© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

1

PODSTAWY AUTOMATYKI

PODSTAWY AUTOMATYKI

Prowadzący

Prowadzący

:

:

dr ing. Sebastian

dr ing. Sebastian

Kula

Kula

e-mail: [e-mail]

e-mail: [e-mail]

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w

Bydgoszczy

wykład II

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

2

zajęcia realizowane są w ramach

projektu pt. “Mechatronika

kierunkiem przyszłości –

dostosowanie oferty edukacyjnej

Uniwersytetu Kazimierza

Wielkiego do potrzeb rynku

pracy”, Działanie 4.1.1, Programu

Operacyjnego Kapitał Ludzki,

współfinansowanego ze środków

Europejskiego Funduszu

Społecznego”.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

3

Plan wykładu

• Modele układów dynamicznych:

-liniowe
-nieliniowe
-LTI (linear time invariant)
-LTV (linear time varying)

• Sposoby ich analizy:

-podstawowe równanie różniczkowe
-model w przestrzeni stanu

• Transmitancja operatorowa i widmowa.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

4

Modele układów

dynamicznych(1)

Układ dynamiczny to taki układ, czyli pewien

zbiór

powiązanych

ze

sobą

elementów

scharakteryzowa-ny

pewną

liczbą

wielkości

nazywanych zmiennymi, w którym conajmniej

jedna z tych zmiennych zmienia się w czasie.
Model matematyczny układu dynamicznego

jest

określony

jako

zbiór

równań

odzwierciedlających zachowanie układu z idealną

dokładnością albo z dużą dokładnością. Model

matematyczny nie jest przypisany do danego

układu dynamicznego. Układ dynamiczny może

być przedstawiony na wiele różnych sposobów i

dlatego

ma

wiele

różnych

modeli

matematycznych.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

5

Ze

względu

na

postać

charakterystyk

statycznych

elementów

występujących

w

układach automatyki dzieli się te układy na:

· Iiniowe (opisane liniowymi równaniami
algebraicznymi, różniczkowymi itp.)

· nieliniowe (opisane nieliniowymi równaniami
algebraicznymi, różniczkowymi itp.)

Modele układów

dynamicznych(2)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

6

Modele układów

dynamicznych(3)

Układy Iiniowe to takie układy w których ma
zastosowanie zasada superpozycji. Zasada
superpo-zycji

stanowi,

że

odpowiedź

wytwarzana

za

pomocą

jednoczesnego

stosowania

dwóch

różnych

funkcji

wymuszających jest sumą dwóch odpowiedzi
indywi-dualnych. Stąd, dla systemu liniowego,
odpowiedź na kilka wejść może być obliczona
przez zsumowanie pojedynczych wyników dla
poszczególnych wejść.
W praktyce analizy układów dynamicznych,
jeżeli wymuszenie i skutek są proporcjonalne, to
sugeruje, że zasada superpozycji jest spełniona
i układ można uznać za liniowy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

7

Modele układów

dynamicznych(4)

Układ spełnia zasadę superpozycji, jeżeli
odpowiedź na wymuszenie

będące kombinacją liniową wymuszeń u

1

, u

2

, ...

u

m

, równa się kombinacji liniowej

odpowiedzi y

1

, y

2

, ... y

m

, przy czym y

i

jest

odpowiedzią układu na wymuszenie u

i

.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

8

Modele układów

dynamicznych(5)

Zasada superpozycji, schemat blokowy:

W praktyce wiele elementów spełnia warunek
liniowości w ograniczonym zakresie pracy. Dla
małych odchyleń od punktów pracy statycznej
w

stanach

dynamicznych

nieliniową

charakterystykę statyczną elementu można
zastąpić prostą.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

9

Przykład układu liniowego:

Model pojazdu jednoosiowego pokonującego

próg o znanym profilu opisanym funkcją

czasu.

Modele układów

dynamicznych(6)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

10

Modele układów

dynamicznych(7)

Założono,

że

model

przyczepy

został

sporządzony tak iż zawieszenie zawiera liniowy
element

sprężysty

(odkształcenie

wprost

proporcjonalne do siły) i równolegle z nim
połączony

wiskotyczny

element

tłumiący

drgania (siła tłumiąca wprost proporcjonalna do
prędkości).
Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
w ruchu postępowym siła bezwładności masy
jest równa sumie wszystkich sił zewnętrznych
działających na tę masę w kierunku przyjętym
za dodatni kierunek jej ruchu, tj. w górę.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

11

Modele układów

dynamicznych(8)

Z tego wynika że:

gdzie kolejne człony tak otrzymanego liniowego
równania różniczkowego licząc od lewej strony
równania wyrażają:

- siłę bezwładności masy pojazdu, siła
ta

jest

iloczynem

masy

i

przyspieszenia

pionowego

działającego na tę masę

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

12

Modele układów

dynamicznych(9)

- siłę wiskotycznego tłumienia tłumika
drgań łączącego masę z podłożem, siła
ta jest iloczynem stałej tłumienia
tłumika drgań i różnicy prędkości
obydwóch końców tłumika
-

siłę

odkształcenia

sprężystego

sprężyny łączącej masę z podłożem,
siła

ta

jest

iloczynem

stałej

sprężystości

sprężyny

i

różnicy

przemieszczeń

obydwóch

końców

sprężyny

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

13

Modele układów

dynamicznych(10)

Równanie sumy sił po przeniesieniu na jedną
stronę:

można przekształcić do klasycznej postaci

w której poszukiwane przebiegi pionowego
wychylenia, prędkości i przyspieszenia masy
pojazdu występują na lewej stronie a zadane (i
znane) przebiegi pionowych przemieszczeń
punktowego koła przemieszczającego się ze
stałą prędkością po podłożu o znanym profilu
występują na prawej stronie.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

14

Modele układów

dynamicznych(11)

Układy dynamiczne automatyki, które nie
spełniają

zasady

superpozycji,

nazywać

będziemy nieliniowym.

Krzywe charakterystyczne dla różnych typów

nieliniowości.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

15

Przykłady równań będących modelami układów
nieliniowych:

Chociaż wiele zjawisk fizycznych jest często
przedstawianych poprzez równania liniowe, to w
większości

przypadków

ich

rzeczywistych

charakter nie jest w pełni liniowy.

Modele układów

dynamicznych(12)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

16

Modele układów

dynamicznych(13)

W

praktyce

wiele

układów

elektromechanicznych,

hydraulicznych,

pneumatycznych, itd. wywołuje i wy-maga
nieliniowych zależności pomiędzy swoimi zmien-
nymi. Na przykład, wyjście układu może się
nasycić dla dużych sygnałów wejściowych.
Może być nieczu-łość, która skutkuje małymi
sygnałami. Nieliniowość kwadratowa może
występować na przykład w amorty-zatorach
wykorzystywanych w układach fizycznych.
Charakterystyka może być liniowa przy niskiej
prędkości działania, ale może stać się nieliniowa
przy wysokich prędkościach, a siła tłumienia
może być proporcjonalna do kwadratu prędkości
pracy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

17

Modele układów

dynamicznych(14)

Przykład układu nieliniowego:

Wahadło oscylacyjne, L-długość, M-masa oraz

zależność momentu obrotowego T od kąta.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

18

Modele układów

dynamicznych(15)

Linearyzacja układów nieliniowych. W
automatyce normalny tryb pracy układu może
się odbywać wokół punktu równowagi, a za
sygnały mogą być uznane małe sygnały
oscylujące wokół równowagi. (Należy podkreślić,
że istnieje wiele wyjątków od takiej sytuacji.)
Jednakże, jeśli system działa w obrębie punktu
równowagi i jeśli sygnały związane są małe, to
możliwe

jest

aproksymowanie

układu

nieliniowego modelem liniowym. Taki model
liniowy jest równoważny modelowi nieliniowemu
w ograniczonym zakresie działania. Taki model
zlinearyzowany (LTI) jest bardzo ważny w
automatyce.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

19

Modele układów

dynamicznych(16)

Stosowane są dwie metody linearyzacji. Jeżeli
tak jak w układzie istnieje punkt pracy od
którego stan nie powinien się znacznie oddalać
to

stosujemy

metodę

stycznej.

Jeżeli

natomiast przewidujemy pracę w pewnym
przedziale zmienności zmiennej niezależnej to
stosujemy metodę siecznej.

Interpretacja
linearyzacji

metodą

stycznej.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

20

Modele układów

dynamicznych(17)

Metoda stycznej polega na przybliżeniu
funkcji nieliniowej linią prostą styczną do niej w
przyjętym punkcie nominalnym. Jeżeli zależność
nieliniowa podana jest w formie analitycznej to
stosujemy rozwinięcie funkcji w szereg Taylora
wokół przyjętego punktu pracy i uwzględniamy
tylko dwa pierwsze wyrazy:

Następnym krokiem w zadaniach automatyki
jest

przesunięcie

początku

układu

współrzędnych do punktu styczności przez
podstawienie:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

21

Modele układów

dynamicznych(18)

Metoda siecznej polega na zastąpieniu
krzywej

w

zadanym

przedziale

prostą

przecinającą krzywą w wybranych dwóch
punktach. Przy funkcji podanej analitycznie
mamy:

Interpretacja
linearyzacji

metodą

siecznej.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

22

Modele układów

dynamicznych(19)

Układy dynamiczne liniowe stacjonarne o
parametrach skupionych LTI (linear time
invariant)

-

opisywane

są

równaniami

różniczkowymi zwykłymi, liniowymi o stałych
współczynnikach.

Brak jest przykładów rzeczywistych układów
dynamicznych LTI. LTI to model wystarczający
dla

szerokiej

grupy

typowych

obiektów

przemysłowych w założonym zakresie pracy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

23

Modele układów

dynamicznych(20)

LTV (linear time-varying) - układy, które są
reprezentowane przez równania różniczkowe,
których współczynniki są funkcjami czasu
nazywa się układami liniowo zmiennymi w
czasie. Na przykład układ kontroli systemu
lotów statków kosmicznych będzie układem LTV
liniowym zmienny w czasie. (Masa statku
kosmicznego zmienia się co jest spowodowane
zużyciem paliwa.)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

24

Obiekty

układów

dynamicznych

o

parametrach skupionych - np. opisywane

równaniami

różniczkowymi

zwyczajnymi.

Parametry obiektu nie zależą od współrzędnych

przestrzennych.

Obiekty

układów

dynamicznych

o

parametrach rozłożonych - np. opisywane

równaniami

różniczkowymi

cząstkowymi.

Parametry obiektu zależą od współrzędnych

przestrzennych. Na przykład tarcie w układach

przemieszczeń liniowych - obrabiarki CNC.

Modele układów

dynamicznych(21)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

25

Sposoby ich analizy

Układy automatyki i ich elementy są układami

dynamicznymi.

Równania

układów

dynamicznych opisujące ich funkcjonowanie

wynikają z ogólnych praw fizyki. Wykorzystanie

tych praw prowadzi najczęściej do równań

różniczkowych zwyczaj-nych. Najbardziej

ogólnym prawem dla układów o różnorodnej

naturze

(mechanicznych,

elektrycznych,

hydraulicznych, pneumatycznych itp.) jest

zasada Hamiltona, z której wynikają równania

Lagrange'a o postaci:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

26

Równanie różniczkowe(1)

przy czym:

E

k

- energia kinetyczna układu,

E

p

- energia potencjalna,

P- moc strat w układzie,

x

n

- współrzędna uogólniona,

dx

n

/dt - prędkość uogólniona,

f

n

- pobudzenie związane ze współrzędną

uogólnioną

Współrzędnymi uogólnionymi są:

· przesunięcie x lub kąt obrotu a w układach

mechanicznych

·

ładunek

elektryczny

q

w

układach

elektrycznych,

· objętość V w układach pneumatycznych i

hydraulicznych.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

27

Sygnałami

wejściowymi

(pobudzeniami,

wymuszenia-mi) w wymienionych układach są,

odpowiednio: siła f, moment obrotowy M,

napięcie u, ciśnienie p.
Elementami

magazynującymi

energie

kinetyczną, są: poruszające się ciało o masie m

w

układach

mechanicznych,

cewka

o

indukcyjności L w układach elektrycznych,

bezwładność m

p

cieczy i gazów w układach

hydraulicznych i pneumatycznych.
Elementami

magazynującymi

energie

potencjalną

są:

elementy

sprężyste

sprężystości C

m

lub C

r

, kondensator o

pojemności C w układach elektrycznych,

napełniany zbiornik, komora pneumatyczna o

określonej ściśliwości.

Równanie różniczkowe(2)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

28

Równanie różniczkowe(3)

Elementami powodującymi straty energii są:

tarcie mechaniczne, rezystancja elektryczna,

opory przepły-wu cieczy i gazów.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

29

Równanie różniczkowe(4)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

30

Przykład: równanie dynamiki dla czwórnika RLC

Energią kinetyczną gromadzoną w cewce o

indukcyjności

L

jest

energia

pola

magnetycznego określona zależnością

Równanie różniczkowe(5)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

31

Energia pola elektrostatycznego kondensatora

jest energią potencjalną.

Moc strat wyraża się wzorem

na tej podstawie otrzymujemy

a po uwzględnieniu

Równanie różniczkowe(6)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

32

Równanie różniczkowe liniowe o stałych

parametrach

opisujące

dynamikę

stacjonarnego układu liniowego z jednym

sygnałem wejściowym u(t) i jednym sygnałem

wyjściowym y(t) nazywa się równaniem

wejście- wyjście takiego układu. Uzyskuje się

je z zasady równowagi dynamicznej, odnoszącej

się do rozpatrywanego układu.

Ogólna postać równania różniczkowego

liniowego.

Równanie różniczkowe(7)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

33

Przykład: równanie wejścia - wyjścia czwórnika

RC

Równanie równowagi napięć wynikające z KVL:

Prąd płynący przez kondensator C:

Równanie różniczkowe(8)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

34

Równanie różniczkowe(9)

Po podstawieniu otrzymujemy następującą

postać równania wejście - wyjście (rów.

różniczkowe I rzędu):

przy czym:

Jeżeli jako sygnał wyjściowy przyjmiemy i(t) to

równanie wejście - wyjście ma postać:

lub

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

35

Równanie różniczkowe(10)

Przykład: równanie wejście - wyjście układu

masa - sprężyna

Sygnałem wejściowy (wymuszeniem) jest siła

f(t), a sygnałem wyjściowym (odpowiedzią)

przesunięcie x(t). Na podstawie zasad fizyki

mamy:

Jest to równanie wejście - wyjście różniczkowe II

rzędu o współczynnikach:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

36

Model w przestrzeni stanu(1)

Do opisu własności dynamicznych powszechnie

jest stosowany opis w przestrzeni stanu.

Schemat układu blokowy można przedstawić

jak na rysunku:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

37

Model w przestrzeni stanu(2)

Gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
u(t)- wektor sterowania
x(t)- wektor zmiennych stanu
y(t)- wektor sygnałów wyjściowych
a- macierz stanu
b- macierz wejść
c- macierz wyjść
d- macierz transmisyjna

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

38

Model w przestrzeni stanu(3)

Najprostszym układem dynamicznym jest

układ stacjonarny, liniowy, o jednym magazynie

energii -jednej zmiennej stanu x i jednej

zmiennej wejściowej u. Podstawowym modelem

matematycznym takiego układu jest równanie

stanu:

W

zadaniach

automatyki

najczęściej

rozpatruje się wpływ sterowania na stan przy

starcie

układu

z

zerowych

warunków

początkowych.

Zmienna

dostępna

dla

obserwatora y może zależeć od stanu i

sterowania. Opisujemy to równaniem wyjścia:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

39

Model w przestrzeni stanu(4)

Układ posiadający n magazynów energii i

podlegający jednemu sterowaniu u można opisać

układem n równań pierwszego stopnia:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

40

Model w przestrzeni stanu(5)

i równaniem wyjścia:

lub zwięźlej w zapisie macierzowo-wektorowym:

Przykład:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

41

Model w przestrzeni stanu(6)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

42

Transmitancja operatorowa i

widmowa(1)

Transformacja

Laplace'a

przyporządkowuje

danej funkcji czasu f(t) funkcję zmiennej

zespolonej F(s) określonej wzorem:

gdzie s - zmienna zespolona.

Funkcję F(s) = L{f(t)} nazywa się transformatą

Laplace'a funkcji f(t).

Przekształcenie Laplace'a jest przekształceniem

liniowym, co oznacza, że:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

43

Transmitancja operatorowa i

widmowa(2)

Przykłady obliczania transformaty Laplace'a

podstawowych sygnałów:

Skok jednostkowy

Obliczenia

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

44

Transmitancja operatorowa i

widmowa(3)

Sygnał sinusoidalny

Obliczenia

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

45

Transmitancja operatorowa i

widmowa(4)

Transformaty Laplace'a niektórych funkcji:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

46

Transmitancja operatorowa i

widmowa(5)

Przykład obliczeń TL dla obwodu RL.

Równanie różniczkowe

pierwszego rzędu:

W chwili t=0 obiekt ten został poddany

działaniu skokowo zmiennego napięciowego

sygnału wejściowego o przyroście równym 6 V.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

47

Transmitancja operatorowa i

widmowa(6)

Warunek początkowy dla stanu tego obwodu w

chwili t = 0 wynosi:

Sygnałem wyjściowym z tego obiektu jest

przebieg natężenia prądu w obwodzie.

Po

podstawieniu

wartości

liczbowych

niejednorodne

równanie

różniczkowe

z

warunkiem początkowym i(0)=0.5 przybiera

postać:

Wyznaczamy

Transformatę

Laplace'a

transformując

obie

strony

równania

różniczkowego.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

48

Transmitancja operatorowa i

widmowa(7)

Obliczenia

TL

Ostatecznie

transformata

Laplace’a

poszukiwanego równania sygnału wyjściowego

wynosi:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

49

Transmitancja operatorowa i

widmowa(8)

Posługując

się

twierdzeniem

dotyczącym

granicznej o wartości końcowej

można z równania transformaty bezpośrednio

obliczyć wartość końcową w funkcji czasu

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

50

Równanie wejście - wyjście układu ma postać:

Po

poddaniu

powyższego

równania

przekształceniu

Laplace'a

przy

założeniu

zerowych warunków początkowych:

Przekształci się ono w równanie operatorowe o
postaci:

Transmitancja operatorowa i

widmowa(9)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

51

Transmitancja operatorowa i

widmowa(10)

Stąd:

Ze wzorów wynika definicja funkcji
operatorowej:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

52

Transmitancja operatorowa i

widmowa(11)

Funkcja

operatorowa

G(s),

nazywana

transmitancją operatorową obiektu liniowego,
jest to stosunek transformaty Laplace'a sygnału
wyjściowego (odpowiedzi) do transformaty
Laplace'a sygnału wejściowego (wymuszenia)
przy zerowych warunkach początkowych.

Transmitancja (funkcja) operatorowa nie zależy
od natury fizycznej obiektu, określa ona jedynie
związki

analityczne

między

transformatą

sygnału wejściowego U(s) i transformatą
sygnału wyjściowego Y(s).

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

53

Transmitancja operatorowa i

widmowa(12)

Jeżeli

warunki

początkowe

równania

różniczkowego opisującego własności obiektu w
dziedzinie funkcji czasu są zerowe i obiekt jest
opisany równaniem różniczkowym liniowym to
transmitancja operatorowa nie zależy od
rodzaju ani od przebiegu sygnałów i jest równie
kompletnym opisem własności dynamicznych
członu jak równanie różniczkowe jednorodne
opisujące własności tego członu w dziedzinie
funkcji czasu.
Mnożąc transmitancję operatorową członu G(s)
przez transformatę sygnału wejściowego U(s)
otrzymuję

się

transformatę

sygnału

wyjściowego Y(s)=.G(s)* U(s).

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

54

Transmitancja operatorowa i

widmowa(13)

Przykład

wyznaczania

transmitancji

operatorowej.

Model pojazdu jednoosiowego pokonującego

próg o różnej postaci w chwili t = 0 (impuls

szpilkowy, skok jednostkowy, przebieg liniowo

narastający, przebieg harmoniczny)

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

55

Transmitancja operatorowa i

widmowa(14)

Obiekt opisuje zwyczajne równanie różniczkowe
drugiego rzędu, w którym funkcje pionowego
wychylenia masy m pojazdu będące funkcjami
sygnału wyjściowego występują na lewej
stronie a zadane funkcje czasu wymuszające
pionowe drgania podłoża i będące zmiennym
sygnałem wejściowym f(t) występują na prawej
stronie równania.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

56

Transmitancja operatorowa i

widmowa(15)

Po wprowadzeniu do równania ω

0

lub T

2

oraz D lub T

1

Zapis równania różniczkowego przybiera inną,
w pełni równoważną.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

57

Transmitancja operatorowa i

widmowa(16)

lub

W

tak

otrzymanym

zapisie

równań

różniczkowych

kompletne

własności

dynamiczne tego przetwornika drgań opisują
tylko dwie wielkości niezależne od rodzaju
sygnałów wejściowych i wyjściowych: częstość
kątowa nie tłumionych drgań własnych ω

0

lub

stała czasowa T

2

oraz stopień tłumienia drgań D

lub stała czasowa T

1

.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

58

Transmitancja operatorowa i

widmowa(17)

Przy

założeniu

zerowych

warunków

początkowych po dokonaniu Transformaty
Laplace'a otrzymuje się następujące równania:

A z nich transmitancję operatorową G(s):

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

59

Transmitancja operatorowa i

widmowa(18)

Odpowiedź układu
na impulsowy sygnał
wejściowy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

60

Transmitancja operatorowa i

widmowa(19)

Odpowiedź układu
na skokowy sygnał
wejściowy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

61

Transmitancja operatorowa i

widmowa(20)

Odpowiedź układu
na liniowo narastający
sygnał wejściowy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

62

Transmitancja operatorowa i

widmowa(21)

Odpowiedź układu
na harmoniczny
sygnał wejściowy.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

63

Transmitancja operatorowa i

widmowa(22)

Przykład:

Jeżeli założymy, że q to wejście a q

2

wyjście to

funkcja przejścia ma postać:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

64

Transmitancja operatorowa i

widmowa(23)

W układach automatyki mogą wystąpić trzy
elementarne połączenia członów: szeregowe,
równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego.

Szeregowe połączenie członów i jego

transmitancja zastępcza.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

65

Transmitancja operatorowa i

widmowa(24)

Równoległe połączenie członów i jego

transmitancja zastępcza.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

66

Transmitancja operatorowa i

widmowa(25)

Połączenie członów w układzie sprzężenia

zwrotnego i jego transmitancja zastępcza.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

67

Transmitancja operatorowa i

widmowa(26)

Jeżeli na wejście obiektu liniowego opisanego
równaniem wejście - wyjście podamy sygnał
sinusoidalny

to

po

przekształceniach

otrzymamy:

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

68

Transmitancja operatorowa i

widmowa(27)

Wielkość zespoloną G(jω), określoną przez
stosunek sinusoidalnego sygnału wejściowego
zapisanego

w

postaci

zespolonej

do

sinusoidalnego

sygnału

wyjściowego

zapisanego w postaci zespolonej przy zerowych
warunkach

początkowych

nazywa

się

transmitancją

widmową

rozpatrywanego

obiektu.
Można interpretować transmitancję widmową
jako powstałą z transmitancji operatorowej G(s)
przez podstawienie zamiast zmiennej s,
zmiennej jω. Gdzie j jest jednostką urojoną, a ω
jest liczbą rzeczywistą częstotliwością kątową
(pulsacją) mierzoną w [rad/s].

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

69

Transmitancja operatorowa i

widmowa(28)

Transmitancja widmowa określa sposób obróbki
w danym bloku sygnału harmonicznego o
pulsacji ω. Jeżeli wymuszenie ma postać
u(t)=A

1

(t)sin(ωt) to przebieg odpowiedzi ma

postać y(t)=A

2

(t)sin[(ωt)+φ(ω)], zatem moduł

transmitancji widmowej M=A

2

(ω)/A

1

(ω) określa

wzmocnienie sygnałów harmonicznych, a
argument

φ(ω)

przesunięcie

fazy

tych

sygnałów.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

70

Transmitancja operatorowa i

widmowa(29)

Zachodzą relacje:

Iloczynom

modułów,

występującym

w

szeregowym połączeniu członów odpowiadają
sumy charakterystyk logarytmicznych.

© UKW, dr ing. Sebastian Kula 2010

Podstawy Automatyki

71

•Thank you !

•Vielen Dank !

•Cпасибо !

•Dziękuje !