Zdarzenia elementarne

Poszczególne wyniki doświadczenia nazywają się
zdarzeniami elementarnymi, zaś zbiór tych wyników
przestrzenią zdarzeń elementarnych danego
doświadczenia.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych zwykle oznaczamy
literą
. Zdarzenia elementarne oznaczamy małą literą ,
dodając często wskaźnik.





Działania na zdarzeniach

Def. Całą przestrzeń zdarzeń elementarnych
- nazywamy zdarzeniem pewnym.
Def. Podzbiór pusty przestrzeni zdarzeń
elementarnych
nazywamy zdarzeniem niemożliwym i
oznaczamy symbolem

.

Def. Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w
zdarzeniu B, co zapisujemy

,

jeżeli każde

zdarzenie elementarne należące do A należy także
do B.







B

A

Działania na zdarzeniach - c.d.

Def. Zdarzenie składające się z tych wszystkich
zdarzeń elementarnych, które należą do obydwu
zdarzeń A i B nazywamy koniunkcją tych
zdarzeń

i oznaczamy symbolem

.

Def. Zdarzenie składające się z tych wszystkich
zdarzeń elementarnych, które należą do co
najmniej jednego ze zdarzeń A lub B nazywamy
alternatywą tych zdarzeń i oznaczamy
symbolem

.

B

A

B

A

Działania na zdarzeniach - c.d.

Def. Zdarzenie składające się z tych wszystkich
zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia
A i nie należą do zdarzenia B nazywamy różnicą
zdarzeń i oznaczamy symbolem

.

Def. Zdarzenia A i B nie mające wspólnych
zdarzeń elementarnych, nazywamy zdarzeniami
rozłącznymi (lub wykluczającymi się).

Def. Mówimy, że zdarzenia

są

rozłączne parami, jeśli każde dwa spośród nich
wyłączają się.

B

A\

n

A

A

A

,

,

,

2

1



Działania na zdarzeniach - c.d.

Def. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywamy zdarzenie B składające się z tych
wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie
należą do zdarzenia A. Zdarzenie przeciwne do
A oznaczamy

.

Def. Zdarzenia A i B składające się z tych
samych zdarzeń elementarnych nazywamy
zdarzeniami identycznymi i oznaczamy A=B.
Wszystkie prawa rachunku zbiorów są również
prawami rachunku zdarzeń.

A

Prawdopodobieństwo

- definicja klasyczna

Rozważmy doświadczenie losowe kończące się
zawsze dokładnie jednym spośród m jednakowo
możliwych wyników. Jeżeli zdarzeniu A sprzyja l
spośród tych wyników, to prawdopodobieństwem
P(A) zdarzenia A nazywam liczbę

.

 

m

l

A

P



Prawdopodobieństwo

- definicja geometryczna

Przypuśćmy, że w przestrzeni r-wymiarowej mamy
pewien obszar G i zawarty w nim obszar g.
Przypuśćmy dalej, że doświadczenie polega na
losowym wyborze punktu w obszarze G, przy czym
wszystkie punkty są równoprawne. Wówczas
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na
tym, że losowo wybrany punkt znajdzie się w obszarze
g, określamy wzorem:

gdzie mes g i mes G oznaczają odpowiednio miarę
zbioru (przy r=1 długość, przy r=2 pole, przy r=3
objętość).

 

mesG

mesg

A

P



Prawdopodobieństwo

- definicja von Misesa

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest to
granica częstości tego zdarzenia, gdy liczba
doświadczeń n dąży do nieskończoności:

 

 

n

A

n

A

P

n 



lim

Prawdopodobieństwo

- definicja aksjomatyczna

Weźmy pod uwagę ustaloną przestrzeń zdarzeń
elementarnych
i wyróżnioną w niej klasę zdarzeń
probabilizowalnych.
Prawdopodobieństwem P nazywamy funkcję o
wartościach rzeczywistych określoną na klasie zdarzeń
spełniającą następujące aksjomaty:
Aksjomat 1. Dla każdego zdarzenia
prawdopodobieństwo P(A) spełnia następującą
nierówność podwójną:
Aksjomat 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego

jest równe jedności:











A

 

1

0



 A

P



 

1





P

Prawdopodobieństwo
- definicja aksjomatyczna - c.d.

Aksjomat 3. Prawdopodobieństwo alternatywy
przeliczalnej liczby parami wyłączających się
zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw
tych zdarzeń: jeżeli
, przy czym dla każdej pary
wskaźników i,j
jest , to







,

,

2

1

A

A





j

i 







j

i

A

A

 

























1

1

k

k

k

k

A

P

A

P



Przestrzeń probabilistyczna

Trójkę złożoną z ustalonej przestrzeni
zdarzeń elementarnych , wyróżnionej w niej
klasie zdarzeń probabilizowalnych i
określonego na niej prawdopodobieństwa P
nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Funkcję P nazywa się często rozkładem
prawdopodobieństwa, a przez
prawdopodobieństwo rozumie się wartość tej
funkcji P(A) dla konkretnego argumentu A, czyli
dla konkretnego zdarzenia A.





P

,

,









Najprostsze konsekwencje

aksjomatów

Twierdzenie 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia
niemożliwego równa się zero: .
Twierdzenie 2. Jeżeli zdarzenia są
parami wyłączające się (tzn. ),
to

Twierdzenie 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia
A jest równe 1 minus prawdopodobieństwo
zdarzenia przeciwnego .

 

0





P

n

A

A

A

,

,

,

2

1



j

i

A

A

j

i









dla





 

 

 

n

n

A

P

A

P

A

P

A

A

A

P

















2

1

2

1

 

 

A

P

A

P





1

Najprostsze konsekwencje

aksjomatów - c.d.

Twierdzenie 4. Prawdopodobieństwo
alternatywy dowolnych zdarzeń A i B dane jest
wzorem

Twierdzenie 5. Prawdopodobieństwo
alternatywy dowolnych zdarzeń A, B i C dane
jest wzorem

Twierdzenie 6. Jeżeli to





 

 





B

A

P

B

P

A

P

B

A

P















 

 

 

















C

B

A

P

C

B

P

C

A

P

B

A

P

C

p

B

P

A

P

C

B

A

P





























B

A

 

 

B

P

A

P



Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod
warunkiem, że zaszło zdarzenie B (o
niezerowym prawdopodobieństwie) wyraża się
wzorem:









 

B

P

B

A

P

B

A

P





/

Prawdopodobieństwo zupełne

Niech zdarzenia wyłączają się
parami
(tzn. ), przy czym dla
i niech ich alternatywa będzie
zdarzeniem pewnym:

Wówczas dla każdego zdarzenia B zachodzi wzór

n

A

A

A

,

,

,

2

1



j

i

A

A

j

i









dla

 

0



i

A

P

n

i

,

,

2

,

1 













n

A

A

A



2

1

 



  



  



  

n

n

A

P

A

B

P

A

P

A

B

P

A

P

A

B

P

B

P















/

/

/

2

2

1

1



Twierdzenie Bayesa

Jeśli spełnione są założenia twierdzenia o
prawdopodobieństwie zupełnym oraz
to

gdzie P(A) wyraża się wzorem z tezy twierdzenia
o prawdopodobieństwie zupełnym.

0

)

(



A

P

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

i

i

i





Niezależność zdarzeń

Def. Niech będzie ustaloną
przestrzenią probabilistyczną. Zdarzenia

A i B

należące do

nazywa się niezależnymi, gdy spełniony jest
warunek:





P

,

,







)

(

)

(

)

(

B

P

A

P

B

A

P







Niezależność zdarzeń- c.d.

Twierdzenie 1. Jeżeli A jest dowolnym
zdarzeniem a

P(B)=0 lub P(B)=1 to zdarzenia

A i B są

niezależne.

Twierdzenie 2. Jeżeli zdarzenia A i B są

niezależne to niezależne są też zdarzenia:
a) i B

b) A i

c) i

A

B



A

 B

Niezależnoěć zdarzeń- c.d.

Def. Mówimy, że zdarzenia

są

wzajemnie niezależne jeśli
prawdopodobieństwo koniunkcji dowolnych k
różnych zdarzeń spośród nich jest równe
iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

n

A

A

A

,

,

,

2

1



Pojęcie zmiennej losowej

Def. Niech będzie przestrzenią
probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy
dowolną funkcję o wartościach rzeczywistych,
określoną na przestrzeni zdarzeń
elementarnych i spełniającą warunek : dla
każdej liczby rzeczywistej x
zbiór zdarzeń elementarnych , dla których
spełniona jest nierówność jest
zdarzeniem, czyli





P

,

,







x

X



)

(







S

x

X





)

(

:





Pojęcie zmiennej losowej

Zmienne losowe będziemy oznaczać dużymi
końcowymi literami alfabetu:

X,Y,Z; ich

wartości odpowiednimi literami małymi: x,y,z.

Dystrybuanta zmiennej losowej

Def. Niech X oznacza dowolną ustaloną
zmienną losową. Funkcję

( lub krócej: F)

określoną na całej osi równością
nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej
X.

X

F









 ,

x

X

P

x

F

X





)

(

:

(

)

(





Własności dystrybuanty

1) dla każdego ,

2)

jest funkcją niemalejącą,

3)

4) jest funkcją lewostronnie ciągłą,
5) przyrost dystrybuanty F między
punktami i

1

)

(

0



 x

F

R

x

0

)

(

)

(

lim











F

x

F

x

1

)

(

)

(

lim











F

x

F

x

)

(

)

(

1

2

x

F

x

F



1

x

2

x

Własności dystrybuanty - c.d.

5) przyrost dystrybuanty F między
punktami i wyraża
prawdopodobieństwo
przyjęcia przez zmienną losową X
wartości z przedziału
6) różnica wyraża
prawdopodobieństwo
przyjęcia przez zmienną losową X
wartości

)

(

)

(

1

2

x

F

x

F



1

x

2

x

)

(

2

1

x

X

x

P









2

1

,x

x

)

(

)

(

0

0

x

F

x

F





)

(

0

x

X

P



0

x



 )

(

0

x

X

P

)

(

)

(

0

0

x

F

x

F





Niezależność zmiennych losowych

Def. Mówimy, że zmienne losowe X i Y są
niezależne, gdy dla dowolnych
zdarzenia

i

są niezależne, czyli

R

y

x 

,





x

X



)

(

:









y

Y



)

(

:











 



y

Y

P

x

X

P

y

Y

x

X

P











 ,

Zmienne losowe - c.d.

Def. Mówimy, że zmienna losowe X jest typu
dyskretnego, jeżeli daje się wyróżnić
skończony lub przeliczalny zbiór
jej wartości taki, że:
(*)

Równość ( * ) nosi nazwę warunku
unormowania.





...

,...,

,

2

1

n

x

x

x

W 

,

,

0

)

(

W

x

x

X

P

i

i















W

x

i

i

x

X

P

1

)

(

Zmienne losowe - c.d.

Def.

Funkcją

(

rozkładu

)

prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej
losowej X nazywamy funkcję p określoną na
zbiorze W jej punktów skokowych
równością:
lub tabelką

i spełniającą warunek unormowania.

i

x

W

x

p

x

X

P

x

p

i

i

i

i









,

)

(

)

(

x

i

x

1

x

2

...

x

n

...

p

i

px

( )

1

px

( )

2

...

px

n

( )

...

W

x

i



Zmienne losowe - c.d.

Def. Mówimy, że zmienna losowa X jest typu
ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f,
określona i całkowalna na całej osi taka, że dla
każdego przedziału

Funkcja f nazywa się gęstością ( rozkładu )
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, a
jej wykres - krzywą gęstości.
Równość

nosi nazwę warunku unormowania.





2

1

,x

x













2

1

)

(

2

1

x

x

dx

x

f

x

X

x

P











1

)

( dx

x

f

Zmienne losowe - c.d.

Tw. Każda funkcja f nieujemna i spełniająca
warunek

unormowania

jest

gęstością

prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.

Def. Dystrybuanta F zmiennej losowej X
typu ciągłego o gęstości f wyraża się
następującym wzorem:











x

R

x

dt

t

f

x

F

.

,

)

(

)

(

Funkcje zmiennej losowej typu

ciągłego

Tw.

Jeżeli:

1) zmienna losowa X jest typu ciągłego o gęstości

skoncentrowanej na przedziale ,

2) funkcja

, określona co najmniej na

przedziale jest różniczkowalna i przy tym
jej
pochodna ma stały znak, to:
a) zmienna losowa jest również typu
ciągłego,

b) jej gęstość

wyraża się wzorem:

X

f





b

a,

)

(

:

x

u

y

x

u









b

a,

)

(x

u

Y 

Y

f

Funkcje zmiennej losowej typu

ciągłego- c.d.

gdzie: jest rozwiązaniem równania

)

(y

v

x 

)

(x

u

y 

)

,

min(

1

1

b

a

c 

)

,

max(

1

1

b

a

d 

)

(

lim

1

x

u

a

a

x







)

(

lim

1

x

u

b

b

x























y

d

y

c

y

v

y

v

f

y

f

X

Y

h

pozostalyc

dla

0

dla

)

(

))

(

(

)

(

Wartość oczekiwana

Def. Wartością oczekiwaną (wartością
przeciętną, wartością średnią) zmiennej
losowej dyskretnej o funkcji
prawdopodobieństwa

nazywamy liczbę określoną wzorem

ale

pod

warunkiem,

że

w

przypadku

przeliczalnej liczby punktów skokowych, szereg
po prawej stronie wzoru jest bezwzględnie
zbieżny.

)

(

i

x

p

)

(X

E







W

x

i

i

i

x

p

x

X

E

)

(

)

(

Wartość oczekiwana - c.d.

Def. Wartością oczekiwaną zmiennej
losowej X typu ciągłego o gęstości f
nazywamy liczbę E(X) określoną wzorem:

ale pod warunkiem, że w przypadku gęstości
nieograniczonej lub skoncentrowanej

na

przedziale niewłaściwym, całka po prawej
stronie jest zbieżna bezwzględnie.













dx

x

xf

X

E

)

(

)

(

Wartość oczekiwana - c.d.

Tw.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ma

następujące własności (X,Y - zmienne losowe
dowolnego typu, a,b,c - stałe):
a) wartość oczekiwana stałej jest równa tej
stałej,

b) gdy istnieje

, wartość

oczekiwana jest miarą położenia,

c)

gdy istnieje

,

wartość

oczekiwana odchylenia dowolnej zmiennej losowej od
jej wartości

oczekiwanej jest równa zeru,

c

c

E



)

(

c

X

E

c

X

E







)

(

)

(

)

(X

E

0

))

(

(





X

E

X

E

)

(X E

Wartość oczekiwana - c.d.

d) gdy istnieje ,

e) gdy istnieją dwie
spośród występujących tu wartości
oczekiwanych,

f) gdy istnieją E(X) i E(Y)
oraz X i Y są niezależne.

)

(

)

(

X

E

a

aX

E





)

(X

E

)

(

)

(

)

(

Y

E

X

E

Y

X

E







)

(

)

(

)

(

Y

E

X

E

XY

E





Kwantyle

Kwantylem rzędu p zmiennej losowej X typu
ciągłego o dystrybuancie F i o gęstości f
nazywamy liczbę , spełniającą jeden z
równoważnych warunków:

, ,

Kwantyl rzędu nazywa się medianą.

p

x

p

x

F

p



)

(

p

x

X

P

p



 )

(









p

x

p

dx

x

f )

(

2

1



p

Kwantyle -c.d.

Kwantylem rzędu p zmiennej losowej X typu
dyskretnego o dystrybuancie F i skokach

nazywamy liczbę , spełniającą jeden z
równoważnych warunków:
, ,

)

(

i

x

p

p

x

)

(

)

(







p

p

x

F

p

x

F

)

(

)

(

p

p

x

X

P

p

x

X

P





















p

i

p

i

x

x

x

x

i

i

x

p

p

x

p

)

(

)

(

Wariancja

Wariancją zmiennej losowej X mającą wartość
oczekiwaną E(X), nazywamy liczbę V(X)
określoną wzorem

:

Uwzględniając typ zmiennej losowej i
odpowiednie własności, wzór powyższy możemy
zapisać w następującej postaci:

2

))

(

(

)

(

X

E

X

E

X

V





































ciaglego

jest typu

gdy

)

(

))

(

(

o

dyskretneg

jest typu

gdy

)

(

))

(

(

)

(

2

2

X

dx

x

f

X

E

x

X

x

p

X

E

x

X

V

W

x

i

i

i

Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym, nazywamy
arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z
wariancji:

)

(X

V





Wariancja - własności

Tw. Wariancja zmiennej losowej ma następujące
własności (X,Y - zmienne dowolnego typu, a,b,c-
stałe):
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) gdy X,Y są niezależne.

0

)

(



X

V

0

)

( 

c

V

)

(

)

(

X

V

c

X

V





)

(

)

(

2

X

V

a

aX

V







2

2

)

(

)

(

)

(

X

E

X

E

X

V





)

(

)

(

)

(

Y

V

X

V

Y

X

V







Momenty

Momentem rzędu r względem stałej c
zmiennej losowej X nazywamy liczbę
określoną wzorem:

Momenty względem stałej c=0 noszą nazwę
momentów zwykłych, względem c=E(X) -
momentów centralnych.

, .

)

(c

r



r

r

c

X

E

c

)

(

)

(







)

(

)

0

(

1

X

E









)

(

)

(

2

X

V

X

E





Kowariancja

Kowariancję zmiennych losowych X i Y
mających wartości oczekiwane E(X) i E(Y),
nazywamy liczbę cov(X,Y) określoną wzorem:

Zachodzą związki:
a) ,
b) gdy X, Y są niezależne,
c)







]

)

(

)

(

[

)

,

cov(

Y

E

Y

X

E

X

E

Y

X







)

(

)

,

cov(

X

V

X

X



0

)

,

cov(



Y

X

)

,

cov(

2

)

(

)

(

)

(

Y

X

Y

V

X

V

Y

X

V









Współczynnik korelacji

Współczynnikiem korelacji zmiennych
losowych X i Y mających wartości oczekiwane
E(X), E(Y) oraz wariancje V(X)>0, V(Y)>0,
nazywamy liczbę określoną wzorem :

Y

X

Y

X

Y

X











)

,

cov(

,

Współczynnik korelacji - c.d.

Parametr powyższy służy do badania
zależności pomiędzy zmiennymi losowymi X i
Y a przede wszystkim do:
1) zaprzeczenia zdania: zmienne losowe X i Y
są niezależne,
2) pomiędzy zmiennymi losowymi X i Y
istnieje zależność liniowa z
prawdopodobieństwem 1.

Współczynnik korelacji - własności

1) jest niezmiennikiem
przekształcenia liniowego;
2) ;
3) gdy X,Y są niezależne;
4) warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby
istniały stałe

, takie, że

jest .

d

cY

b

aX

Y

X

d

b

c

a













,

,

,

,

0

,

0





1

,



Y

X



0

,



Y

X



)

0

(

,



a

b

a





1

)

(

)

(

:







b

aX

Y

P







1

2

,



Y

X



Niektóre rozkłady

prawdopodobieństwa



Rozkład dwumianowy



Rozkład Poissona



Rozkład normalny



Rozkład Weibulla

Rozkład dwumianowy

Mówimy, że dyskretna zmienna losowa ma
rozkład dwumianowy z parametrami

,

, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa

wyraża się wzorem:

,

gdzie .
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej
losowej o rozkładzie dwumianowym z
parametrami (n,p) wyrażają się wzorami:
E(X)=np, V(X)=npq.

)

,

( p

n

1

0



 p

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

















)

(





n

W

k

,...,

1

,

0





1



 q

p

Rozkład Poissona

Mówimy, że zmienna losowa K ma rozkład
Poissona z parametrem

,

jeżeli jej funkcja

prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej
losowej o rozkładzie Poissona wyrażają się
wzorami:
, .







.

0

,

,...,

2

,

1

,

0

,

!

)

(



















n

W

k

k

e

k

P

k





)

(X

E





)

(X

V

Rozkład Poissona -c.d.

Rozważmy dowolne urządzenie obsługujące
(np. kasę, centralę telefoniczną, port, zakład
usługowy) do którego napływają zgłoszenia
wymagające obsługi.
Udowadnia się, że jeżeli:
1) prawdopodobieństwo pojawienia się k
zgłoszeń w przedziale czasu nie zależy:
a) od chwili ,
b) od liczby zgłoszeń, które pojawiły się do
chwili ,
2) pojawienie się dwóch lub więcej zgłoszeń w
małym odcinku czasu jest praktycznie
niemożliwe,

)

,

(

0

0

t

t

t



0

t

0

t

Rozkład Poissona -c.d.

to prawdopodobieństwo pojawienia się k
zgłoszeń w przedziale czasu o długości t
wyraża się wzorem Poissona z parametrem ,
który oznacza tzw. intensywność strumienia
zgłoszeń, czyli oczekiwaną liczbę zgłoszeń w
jednostce czasu.



Rozkład dwumianowy a Poissona

Niech zmienna losowa X ma rozkład
dwumianowy, taki że,

to









np

n

lim

!

lim

k

e

q

p

k

n

k

k

n

k

n



























Rozkład normalny

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład
normalny (rozkład Gaussa) z
parametrami

, jeżeli jej gęstość

prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

gdzie - dowolne,
Parametry i maja prostą interpretację
probabilistyczną:

jest wartością oczekiwaną,

-

wariancją.

)

,

(





R

x

x

f

e

x









2

2

)

(

2

1

2

1

)

(











.

0















2



Rozkład normalny - c.d.

Tw.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład

normalny

, to zmienna losowa U:

ma rozkład normalny N(0,1) czyli
standaryzowany rozkład normalny.
Zatem gęstość zmiennej losowej U, którą
będziemy oznaczać przez

, przyjmuje

postać:

)

,

(





N









X

U



e

u

U

2

2

1

2

1

)

(









R

u

Rozkład normalny - c.d.

Istnieją tablice wartości gęstości i
odpowiadającej jej dystrybuanty :

Dystrybuanta standaryzowanej zmiennej
losowej U ma własność:

















u

dt

t

u

e

2

2

1

2

1

)

(



R

u

u

u













),

(

1

)

(

Rozkład Weibulla

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Weibulla
o parametrach p i

, jeżeli jej gęstość jest

postaci:

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej o
rozkładzie Weibulla wyrażają się przez funkcję
specjalną

następującymi wzorami:

gdzie

0























0

,

0

0

,

)

(

1

x

x

e

px

x

f

p

x

p





















































2

2

1

)

1

1

(

)

1

2

(

)

(

),

1

1

(

)

(

p

p

X

V

p

X

E

p

p



















0

1

0

,

)

(

p

dx

e

x

p

x

p

Przykłady twierdzeń granicznych

Tw.

Dla każdej zmiennej losowej X,

mającej wartość skończoną, zachodzi
następująca nierówność, zwana
nierównością Czebyszewa:





2

)

(

)

(





X

V

X

E

X

P

n

n







Twierdzenie Czebyszewa

Jeżeli zmienne losowe są niezależne,
mają skończone wartości oczekiwane oraz
wspólnie ograniczone wariancje, czyli
to przy każdej liczbie zachodzi zbieżność:

gdzie

jest średnią arytmetyczną

zaś jest średnią arytmetyczną wartości

oczekiwanych
.

,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X





)

(

i

X

E

,..

2

,

1

,

)

(





i

C

X

V

i

0









1

)

(



 











n

n

n

X

E

X

P



n

X

(*)

,...

2

,

1

),

...

(

1

2

1











n

X

X

X

n

n

n

X

)

(

n

X

E

)

(

i

X

E

Twierdzenie Bernoulliego

Jeżeli

są zmiennymi losowymi

o rozkładach Bernoulliego odpowiednio z
parametrami (n,p), to przy dowolnym

,...

2

,

1

, 

n

S

n

0





1



 























n

n

p

n

S

P



Centralne twierdzenie Lindberga-

Levy’ego

Jeżeli zmienne losowe

1) są niezależne,
2) mają ten sam rozkład,
3) skończoną wartość oczekiwaną
i skończoną wariancję

to ciąg dystrybuant

standaryzowanych

zmiennych losowych

gdzie jest zbieżny do
dystrybuanty

standaryzowanego rozkładu normalnego.

,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X









)

(

i

X

E







2

)

(



i

X

V

n

F

n

U

n

n

S

U

n

n











n

S

n

X

X

X







...

2

1

