v = −

−

→

i + 3

−

→

j + 7

−

→

k .

3. Obliczyć miarę kąta między danymi wektorami:

a) −

→

u = [1, 0, 0], −

→

v = [1,

√

3, 0];

b) −

→

u = [0, 1, 0], −

→

v = [0, 3, 0].

4. Obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów:

a) −

→

a = [−3, 2, 0], −

→

v = [1, 5, −2];

b) −

→

u = 2

−

→

i − 3

−

→

k , −

→

v =

−

→

i +

−

→

j − 4

−

→

k .

5. Obliczyć pola podanych powierzchni:

a) równoległobok rozpięty na wektorach: −

→

a = [1, 2, 3],

−

→

b = [0, −2, 5];

b) trójkąt o wierzchołkach A = (1, −1, 3), B = (0, 2, −3), C = (2, 2, 1).

6. Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach

−

−

→

AB = [1, 5, −3],

−→

AC = [−1, 0, 4]. Obliczyć wysokość tego trójkąta

opuszczona z wierzchołka C.

7. Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

a) −

→

a = [−3, 2, 1],

−

→

b = [0, 1, −5], −

→

c = [2, 3, −4]

b) −

→

u = [2, 4, 5], −

→

v = [−1, 4, 0], −

→

w = [4, 0, 2].

8. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (2, 3, −1), D = (−1, 3, 5).

9. Sprawdzić, czy

a) wektory −

→

a = [−1, 3, −5],

−

→

b = [1, −1, 1], −

→

c = [4, −2, 0] są współpłaszczyznowe;

b) punkty P = (0, 0, 0), Q = (−1, 2, 3), R = (2, 3, −4), S = (2, −1, 5) są współpłaszczyznowe.

10. Napisać równania ogólne płaszczyzn spełniających podane warunki:

a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, −2, 0) i jest prostopadła do wektora −

→

n = [0, −3, 2];

b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P

1

= (0, 0, 0), P

2

= (1, 2, 3), P

3

= (−1, −3, 5);

c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P

1

= (1, −3, 4), P

2

= (2, 0, −1) oraz jest prostopadła do płaszczyzny

OXY ;

1

BUDOWNICTWO, SEMESTR I

d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, −1, 3) oraz jest równoległa do wektorów −

→

a = [1, 1, 0],

−

→

b = [0, 1, 1];

e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) i jest równoległa do płaszczyzny π : 3x − y + 2 = 0;

f) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 1, −3) i jest prostopadła do płaszczyzn π

1

: x + y = 0,

π

2

: y − z = 0.

11. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:

a) prosta przechodzi przez punkt P = (−3, 5, 2) i jest równoległa do wektora −

→

v = [2, −1, 3];

b) prosta przechodzi przez punkty P

1

= (1, 0, 6), P

2

= (−2, 2, 4);

c) prosta przechodzi przez punkt P = (0, −2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

d) prosta przechodzi przez punkt P = (7, 2, 0) i jest prostopadła do wektorów −

→

v

1

= [2, 0, −3], −

→

v

2

= [−1, 2, 0].

12. Obliczyć odległość:

a) punktu P = (1, −2, 3) od płaszczyzny π : x + y − 3z + 5 = 0;

b) prostych równoległych l

1

:

x−1

1

=

y+1

2

=

z

−1

, l

2

:

x

−2

=

y−1

−4

=

z−3

2

.

13. Znaleźć rzut prostokątny punktu P = (−3, 2, 0) na płaszczyznę π : x + y + z = 0.

14. Znaleźć równania płaszczyzn przechodzących przez punkt A = (−1, 2, 4) i równoległych do płaszczyzn układu

współrzędnych.

15. Dana jest prosta l :



















x = 2 − t

y = −1 + 2t

t ∈ R

z = 4 + 3t

. Znaleźć punkty przebicia prostej l z płaszczyznami układu OXY Z.

2