Gaz elektronowy

Zbiór swobodnych elektronów to gaz elektronowy podlegający
zakazowi Pauliego; z tego względu, elektrony będą zajmowały
kolejne stany energetyczne w paśmie aż do pewnego poziomu
energetycznego, który rozgranicza poziomy całkowicie
zapełnione od całkowicie pustych.

Ten rozgraniczający
poziom
nazywamy poziomem
Fermiego
w 0 K, a odpowiadającą
mu
energię - energią
Fermiego w 0 K

Kryształ metaliczny traktujemy jako twór złożony z jonów
metalu umieszczonych w węzłach sieci krystalicznej oraz
swobodnych elektronów odpowiedzialnych za zjawisko
przewodnictwa elektrycznego.

Funkcja Fermiego-Diraca

 

 

T

k

E

E

B

F

E

f







exp

1

1

Generalnie, zarówno w 0 K, jak i w wyższych temperaturach,
gaz elektronowy opisuje funkcja rozkładu Fermiego-Diraca,
która określa prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektron
poziomu o energii E:

1. Dla T = 0:
f(E) = 1, gdy E < E

F

;

f(E) = 0, gdy E > E

F

.

2. Dla T > 0:
f(E

F

) = ½.

Poziom Fermiego (dla T > 0) jest więc poziomem, którego
prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi ½.

Koncentracja elektronów

jest gęstością stanów w przestrzeni wektora falowego k, a dk-
elementem objętości w tej przestrzeni.

Policzmy koncentrację elektronów
swobodnych w metalach w T = 0 K,
przyjmując:

Funkcja Fermiego-Diraca wchodzi do wzoru na
koncentrację elektronów
n = N/V:

 

,

dk

k 







g

f

n

gdzi
e

 

 

3

2

2





k

g

Energia jest jedynie funkcją
długości
wektora falowego

I

k

I

= k,

tzn. powierzchnie stałej
energii są
sferami, czyli dk = 4k

2

·dk.





.

)

(

2

2

2

/

2

2

2

2

2















k

E

m

k

m

h

m

p



Koncentracja elektronów

E

f

E

k

f

n

E

k

E

k

d

d

d

d

3

1

d

d

2

1

3

2

2























Wprowadzając gęstość stanów w funkcji energii

 

E

k

E

g

d

d

3

1

3

2







otrzymujemy:

   

E

E

g

E

f

n

d









Z zależności

m

k

E

2

2

2





mamy

 

 

2

1

2

3

2

3

2

3

2

2

2

3

d

d

2

3

E

k

m

E

k

mE











Gęstość stanów jest więc
pierwiastkową funkcją energii:

 

 

.

3

2

2

3

2

2

E

E

g

m









Poziom Fermiego

Dla E < E

F

, f(E) = 1 i

wtedy:

 

 

 

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

0

2

2

0

d

d

F

m

E

m

E

E

E

E

E

E

g

n

F

F



































2

3

2

1

3

2

d

x

x

x

Poziom Fermiego:





m

k

m

n

F

F

E

2

2

3

2

2

3

2

2

2











gdzie k

F

= (3



2

n)

1/3

jest wektorem falowym odpowiadającym energii Fermiego.

Przykład: w krysztale miedzi (Cu), koncentracja swobodnych elektronów
jest równa koncentracji atomów:
n = n

Cu

= 8,42×10

22

cm

-3

, a stąd E

F

 7 eV.

Koncentracja elektronów w metalach jest duża i nie zależy od
temperatury,
natomiast wzrost ich oporu elektrycznego wraz ze wzrostem
temperatury jest spowodowany rozpraszaniem elektronów na
drganiach sieci krystalicznej.