Metody probabilistyczne

Powstanie rachunku prawdopodobieństwa - połowa

XVII wieku.
Bezpośrednia przyczyna - gry hazardowe.
Pierwsi matematycy zajmujący się problemami

probabilistycznymi:
- B. Pascal (1623-1662),
- P. Fermat (1601-1661),
- J. Bernoulli (1654-1705).
Przez długi czas rachunek prawdopodobieństwa nie

był uważany za dyscyplinę matematyczną - pojęcie

prawdopodobieństwa nie było ściśle sprecyzowane.

W 1933 roku A. Kołmogorow przedstawił rachunek
prawdopodobieństwa jako teorię aksjomatyczną.

Symbol Newtona

Niech n oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, zaś k -
liczbę naturalną bądź zero.











!

1

2

1

k

k

n

n

n

n

k

n

def





























gdy

1



k

1

0

def

n















Jeśli n jest liczbą całkowitą nie mniejszą od k,
otrzymujemy:





!

!

!

k

n

k

n

k

n

















Symbol Newtona

Udowodnić:















































1

1

1

k

n

k

n

k

n

k

n

N

n

k

n

n

k

n

































i

dla

Permuracje

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych
elementów.

Permutacją zbioru Z nazywamy każde
uporządkowanie elementów zbioru Z.

Istnieje permutacji zbioru Z.

!

2

1

n

n

def







 

Zadanie:

Ile liczb sześciocyfrowych można
utworzyć z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5 w taki
sposób, żeby żadna cyfra w liczbie się nie
powtarzała?

Wariacje bez powtórzeń

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych
elementów.

k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru Z

nazywamy każdą permutację k-elementową
należącą do zbioru Z.

Liczba k-wyrazowych permutacji zbioru Z wyraża
się wzorem:





n

k 

 













1

1

!

!

















k

n

n

n

k

n

n

V

k

n



Zadanie:

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których żadna
cyfra się nie powtarza?

Wariacje z powtórzeniami

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych
elementów.

k-wyrazową permutacją z powtórzeniami
nazywamy każde uporządkowanie k elementów
zbioru Z, z których nie wszystkie elementy
muszą być różne.

Liczba k-wyrazowych permutacji z
powtórzeniami wyraża się wzorem:

 

k

k

n

n

W 

Zadanie:

Iloma sposobami można rozmieścić n ziaren w m
pudełkach?

Kombinacje

Niech Z oznacza zbiór złożony z n różnych
elementów.

Każdy podzbiór złożony z k różnych elementów
zbioru Z nazywamy k-elementową kombinacją bez
powtórzeń.

Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń
zbioru Z określona jest wzorem:

 















k

n

C

k

n

Zadanie:

Na płaszczyźnie danych jest n punktów, z których
żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Ile różnych
prostych wyznaczają te punkty?

Zdarzenia losowe

W rachunku prawdopodobieństwa jako
pojęcie pierwotne przyjmuje się zbiór zdarzeń
elementarnych związanych z
danym doświadczeniem losowym.

Zbiór będziemy nazywać przestrzenią
zdarzeń elementarnych.

Definicja 1.

Zdarzeniem losowym lub krótko zdarzeniem ,
nazywamy każdy podzbiór przestrzeni
zdarzeń elementarnych .







Algebra zdarzeń

Definicja 2.

Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń
zdarzeń elementarnych .

Definicja 3.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór
pusty przestrzeni .

Definicja 4.

Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w
zdarzeniu B jeżeli każde zdarzenie
elementarne należące do A należy także do B.









B

A

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 5.

Alternatywą lub sumą zdarzeń A i B
nazywamy zdarzenie C składające się z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które
należą przynajmniej do jednego ze zdarzeń A
i B, co oznaczamy symbolem .

Definicja 6.

Koniunkcją lub iloczynem zdarzeń A i B
nazywamy zdarzenie C składające się z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, Które
należą do obu zdarzeń A i B, co oznaczamy
symbolem .

B

A

B

A

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 7.

Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C
składające się z tych wszystkich zdarzeń
elementarnych, które należą do zdarzenia A, ale
nie należą do zdarzenia B, co oznaczamy
symbolem .

Definicja 8.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywamy zdarzenie B składające się z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie
należą do zdarzenia A, co oznaczamy symbolem
.

B

A

'

A

Algebra zdarzeń - c.d.

Definicja 9.

Mówimy, że zdarzenia A i B wyłączają się,
jeżeli





 B

A

Własności działań na zdarzeniach

Działania na zdarzeniach podlegają następującym
prawom:

A

B

B

A







A

B

B

A









 



C

B

A

C

B

A













 



C

B

A

C

B

A













 

 



C

A

B

A

C

B

A















 

 



C

A

B

A

C

B

A













rozdzielność koniunkcji
względem alternatywy

rozdzielność

alternatywy

względem

koniunkcji





'

'

'

B

A

B

A











'

'

'

B

A

B

A







Prawa De
Morgana.

Definicja klasyczna (Laplace’a)

prawdopodobieństwa

Rozważmy doświadczenie losowe kończące się
zawsze dokładnie jednym spośród m
jednakowych wyników. Jeżeli zdarzeniu A
sprzyja l spośród tych wyników, to
prawdopodobieństwem P(A) zdarzenia A
nazywamy liczbę

 

.

m

l

A

P



Zdanie „zdarzeniu A sprzyja l wyników”
rozumiemy następująco: zdarzenie A
zrealizuje się, gdy doświadczenie kończy się
którymkolwiek z l określonych wyników, i nie
realizuje się, gdy kończy się którymkolwiek z
m-l pozostałych wyników.