321
WYKŁAD Nr 25
ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO
1. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
Def.1.1. (oryginał)
Funkcję zmiennej rzeczywistej
)
(t
f
nazywamy oryginałem (laplace’owskim), jeśli spełnia następujące
warunki:
1°
0
)
(
0
=
<
∀
t
f
t
2°
)
(t
f
spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym skończonym przedziale
T
,
0
,
0
>
T
tj.
•
)
(t
f
przedziałami monotoniczna na przedziale
T
,
0
tj. przedział ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których
funkcja
)
(t
f
jest monotoniczna;
•
)
(t
f
jest ciągła na przedziale
T
,
0
, z wyjątkiem, co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w
każdym punkcie nieciągłości
0
t
spełniony jest warunek:
+
=
+
→
−
→
)
(
lim
)
(
lim
2
1
)
(
0
0
0
t
f
t
f
t
f
t
t
t
t
3°
t
Me
t
f
t
M
ρ
≤
≥
∀
≥
ρ
∃
>
∃
)
(
0
0
0
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja
>
=
<
=
0
0
2
1
0
0
)
(
t
e
t
t
t
f
t
jest oryginałem.
Rozwiązanie:
Wykres funkcji przedstawiono na Rys.1 (pogrubiona linia ciągła).
Rys.1.
Podana funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na przedziale
)
∞
+
,
0
. Istnieją również stałe
ρ
,
M
(np.
2
,
1
=
ρ
=
M
), dla których spełniony jest warunek 3° Def.1.1. Ze wzoru funkcji wynika, że dla
0
)
(
0
=
<
t
f
t
.
Def.1.2. (przekształcenie Laplace’a, transformata Laplace’a)
Transformatą Laplace’a
funkcji
)
(t
f
nazywamy funkcję
)
(s
F
zmiennej zespolonej określoną
następująco:
∫
+∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
s
F
st
i oznaczamy
L
[
]
)
(t
f
.
t
f
(t)
1
t
e
t
e
2
322
Tw.1.1. (o zbieżności całki Laplace’a)
Całka Laplace’a
∫
+∞
−
0
)
(
dt
e
t
f
st
jest zbieżna dla
ρ
<
x
, natomiast rozbieżna dla
ρ
≥
x
.
Uzasadnienie:
Badamy zbieżność:
∫
∫
∫
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
⋅
≤
=
0
0
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
dt
e
t
f
dt
e
t
f
dt
e
t
f
st
st
st
Funkcja
)
(t
f
jest oryginałem, więc
t
Me
t
f
ρ
≤
)
(
, ponadto ze wzorów Eulera zakładając
jy
x
s
+
=
mamy
(
)
tx
tx
jty
tx
st
e
ty
j
ty
e
e
e
−
−
−
−
−
=
−
=
=
sin
cos
.
Zatem otrzymamy
(
)
(
)
=
−
ρ
=
=
≤
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
∫
∫
∫
0
0
0
0
lim
lim
lim
)
(
lim
x
t
x
t
tx
t
st
e
x
M
dt
e
M
dt
e
Me
dt
e
t
f
(
)
(
)
1
lim
−
−
ρ
=
−
ρ
β
+∞
→
β
x
e
x
M
.
Granica ta istnieje przy założeniu, że
0
<
−
ρ
x
, czyli
ρ
>
x
.
Tw.1.2.
Jeżeli
)
(t
f
jest oryginałem, to transformata
)
(s
F
istnieje na półpłaszczyźnie
ρ
>
s
Re
.
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji:
a) funkcji jednostkowej
>
=
<
=
0
1
0
2
1
0
0
)
(
1
t
t
t
t
b) funkcji wykładniczej
)
(
1 t
e
at
⋅
Rozwiązanie: Korzystamy z Def.1.2.
Ad a)
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
+∞
−
−
=
−
=
=
⋅
=
⋅
∫
∫
∫
s
st
st
st
st
e
s
s
e
s
dt
e
dt
e
dt
e
t
lim
1
1
1
lim
lim
1
)
(
1
0
0
0
0
Ponieważ
0
Re
gdy
,
0
lim
>
=
β
−
+∞
→
β
s
e
s
(uzasadnienie tego znajduje się poniżej).
Niech
0
, >
+
=
x
jy
x
s
. Stąd
(
)
0
lim
sin
cos
lim
lim
lim
=
=
β
−
β
=
=
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
x
x
y
j
x
s
e
y
j
y
e
e
e
Zatem skoro
0
lim
=
β
−
+∞
→
β
s
e
, to
0
lim
=
β
−
+∞
→
β
s
e
.
Ostatecznie:
L
[ ]
s
t
1
)
(
1
=
Ad. b)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
a
s
a
t
s
a
t
s
a
t
st
at
e
s
a
a
s
e
s
a
dt
e
dt
e
dt
e
t
e
−
β
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
+∞
−
−
−
−
=
−
=
=
=
⋅
⋅
∫
∫
∫
lim
1
1
1
lim
lim
)
(
1
0
0
0
0
323
Analogicznie jak poprzednio:
(
)
a
s
e
s
a
Re
Re
dla
0
lim
>
=
−
β
+∞
→
β
.
Zatem
L
[
]
a
s
t
e
at
−
=
⋅
1
)
(
1
.
Własności transformacji Laplace’a
Niech
)
(
),
(
t
g
t
f
– oryginały,
b
a
, – dowolne stałe,
0
t
– liczba rzeczywista,
0
s
– liczba zespolona.
Wówczas
1.
L
[
]
=
+
)
(
)
(
t
bg
t
af
a
L
[
]
)
(t
f
+b
L
[
]
)
(t
g
(liniowość przekształcenia Laplace’a)
2. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
=
a
s
F
a
at
f
1
)
(
(podobieństwo)
3. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
( )
s
F
e
t
t
f
st
0
)
(
0
−
=
−
(przesunięcie w argumencie oryginału)
4. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
(
)
0
)
(
0
s
s
F
t
f
e
t
s
−
=
(przesunięcie w argumencie obrazu)
Przykład: Wyznaczyć korzystając z własności:
a)
L
[
]
)
(
1 t
e
at
⋅
b)
L
[
]
t
ω
sin
Rozwiązanie:
Ad. a)
Korzystając z przesunięcie w argumencie obrazu oraz
L
[ ]
s
t
1
)
(
1
=
mamy:
L
[
]
(
)
a
s
a
s
F
t
e
at
−
=
−
=
⋅
1
)
(
1
Ad. b)
Funkcję
t
ω
sin
należy rozumieć jako
)
(
1
sin
t
t
⋅
ω
. Korzystając z liniowości oraz przesunięcia w
argumencie obrazu mamy:
L
[
]
t
ω
sin
=
L
−
ω
−
ω
j
e
e
t
j
t
j
2
=
j
2
1
L
[ ]
−
ω
t
j
e
j
2
1
L
[
]
(
)
=
ω
+
ω
+
−
ω
+
=
ω
+
⋅
−
ω
−
⋅
=
ω
−
2
2
2
1
2
1
1
2
1
s
j
j
s
j
s
j
s
j
j
s
j
e
t
j
2
2
ω
+
ω
=
s
.
RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE ORYGINAŁU I TRANSFORMATY
Tw.1.3. (o różniczkowaniu oryginału)
Jeżeli funkcja
)
(t
f
oraz jej pochodne do rzędu
)
1
( −
n
włącznie są oryginałami, a ponadto istnieje na
przedziale
(
)
∞
+
,
0
ciągła pochodna
( )
)
(t
f
n
, to istnieje transformata Laplace’a tej pochodnej, przy czym
(*)
L
( )
[
]
(
)
( )
∑
=
+
−
−
−
=
n
k
k
k
n
n
n
f
s
s
F
s
t
f
1
1
0
)
(
)
(
,
gdzie
(
)
( )
(
)
( )
t
f
f
k
t
k
1
0
1
lim
0
−
→
+
−
+
=
.
Ze wzoru (*) korzystamy często w przypadkach, gdy
2
lub
1
=
=
n
n
; mamy wówczas:
L
[
]
)
0
(
)
(
)
(
+
−
⋅
=
′
f
s
F
s
t
f
L
[
]
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
2
+
+
′
−
−
⋅
=
′′
f
sf
s
F
s
t
f
324
Tw.1.4. (o różniczkowaniu transformaty)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
( )
n
n
n
n
ds
s
F
d
t
f
t
)
(
1
)
(
⋅
−
=
⋅
dla każdego
N
∈
n
.
Tw.1.5. (o całkowaniu oryginału)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
s
s
F
d
f
t
)
(
)
(
0
=
τ
τ
∫
.
Tw.1.6. (o całkowaniu transformaty)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
∫
+∞
=
s
ds
s
F
t
t
f
)
(
)
(
.
Przykład: Wyznaczyć transformaty następujących funkcji:
a)
t
t
t
f
ω
= sin
)
(
b)
t
t
t
f
ω
=
sin
)
(
Rozwiązanie:
Ad. a)
Wiemy, że
L
[
]
t
ω
sin
2
2
)
(
ω
+
ω
=
=
s
s
F
.
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu transformaty mamy:
L
[
]
( )
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
1
2
2
)
(
1
sin
ω
+
ω
=
ω
+
ω
−
−
=
⋅
−
=
ω
⋅
s
s
s
s
s
F
ds
d
t
t
.
Ad. b)
Ponieważ dzieleniu oryginału przez t odpowiada całkowanie transformaty, więc
L
[
]
=
=
ω
+
ω
ω
=
ω
=
ω
=
=
ω
+
ω
=
ω
+
ω
=
ω
ω
β
ω
+∞
→
β
ω
β
ω
+∞
→
β
β
+∞
→
β
∞
+
∫
∫
∫
s
s
s
s
u
u
du
du
ds
u
s
ds
s
ds
s
t
t
arctg
lim
lim
lim
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
ω
−
π
=
ω
−
ω
β
=
+∞
→
β
s
s
arctg
2
arctg
arctg
lim
SPLOT FUNKCJI
Def.1.3. (splot funkcji)
Niech
)
(
),
(
2
1
t
f
t
f
będą oryginałami. Splotem funkcji
)
(
i
)
(
2
1
t
f
t
f
nazywamy funkcję
)
(
3
t
f
określoną
wzorem:
∫
τ
τ
−
τ
=
t
d
t
f
f
t
f
0
2
1
3
)
(
)
(
)
(
i oznaczamy
)
(
*
)
(
)
(
2
1
3
t
f
t
f
t
f
=
.
Tw.1.7.
Splot dwóch oryginałów jest oryginałem.
325
Własności splotu funkcji
1. Splot funkcji jest przemienny:
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
1
2
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
=
2. Splot funkcji jest łączny:
[
]
[
]
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
*
)
(
3
2
1
3
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
=
3. Rozdzielność splotu względem dodawania:
[
]
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
3
1
2
1
3
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
+
=
+
Przykład: Wyznaczyć splot funkcji
t
e
t
f
t
t
f
=
=
)
(
,
)
(
2
1
.
Rozwiązanie:
Korzystając z Def.1.3 mamy:
(
)
(
)
=
−
+
−
=
τ
+
τ
−
=
τ
τ
=
τ
τ
=
τ
τ
=
τ
−
−
τ
−
τ
−
τ
−
τ
−
τ
−
∫
∫
∫
∫
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
d
e
e
e
d
e
e
d
e
e
d
e
e
t
0
0
0
0
0
0
*
(
)
t
t
t
t
e
t
e
te
e
+
−
−
=
+
−
−
=
−
−
1
1
.
Tw.1.8.(tw. Borela)
Jeżeli
)
(
),
(
2
1
t
f
t
f
są oryginałami, to istnieje transformata Laplace’a ich splotu, przy czym:
L
[
]
=
)
(
*
)
(
2
1
t
f
t
f
L
[
]
⋅
)
(
1
t
f
L
[
]
)
(
2
t
f
Przykład: Wyznaczyć transformatę splotu funkcji:
t
e
t
f
t
t
f
=
=
)
(
,
)
(
2
1
.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy transformatę:
L
[
]
=
t
e
t
*
L
[ ]
⋅
t
L
[ ]
t
e
.
Korzystając z Tw. o różniczkowaniu transformaty mamy:
L
[ ]
t
=
L
[
]
( )
2
1
1
1
)
(
1
s
s
ds
d
t
t
=
⋅
−
=
⋅
Ponieważ
L
[
]
a
s
t
e
at
−
=
⋅
1
)
(
1
, więc dla
1
=
a
otrzymamy
L
[ ]
t
e
1
1
−
=
s
.
Stąd ostatecznie:
L
[
]
2
3
2
1
1
1
1
*
s
s
s
s
e
t
t
−
=
−
⋅
=
.
TRANSFORMATA FUNKCJI OKRESOWEJ
Tw.1.9. (o transformacie oryginału okresowego)
Jeżeli oryginał
)
(t
f
jest na przedziale
(
)
+∞
,
0
funkcją okresową o okresie T, to jej transformata Laplace’a
jest postaci:
∫
−
−
−
=
T
st
sT
dt
t
f
e
e
s
F
0
)
(
1
1
)
(
326
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji okresowej
)
(t
f
o okresie T, której wartości w przedziale
T
,
0
dane są wzorem:
<
<
=
<
<
=
=
T
t
T
T
t
A
T
t
A
t
A
t
f
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
0
2
1
)
(
Rozwiązanie:
Na podstawie Tw.1.9 mamy:
L
[
]
=
−
=
⋅
+
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
T
st
sT
T
T
st
T
st
sT
T
st
sT
dt
A
e
e
dt
e
dt
A
e
e
dt
t
f
e
e
t
f
2
1
0
2
1
2
1
0
0
1
1
0
1
1
)
(
1
1
)
(
−
⋅
−
=
−
−
=
−
−
−
−
sT
sT
T
st
sT
e
s
A
e
e
s
A
e
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji
t
t
f
ω
= sin
)
(
.
Rozwiązanie:
Funkcja ta jest funkcją okresową o okresie
ω
π . Ponieważ dla
ω
π
≤
≤ t
0
jest
t
t
ω
=
ω
sin
sin
, więc we
wzorze z Tw.1.9 wstawiamy:
t
t
f
T
ω
=
ω
π
=
sin
)
(
,
.
Zatem otrzymamy:
(
)
[
]
=
ω
ω
−
ω
−
ω
+
⋅
−
=
⋅
ω
−
=
ω
π
−
ω
π
−
ω
π
−
ω
π
−
∫
0
2
2
0
cos
sin
1
1
1
sin
1
1
)
(
t
t
s
e
s
e
dt
e
t
e
s
F
st
s
st
s
+
ω
+
ω
⋅
−
=
ω
π
−
ω
π
−
s
s
e
s
e
1
1
1
2
2
2. ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
WYJAŚNIENIE POJĘCIA
Obok zagadnienia wyznaczania transformat danych funkcji ważnym jest również zagadnienie
znajdowania funkcji, których transformaty są znane. Zagadnienie to sprowadza się do rozwiązania
równania całkowego postaci
(**)
)
(
)
(
0
s
F
dt
e
t
f
st
=
∫
+∞
−
,
gdzie
)
(s
F
jest daną funkcją, zaś
)
(t
f
jest funkcją niewiadomą.
Równanie całkowe (**) można również zapisać w postaci następującego równania operatorowego
327
(***)
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
Jeżeli pewna funkcja
)
(t
f
jest rozwiązaniem równania całkowego (**), a tym samym równania
operatorowego (***), to ten fakt ten będziemy zapisywali
(****)
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
Jak widać jeżeli równanie (***) posiada rozwiązanie dla funkcji
)
(s
F
należących do pewnej klasy, to
wzór (****) określa w tej klasie pewne przekształcenie (niekoniecznie jednoznaczne), które będziemy
nazywać odwrotnym przekształceniem Laplace’a.
Przykłady:
a)
Ponieważ
L
[
]
0
Re
,
1
)
(
>
=
s
s
t
1
, zatem
L
)
(
1
1
t
s
1
=
−
.
b)
Ponieważ
L
[
]
a
s
a
s
t
e
at
Re
Re
,
1
)
(
>
−
=
⋅ 1
, zatem
L
)
(
1
1
t
e
a
s
at
1
⋅
=
−
−
.
Uwaga
: W związku z zagadnieniem wyznaczania transformaty odwrotnej należy rozważyć następujące
problemy:
Dla jakich funkcji istnieje transformata odwrotna (zagadnienie istnienia)?
Czy dla tej samej funkcji może istnieć więcej niż jedna transformata odwrotna (zagadnienie
jednoznaczności)?
W jaki sposób wyznaczyć transformaty odwrotne zadanych funkcji?
Tw.2.1. (o istnieniu odwrotnej transformaty Laplace’a)
Jeżeli funkcja
)
(s
F
określona w półpłaszczyźnie zespolonej
ρ
>
s
Re
spełnia założenia:
1. jest w tej półpłaszczyźnie holomorficzna (tj. w każdym punkcie posiada pochodną
ds
dF ),
2.
0
)
(
lim
Im
=
∞
→
s
F
s
,
3. całka
∫
+∞
∞
−
σ
σ
+
d
j
s
F
)
(
jest zbieżna,
to funkcja
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
jest transformatą odwrotną funkcji
)
(s
F
. (tzn.
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
).
Uwaga
:
)
(
,
)
(
lim
)
(
ρ
>
=
∫
∫
+
−
+∞
→
∞
+
∞
−
x
ds
s
F
e
ds
s
F
e
jT
x
jT
x
st
T
j
x
j
x
st
Dwie funkcje
)
(
i
)
(
t
g
t
f
mają tę samą transformatę Laplace’a
L
[
]
=
)
(t
f
L
[
]
)
(t
g
,
ρ
>
s
Re
, wtedy i tylko
wtedy, gdy są sobie równe prawie wszędzie (tzn. z wyjątkiem skończonej liczby punktów) w przedziale
(
)
+∞
,
0
. Jeśli zatem istnieje jedna transformata odwrotna danej funkcji, to istnieje wiele transformat
odwrotnych tej funkcji, ale tylko jedna z nich może należeć do klasy oryginałów.
Tw.2.2. (o jednoznaczności odwrotnego przekształcenia Laplace’a)
328
Jeżeli funkcja
)
(s
F
mająca w każdym skończonym przedziale pochodną przedziałami ciągłą, jest
transformatą pewnej funkcji
)
(t
f
należącej do klasy oryginałów, to funkcja
)
(t
f
jest jedyną funkcją w
klasie oryginałów, której transformatą jest funkcja
)
(s
F
.
Uwaga
: Przez odwrotną transformatę Laplace’a rozumieć będziemy funkcję należącą do klasy
oryginałów. Wobec tego symbol
L
[
]
)
(
1
s
F
−
występujący we wzorze (****) oznaczać będzie odtąd tylko
to rozwiązanie równania (***), które jest oryginałem.
Tak rozumianą transformatę odwrotną danej funkcji
)
(s
F
możemy obliczyć posługując się wzorem
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
, gdyż obliczając tę całkę otrzymamy: 1°
0
0
)
(
<
=
t
t
f
2°
[
]
R
∈
+
=
+
−
t
t
f
t
f
t
f
,
)
(
)
(
2
1
)
(
WŁASNOŚCI TRANSFORMATY ODWROTNEJ
1. (Addytywność)
Jeżeli istnieją transformaty odwrotne
L
[
]
)
(
1
s
F
−
oraz
L
[
]
)
(
1
s
G
−
to
L
[
]
=
+
−
)
(
)
(
1
s
G
s
F
L
[
]
)
(
1
s
F
−
+
L
[
]
)
(
1
s
G
−
2. (Jednorodność)
Jeżeli istnieje transformata odwrotna
L
[
]
)
(
1
s
F
−
i a jest dowolną liczbą zespoloną, to
L
[
]
⋅
=
⋅
−
a
s
F
a
)
(
1
L
[
]
)
(
1
s
F
−
OBLICZANIE TRANSFORMATY ODWROTNEJ
W praktyce, jeżeli znamy funkcję
)
(t
f
należącą do klasy oryginałów i znamy transformatę Laplace’a tej
funkcji
=
)
(s
F
L
[
]
)
(t
f
, to szukając transformaty odwrotnej
L
[
]
)
(
1
s
F
−
nie stosujemy wzoru
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
, lecz korzystamy ze związku
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
.
Uwaga:
Czynność tę ułatwiają nam tablice najczęściej występujących funkcji oraz ich transformat.
Przykład: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji
(
)
2
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
s
F
.
Rozwiązanie:
Funkcję
(
)
2
1
2
+
+
s
s
s
rozkładamy na ułamki proste:
(
)
2
2
1
2
2
+
+
+
=
+
+
s
C
s
B
s
A
s
s
s
Wyznaczamy współczynniki rozkładu:
(
)
(
)
2
2
2
1
Cs
s
Bs
s
A
s
+
+
+
+
≡
+
(
)
(
)
A
s
B
A
s
C
B
s
2
2
1
2
+
+
+
+
≡
+
329
Stąd
=
=
+
=
+
1
2
1
2
0
A
B
A
C
B
czyli
−
=
=
=
4
1
4
1
2
1
C
B
A
.
Zatem
(
)
2
1
4
1
1
4
1
1
2
1
2
1
2
2
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
+
s
s
s
s
s
s
Natomiast
L
[
]
=
−
)
(
1
s
F
L
(
)
=
+
+
−
2
1
2
1
s
s
s
⋅
2
1
L
⋅
+
−
4
1
1
2
1
s
L
⋅
−
−
4
1
1
1
s
L
=
+
−
2
1
1
s
)
(
4
1
4
1
2
1
)
(
4
1
)
(
4
1
)
(
2
1
2
2
t
e
t
t
e
t
t
t
t
t
1
1
1
1
⋅
−
+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
−
.
3. ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE’A DO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, UKŁADÓW
RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH
Metoda przekształcenia Laplace’a korzystna jest przy wyznaczaniu rozwiązań równań różniczkowych
liniowych zwyczajnych zwłaszcza w przypadku, gdy są to równania o stałych współczynnikach.
W zasadzie stosując tę metodę wyznaczamy całkę szczególną równania, spełniającą zadane warunki
początkowe. Jeżeli jako warunki początkowe przyjmiemy dowolne stałe – otrzymujemy całkę ogólną.
ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH METODĄ
TRANSFORMACJI LAPLACE’A
1.
Znajdujemy transformaty Laplace’a obu stron równania różniczkowego przy uwzględnieniu
warunków początkowych (ułożenie równania dla obrazu);
2.
Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne (wyznaczenie obrazu);
3.
Wyznaczamy transformaty odwrotne (obliczenie oryginału).
Przykład: Wyznaczyć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego
t
y
y
sin
=
+
′
przy warunku
początkowym
0
)
0
(
=
+
y
.
Rozwiązanie:
Zakładamy, że równanie to jest tożsamością:
t
t
t
t
y
t
t
y
sin
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⋅
=
⋅
+
⋅
′
1
1
1
1. Ułożenie równania dla obrazu
Wyznaczając transformaty obu stron mamy:
L
[
]
=
⋅
+
⋅
′
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
y
t
t
y
1
1
L
[
]
t
t
sin
)
( ⋅
1
czyli
L
[
]
+
′
)
(t
y
L
[
]
=
)
(t
y
L
[
]
t
sin
W oparciu o wzór z Tw.1.3 (o różniczkowaniu oryginału) oraz znaną transformatę funkcji sin t mamy:
1
1
)
(
)
0
(
)
(
2
+
=
+
−
+
s
s
Y
y
s
sY
330
Wstawiamy warunek początkowy i otrzymujemy równanie algebraiczne:
1
1
)
(
)
(
2
+
=
+
s
s
Y
s
sY
2. Wyznaczenie obrazu
Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:
(
)
1
1
)
(
1
2
+
=
+
s
s
Y
s
czyli
(
)
)
1
(
1
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
Y
Po rozłożeniu na ułamki proste otrzymamy:
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
)
(
2
2
+
⋅
+
+
⋅
−
+
⋅
=
s
s
s
s
s
Y
.
3. Obliczenie oryginału
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace’a mamy:
=
⋅
)
(
)
(
t
t
y
1
L
+
⋅
+
+
⋅
−
+
⋅
−
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
s
s
s
s
=
⋅
)
(
)
(
t
t
y
1
⋅
2
1
L
⋅
−
+
−
2
1
1
1
1
s
L
⋅
+
+
−
2
1
1
2
1
s
s
L
+
−
1
1
2
1
s
Korzystając z tablic transformat Laplace’a mamy:
)
(
sin
2
1
cos
2
1
2
1
)
(
sin
2
1
)
(
cos
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
t
t
t
e
t
t
t
t
t
e
t
t
y
t
t
1
1
1
1
1
⋅
+
−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
−
Uwaga
: Rozwiązując równanie różniczkowe metodą operatorową zakładamy na wstępie, że istnieje
rozwiązanie będące oryginałem. Jeżeli po prawej stronie występuje funkcja
)
(t
1
to otrzymane
rozwiązanie istotnie jest oryginałem.(dość często jednak w zapisie pomijamy funkcję jednostkową: np.
t
t
e
t
y
t
sin
2
1
cos
2
1
2
1
)
(
+
−
=
−
).
Uwaga
: W przypadku rozwiązywania metodą operatorową układów równań różniczkowych postępujemy
podobnie; dla każdego równania układamy równanie dla obrazu, rozwiązujemy otrzymany układ równań
algebraicznych (wyznaczamy poszczególne obrazy) a następnie wyznaczamy ich transformaty odwrotne.
METODA OPERATOROWA DLA RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH
Równaniem całkowym nazywamy równanie, które zawiera szukaną funkcję pod znakiem całki.
Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywają równania całkowe liniowe postaci:
∫
τ
τ
⋅
τ
+
=
⋅
t
t
d
x
t
K
t
f
t
x
a
0
)
(
)
,
(
)
(
)
(
gdzie
)
(t
x
jest szukaną funkcją, zaś
),
(t
f
)
,
( τ
t
K
są funkcjami znanymi,
0
, t
a
to wielkości stałe.
Równanie całkowe tej postaci nazywamy równaniem całkowym Volterry I rodzaju gdy
0
=
a
(niewiadoma występuje tylko pod znakiem całki) i równaniem całkowym Volterry II rodzaju gdy
0
≠
a
(niewiadoma występuje poza całką jako osobny składnik).
Daną funkcję
)
,
( τ
t
K
nazywamy jądrem równania całkowego.
331
Uwaga
: W poniższych przykładach w zapisie została pominięta funkcja jednostkowa.
Przykład: Znaleźć rozwiązanie równania całkowego
∫
τ
τ
⋅
τ
−
−
=
t
d
x
t
t
t
x
0
)
(
)
cos(
2
cos
)
(
, gdzie
)
(t
x
jest
funkcją niewiadomą.
Rozwiązanie:
Obliczamy transformaty obydwu stron równania
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
τ
τ
⋅
τ
−
∫
t
d
x
t
0
)
(
)
(
cos
Korzystając z definicji splotu funkcji mamy
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
[
]
)
(
*
cos
t
x
t
Z tw. Borela o splocie wynika, że
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
[
]
⋅
t
cos
L
[
]
)
(t
x
Stąd
)
(
1
2
1
)
(
2
2
s
X
s
s
s
s
s
X
+
−
+
=
Zatem po przekształceniach równanie obrazu jest następujące:
2
)
1
(
)
(
+
=
s
s
s
X
.
Wyznaczamy oryginał korzystając z transformaty odwrotnej i tablicy transformat
=
)
(t
x
L
t
e
t
s
s
−
−
−
=
+
)
1
(
)
1
(
2
1
.
Ostatecznie
=
)
(t
x
t
e
t
−
− )
1
(
.
Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowo – całkowe
[
]
∫
=
τ
τ
−
τ
−
+
t
d
x
t
dt
dx
0
0
)
(
2
)
cos(
, gdy
4
)
0
( =
x
.
Rozwiązanie:
Po przekształceniu równanie ma postać:
∫
∫
=
τ
τ
−
τ
τ
−
τ
+
′
t
t
d
x
d
t
x
t
x
0
0
0
)
(
2
)
cos(
)
(
)
(
Korzystając z definicji splotu mamy
∫
τ
τ
=
+
′
t
d
x
t
t
x
t
x
0
)
(
2
cos
*
)
(
)
(
Obliczamy transformaty obu stron równania
L
[
]
+
′
)
(t
x
L
[
]
2
cos
*
)
(
=
t
t
x
L
τ
τ
∫
t
d
x
0
)
(
332
Korzystając z tw. Borela, o różniczkowaniu oryginału i o całkowaniu oryginału otrzymujemy
s
s
X
s
s
s
X
x
s
sX
)
(
2
1
)
(
)
0
(
)
(
2
=
+
⋅
+
−
+
Po wstawieniu warunku początkowego mamy
)
(
1
2
1
)
(
4
)
(
2
s
X
s
s
s
s
X
s
sX
⋅
=
+
⋅
+
−
4
2
1
)
(
2
=
−
+
+
⋅
s
s
s
s
s
X
Stąd po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie obrazu:
2
4
)
(
4
3
−
+
=
s
s
s
s
X
.
Aby skorzystać z tablicy transformat otrzymaną transformatę przedstawiamy następująco
( )
( )
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
1
4
2
4
)
(
−
⋅
+
−
=
s
s
s
s
s
X
Stąd
4
)
( =
t
x
L
( )
2
1
4
2
4
4
4
3
1
⋅
+
−
−
s
s
L
( )
−
−
4
4
4
1
2
2
s
s
(
)
(
)
t
t
t
t
t
x
4
4
4
4
2
cos
2
cosh
2
1
2
4
2
cos
2
cosh
2
1
4
)
(
−
⋅
+
+
⋅
=
Ostatecznie
(
)
(
)
t
t
t
x
4
4
2
cos
2
2
2
cosh
2
2
)
(
−
+
+
=
333
TABLICE PODSTAWOWYCH TRANSFORMAT LAPLACE’A
Lp.
Oryginał
)
(t
f
Transformata
)
(s
F
1.
)
(t
1
s
1
2.
at
e
a
s
−
1
3.
a
t
e
a
−
1
as
+
1
1
4.
n
t
1
!
+
n
s
n
5.
bt
sin
2
2
b
s
b
+
6.
bt
e
at
sin
−
(
)
2
2
b
a
s
b
+
+
7.
bt
sinh
2
2
b
s
b
−
8.
bt
e
at
sinh
−
(
)
2
2
b
a
s
b
−
+
9.
(
)
1
1
−
at
e
a
)
(
1
a
s
s
−
10.
a
t
e
−
−
1
)
1
(
1
as
s
+
11.
at
e
t
2
)
(
1
a
s
−
12.
a
t
e
t
a
−
2
1
2
)
1
(
1
as
+
13.
b
a
e
e
bt
at
−
−
)
)(
(
1
b
s
a
s
−
−
14.
bt
cos
2
2
b
s
s
+
15.
bt
e
at
cos
−
(
)
2
2
b
a
s
a
s
+
+
+
16.
bt
cosh
2
2
b
s
s
−
17.
bt
e
at
cosh
−
(
)
2
2
b
a
s
a
s
−
+
+
18.
at
e
at
)
1
( +
2
)
(
a
s
s
−
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word W24 Elementy rachunku operatorowego
Microsoft Word Cz I CWICZ RACH Z MTP1 Materialy Pomoc Stud
Microsoft Word L22 elementy teorii pola wektorowego
Microsoft Word Cz I CWICZ RACH Z MTP1 Materialy Pomocnicze Stud
Microsoft Word W22 Elementy teorii pola wektorowego
Nowy element Dokument Microsoft Word
Nowy element Dokument Microsoft Word
Microsoft Word W8 Regula dH Elementy przebiegu
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word (2) (1)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
więcej podobnych podstron