Systemy liczbowe

Systemy liczbowe

UTK

mgr inż. Robert Szczepaniak

Pod pojęciem systemu liczbowego

systemu liczbowego

rozumiemy ogół zasad umożliwiających
przedstawienie liczb za pomocą
umownych znaków, a znaki, za pomocą
których zapisuje się liczby - cyframi

cyframi

.

Wśród systemów liczbowych rozróżnia
się:



systemy pozycyjne

systemy pozycyjne,



systemy niepozycyjne

systemy niepozycyjne.

W pozycyjnych systemach

pozycyjnych systemach

liczbowych

liczbowych

znaczenie cyfry jest

zależne od miejsca (pozycji), które ona
zajmuje w liczbie. Przykładem
pozycyjnego systemu liczbowego jest
system dziesiątkowy (dziesiętny).
Przykład:

liczba 777

.

W przypadku niepozycyjnych systemów liczbowych

niepozycyjnych systemów liczbowych

znaczenie cyfry jest niezależne od miejsca położenia w
zapisie liczby. Przykładem takiego systemu liczbowego
jest system rzymski, którego zasadniczymi znakami są:

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

Zasada zapisywania liczb w systemie rzymskim polega
na umieszczaniu cyfr mniejszych po większych z
wyjątkiem tych przypadków, gdy ilość jednostek pewnego
rzędu wynosi 4 lub 9. Wtedy mniejsza cyfra poprzedza
większą.

Przykład: MCMXCVIII = 1998 (dziesiętnie)

MCMXCVIII = 1998 (dziesiętnie)

W pozycyjnym systemie liczbowym

, (n+m) -

pozycyjną nieujemną liczbę

zapisuje się w postaci:

przy czym:
p - podstawa systemu liczbowego,

;

- cyfra i -tej pozycji,

;

n - liczba cyfr części całkowitej liczby,
m - liczba cyfr części ułamkowej liczby .

1

1

0

1

-1

1

0

1

A a

a

a

a

a

n

m

n

m

p

...

p

p

p

...

p















        



-1

1 0

1

A

A

A

A

(A)

(a

a a a

a ) =(C U )

(C ) (U )

p

n

m

p

p

p

...

, ...

,

,









a

i

{2, 3, 4, }

p

K

a {0,1, , -1}]

i

p



K

Najbardziej powszechne

systemy liczbowe

System dziesiętny (dziesiątkowy,
decymalny )

Do zapisu dowolnej liczby bez znaku system dziesiętny
wykorzystuje dziesięć symboli graficznych, zwanych
cyframi:

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

,

7

,

8

,

9

. Przy ich użyciu

jesteśmy w stanie przedstawić dowolną liczbę. System
dziesiętny, podobnie jak i system dwójkowy jest
systemem pozycyjnym. Liczbę

425

D

(

D

oznacza zapis

liczby w systemie dziesiętnym) możemy przedstawić jako
następującą sumę:

425

D

= 4 * 100 + 2 * 10 + 5 *1

10 a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}

i

p

,

, , , , , , , , ,





czyli:

4 2 5

D

= 4 * 10

2

+ 2 * 10

1

+ 5 * 10

0

^ 0 - pozycja jedynek
^ 1 - pozycja dziesiątek

^ 2 - pozycja setek

Widzimy więc, że cyfra na danej pozycji mnożona jest
przez odpowiednią potęgę liczby 10, przy czym wykładnik
tej potęgi zależy od położenia (pozycji) danej cyfry w
liczbie.

Uwaga!

Pozycje cyfr w liczbie numerujemy zawsze od

0

(najmłodsza cyfra).

Poszczególne mnożniki, zwane inaczej wagami, w

systemie dziesiętnym noszą nazwę odpowiednio:

jedynek (10

0

=1), dziesiątek (10

1

=10), setek (10

2

=100) i

tak dalej. Poszczególne wagi w systemie dziesiętnym są

potęgami liczby 10, dlatego jest ona

zwana podstawą

systemu

(p=10). Podsumowując, formalny zapis

a

n-1

...... a

0

w systemie dziesiętnym oznacza:

gdzie

i

jest numerem pozycji w liczbie, natomiast

a

i

oznacza dowolną z cyfr od 0 do 9, a

n

jest ilością cyfr

(pozycji) w liczbie.



























1

0

0

0

2

2

1

1

0

1

10

*

10

*

.....

10

*

10

*

.....

n

i

i

i

n

n

n

n

D

n

a

a

a

a

a

a

System dwójkowy (binarny)

Dla systemu dwójkowego podstawą jest liczba

2

 (p=2) i

wagami są odpowiednie potęgi tej liczby. Kolejne pozycje
liczby zwane są więc pozycjami jedynek, dwójek, czwórek,
ósemek i tak dalej.

Zapis w systemie dwójkowym, zwanym inaczej systemem
binarnym, liczby

10100

B

(

B

- oznacza zapis w systemie

dwójkowym) oznacza:

10100

B

= 1 * 2

4

+ 0 * 2

3

+ 1 * 2

2

+ 0 * 2

1

+ 0 * 2

0

=

1 * 16 + 0 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 0 * 1 = 16 + 4 = 20

D

2 a {0 1}

i

p

,

,





Uogólniając, zapis a

n-1

...... a

0B

w systemie dwójkowym

będzie oznaczał:

Wzór ten, określający sposób zapisu liczby w systemie
dwójkowym, pozwala jednocześnie na dokonanie
konwersji (przeliczenia) liczby zapisanej w systemie
dwójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym.



























1

0

0

0

2

2

1

1

0

1

2

*

2

*

.....

2

*

2

*

.....

n

i

i

i

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

B

Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
binarną

Metoda konwersji polega na wykonywaniu kolejnych
dzieleń całkowitych, z zapisem reszty, przez liczbę 2.
Rozpoczynamy od podzielenia liczby przeliczanej przez
2. Kolejne dzielenia wykonujemy na liczbie będącej
ilorazem poprzedniego dzielenia. Postępowanie
kontynuujemy aż do momentu otrzymania jako wyniku 0.
Reszty dzieleń ustawione w odpowiedniej kolejności dają
poszukiwaną liczbę binarną.

Przykład
Dokonać konwersji liczby 23

D

na liczbę binarną.

Rozwiązanie

23 : 2 = 11 r = 1
11 : 2 = 5 r = 1
5 : 2 = 2 r = 1
2 : 2 = 1 r = 0
1 : 2 = 0 r = 1

A zatem 23

D

= 10111

B

.

System szesnastkowy -
heksadecymalny

Jest on dość szeroko stosowany w dzisiejszej

informatyce. Podstawą tego systemu jest liczba

16

.

Musi istnieć więc szesnaście cyfr. Pierwsze dziesięć to

odpowiednio:

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

,

7

,

8

oraz

9

. W

systemie dziesiętnym kolejną liczbą jest 10, natomiast w

systemie szesnastkowym jest ono reprezentowane przez

A

. Kolejne liczby to: 11 -

B

, 12 -

C

, 13 -

D

, 14 -

E

, 15 -

F

.

Zatem, np. liczby w systemie dziesiętnym: 2, 6, 9, 11,

14 - w systemie szesnastkowym wyglądają

odpowiednio: 2, 6, 9, B, E. Widać od razu, że duże liczby

zajmują w systemie szesnastkowym mało miejsca.

16 a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

}

i

p

,

, , , , , , , , , , A,B,C,D,E,F





Formalny zapis systemu to:

Przykład:
Odszukać liczbę dziesiętną odpowiadającą liczbie 4C2

H

4C2

H

= 4 * 16

2

+ C * 16

1

+ 2 * 16

0

=

4 * 256 + 12 * 16 + 2 * 1 = 1218

D



























1

0

0

0

2

2

1

1

0

1

16

*

16

*

.....

16

*

16

*

.....

n

i

i

i

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

H

Zapis dwójkowy:

Zapis szesnastkowy:

0000

0

0001

1

0010

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

8

1001

9

1010

A

1011

B

1100

C

1101

D

1110

E

1111

F