Skośność i jej pomiar

Skośność (asymetria) określana jest jako

brak symetrii w rozłożeniu wartości cechy

względem ich średniej arytmetycznej, co jest

równoznaczne z niesymetrycznym rozłożeniem

jednostek statystycznych.
Jeśli w zbiorowości statystycznej opisywanej ze

względu na określoną cechę przeważają

liczebnie jednostki o wartościach cechy

niższych od średniej arytmetycznej to sytuację

tę określa się mianem skośności

prawostronnej, zaś w przypadku dominacji

jednostek o wartościach cechy wyższych od

średniej arytmetycznej - mówimy o skośności

lewostronnej.

Xśr

Me(x)

D(x)

Rozkład symetryczny

D(X) Me(x) Xśr

Rozkład asymetryczny prawostronnie

Xśr Me(x) D(X)

Rozkład asymetryczny lewostronnie

Miary skośności

Klasyfikacja:

a)

klasyczne miary skośności

:

- trzeci moment centralny

b)

pozycyjne miary skośności

:

-

relacja między średnią arytmetyczną i

dominantą,
- współczynniki skośności,

Podział miar

skośności

klasyczne

pozycyjne

absolutne:

•

moment trzeci

centralny –
m

3

(x)

względne:

•

moment trzeci

centralny
standaryzowany –
m

3

(t)

względne:
współczynniki
skośności – W

S

absolutne:

• pozycyjna
miara skośności,
np..

Me

Q

Q

2

3

1





Klasyczne miary skośności

Trzeci moment centralny M

3

(X)

- miara

mianowana, pozwala jedynie stwierdzić czy
skośność występuje i jaki ma kierunek

interpretacja uzyskanej wartości miary
skośności:

M

3

(X) = 0 - brak skośności

M

3

(X) > 0 - skośność prawostronna, tzn., że w

zbiorowości występuje przewaga jednostek o
wartościach cechy mniejszych od średniej

M

3

(X) < 0 - skośność lewostronna, tzn., że w

zbiorowości występuje przewaga jednostek o
wartościach cechy większych od średniej

-

szereg szczegółowy :

Trzeci moment centralny - m

3

(x) –

sposoby

obliczenia





N

x

x

x

m

N

i

i









1

3

3

)

(

- szereg rozdzielczy punktowy:





N

n

x

x

x

m

k

i

i

i











1

3

3

)

(

- szereg rozdzielczy przedziałowy:

N

n

x

i

x

m

k

i

i

o

x























1

3

3

)

(

Trzeci moment centralny standaryzowany
m

3

(t)

- miara niemianowana, pozwala określić

zarówno siłę, jak i kierunek skośności

)

(

)

(

)

(

3

3

3

x

S

x

m

t

m



interpretacja siły skośności:

m

3

(t)  (0 ; 0,34) - skośność słaba (mała)

m

3

(t)  <0,34 ; 0,67) - skośność średnia

(wyraźna)
m

3

(t)  <0,67 ; 1> - skośność silna (duża)

m

3

(t) > 1 - skośność bardzo silna (bardzo

duża)

interpretacja kierunku skośności:
m

3

(t) = 0 - brak skośności

m

3

(t) > 0 - skośność prawostronna

m

3

(t) < 0 - skośność lewostronna

Trzeci moment centralny

standaryzowany

Miara skośności wyrażona tą postacią

przyjmuje jedynie wartości z przedziału

<-1;1>

 

 

 

 

x

s

x

m

x

m

t

m

3

3

3

*

3





Pozycyjne miary skośności

Absolutna miara skośności M

s

(X) – miara

pozycyjna, pozwala określić jedynie czy skośność
występuje i jaki ma kierunek

)

(

)

(

x

D

x

x

M

s





Ms = 0 - brak skośności

Ms > 0 - skośność prawostronna

Ms < 0 - skośność lewostronna

)

(x

D

x 

)

(x

D

x 

)

(x

D

x 

Pozycyjna

miara

skośności:

-

miara

mianowana, pozwala jedynie określić czy w
dwóch środkowych ćwiartkach zbiorowości
występuje skośność i jaki ma kierunek

Me

Q

Q

2

3

1





interpretacja kierunku skośności:
- brak skośności,

tzn. że

kwartyl pierwszy i trzeci są tak samo oddalone od
mediany

- skośność prawostronna
tzn., że w zbiorowości występuje przewaga
jednostek o wartościach cechy mniejszych od
mediany

- skośność lewostronna tzn.,
że w zbiorowości występuje przewaga jednostek o
wartościach cechy większych od mediany

0

2

3

1







Me

Q

Q

0

2

3

1







Me

Q

Q

0

2

3

1







Me

Q

Q

Współczynnik skośności - W

s1

- miara

względna, pozwala określić zarówno siłę, jak i
kierunek skośności

)

(

)

(

)

(

1

x

S

x

D

x

x

W

s





interpretacja kierunku skośności:
W

s1

= 0 - brak skośności

W

s1

> 0 - skośność prawostronna

W

s1

< 0 - skośność lewostronna

interpretacja siły skośności:
W

s1

 (0 ; 0,34) - skośność słaba (mała)

W

s1

 <0,34 ; 0,67) - skośność średnia

(wyraźna)
W

s1

 <0,67 ; 1> - skośność silna (duża)

W

s1

> 1 - skośność bardzo silna (bardzo duża)

Pozycyjny współczynnik skośności - W

s2

-

miara względna, pozwala określić zarówno siłę,
jak i kierunek skośności

1

3

1

3

2

2

)

(

Q

Q

Me

Q

Q

x

W

s











interpretacja kierunku skośności:
W

s2

= 0 - brak skośności

W

s2

> 0 - skośność prawostronna

W

s2

< 0 - skośność lewostronna

interpretacja siły skośności:
W

s2

 (0 ; 0,34) - skośność słaba (mała)

W

s2

 <0,34 ; 0,67) - skośność średnia

(wyraźna)
W

s2

 <0,67 ; 1> - skośność silna (duża)

W

s2

> 1 - skośność bardzo silna (bardzo duża)

Koncentracja wartości cechy i jej

pomiar

Dwa sposoby rozumienia koncentracji:

-

kurtoza (poziom skupienia wartości

cechy wokół średniej arytmetycznej) –
m

4

(t),

-

nierównomierność rozłożenia globalnego

funduszu wartości cechy wśród jednostek
statystycznych badanej zbiorowości –
współczynnik koncentracji - k

Koncentracja jako kurtoza pozwala zbadać

skupienie

wartości

cechy

wokół

średniej

arytmetycznej, a tym samym pozwala zbadać

stopień spłaszczenia (lub wysmukłości) rozkładu

wartości cechy

Badanie

kurtozy

ma

największą

wartość

poznawczą w rozkładach symetrycznych.

Do badania kurtozy wykorzystuje się rozkład

normalny, który rządzi się regułą trzech odchyleń

standardowych.

)

(

)

(

x

S

x

x

x

S

x

typ









x

)

(x

S

x

)

(x

S

x

34,13
%

34,13
%

)

(

2 x

S

x

)

(

2 x

S

x

)

(

3 x

S

x

)

(

3 x

S

x

13,59
%

13,59
%

2,15%

2,15%

Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym
(brak skośności) tzn., że średnia dominanta i
mediana są sobie równe. W tym rozkładzie
najwięcej jednostek ma wartości cechy z
typowego obszaru zmienności:

Do badania kurtozy wykorzystuje się moment
czwarty centralny standaryzowany – m4(t). Jest to
miara klasyczna, niemianowana.

)

(

)

(

)

(

4

4

4

x

S

x

m

t

m



Interpretacja:
- koncentracja normalna tzn., że ok.
68% jednostek ma wartości cechy z typowego
obszaru zmienności; rozkład normalny
- koncentracja większa od normalnej
tzn., że więcej niż 68% jednostek ma wartości
cechy z typowego obszaru zmienności; rozkład
wysmukły (leptokurtyczny)
- koncentracja mniejsza od normalnej
- mniej niż 68% jednostek ma wartości cechy z
typowego

obszaru

zmienności;

rozkład

spłaszczony (platykurtyczny)

3

)

(

4



t

m

3

)

(

4



t

m

3

)

(

4



t

m

Czwarty moment centralny – sposoby obliczania:

-

szereg

szczegółowy

i

surowy

materiał

statystyczny:





N

x

x

x

m

N

i

i









1

4

4

)

(

- szereg rozdzielczy punktowy:





N

n

x

x

x

m

k

i

i

i











1

4

4

)

(

- szereg rozdzielczy przedziałowy:





N

n

x

x

x

m

k

i

i

i











1

4

4

)

(



Przykład:
Zbadać kurtozę rozkładu czasu dojazdu do
pracy (w min) pracowników pewnej firmy

<X

i0

– X

i1

)

n

i

45-55
55-65
65-75
75-85
85-95

40
50
60
30
20

Razem

200

Koncentracja jako nierównomierność

rozłożenia globalnego funduszu

wartości cechy

Globalny fundusz wartości cechy to

suma wartości badanej cechy

występujących u wszystkich jednostek

zbiorowości statystycznej.

W przypadku szeregu rozdzielczego

punktowego liczony jest on według wzoru:

a w przypadku szeregu przedziałowego
jako;

Badanie nierównomierności

(koncentracji) odbywa się przez

porównanie rozkładu tego funduszu i

rozłożenia jednostek statystycznych badanej

zbiorowości. Jeśli proporcje rozkładu

globalnego funduszu są odmienne niż

proporcje rozkładu jednostek statystycznych,

to występuje koncentracja w tym znaczeniu.

Badanie natężenia tak rozumianej

koncentracji może się odbywać graficznie –

przy wykorzystaniu krzywej Lorentza lub

analitycznie przy wykorzystaniu

współczynnika koncentracji

:

Poniższa tablica zawiera informacje dotyczące

struktury przedsiębiorstw woj. „D” według

wielkości zatrudnienia:

zatrudnienie

Liczba

przedsiębiorstw

1 -10

450

11 - 50

100

51 - 200

35

201 - 500

12

501 - 1000

3