Niepewność

pomiaru

WWWWWWWWWWWWWWW

WYRAŻANIE

NIEPEWNOŚCI

POMIARU

PRZEWODNIK

BIPM

Międzynarodowe Biuro Miar

IEC

Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna

IFCC

Międzynarodowa Federacja Chemii Klinicznej

ISO

Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna

IUPAC

Międzynarodowa Unia Chemii Czystej

i Stosowanej

IUPAP

Międzynarodowa Unia Fizyki Teoretycznej

i Stosowanej

OIML

Międzynarodowa Organizacja Metrologii

Prawnej

Główny Urząd Miar

Guide to the expression of
uncertainty in measurement

Międzynarodowy

dokument

wydany przez BIPM, IEC, IFCC,
ISO, IUPAC, IUPAP, OIML
w 1993 i 1995 roku

 

niepewność pomiaru

parametr

związany

z

wynikiem

pomiaru,

charakteryzujący

rozrzut

wartości, które można w uzasadniony
sposób przypisać wielkości mierzonej

 

niepewność standardowa

niepewność wyniku pomiaru wyrażona
w formie odchylenia standardowego

 

i

x

u

złożona niepewność

standardowa

niepewność standardowa wyniku pomiaru
określana,

gdy

wynik

ten

jest

otrzymywany z wartości pewnej liczby
innych wielkości, równa pierwiastkowi
kwadratowemu

z

sumy

wyrazów,

będących wariancjami lub kowariancjami
tych innych wielkości z wagami zależnymi
od tego jak wynik pomiaru zmienia się
wraz ze zmianami tych wielkości
 

 

y

u

c

Prawo propagacji niepewności

 

 























N

i

i

i

x

u

x

f

y

u

1

2

2

2

c





j

i

N

i

N

i

j

j

i

x

x

u

x

f

x

f

,

2

1

1

1

 



















 

 niepewność rozszerzona

wielkość określająca przedział wokół
wyniku pomiaru, od którego to przedziału
oczekuje się, że obejmie dużą część
rozkładu wartości, które w uzasadniony
sposób

można

przypisać

wielkości

mierzonej

U

 

y

u

k

U

c





k – współczynnik
rozszerzenia

u

c

(y) – złożona niepewność standardowa

m = 100,02147

(35)

g

Zapis niepewności pomiaru

m = 100,02147 g ±

0,69 mg

dla poziomu ufności 95 %

Probabilistyczny model niepewności

pomiaru

- rachunek zmiennych
losowych

- statystyka matematyczna

zmienna losowa (ciągła)

zmienna, która może przyjmować
dowolną wartość ze skończonego lub
nieskończonego

przedziału

określonego zbioru i z którą związany
jest rozkład prawdopodobieństwa

Parametry zmiennej losowej

 









d





g



- wartość oczekiwana

 - odchylenie standardowe



  











d

2

2







g

Rozkład normalny

3

2

1

-1

-2

-3







g(



)



Rozkład

Studenta

-4

-2

2

4

v =


v =
10

v =
3

v=
1

 

p

v

f

t

,



t

t

v

t(v)

v

t(v)

v

t(v)

1

12,7062

19

2,0930

44

2,0154

2

4,3027

20

2,0860

46

2,0129

3

3,1824

21

2,0796

48

2,0106

4

2,7764

22

2,0739

50

2,0086

5

2,5706

23

2,0687

55

2,0040

6

2,4469

24

2,0639

60

2,0003

7

2,3646

25

2,0595

65

1,9971

8

2,3060

26

2,0555

70

1,9944

9

2,2622

27

2,0518

80

1,9901

10

2,2281

28

2,0484

90

1,9867

11

2,2010

29

2,0452

100

1,9840

12

2,1788

30

2,0423

120

1,9799

13

2,1604

32

2,0369

150

1,9759

14

2,1448

34

2,0322

200

1,9719

15

2,1314

36

2,0281

250

1,9695

16

2,1199

38

2,0244

300

1,9679

17

2,1098

40

2,0211

400

1,9659

18

2,1009

42

2,0181

500

1,9647

Wartości kwantyli rozkładu Studenta dla poziomu

ufności 95 %

Rozkład
prostokątny

a



a



3

a





Rozkład
trójkątny

a

a





6

a





Rozkład
trapezowy

a

a





b

b

6

2

2

b

a 





przedział ufności

najmniejszy przedział pomiędzy
dwoma kwantylami rozkładu dla
wartości wielkości mierzonej,
które wyznaczają poziom ufności
95 %

p=95 %

Przedział ufności

I

(y) = [ y

low

, y

high

]

y

low

y

high

 



1

low



G

y





p

G

y









1

high

Granice przedziału ufności

kwantyl rzędu



kwantyl rzędu



+ p

p = 95
%

Kryteria matematyczne dla przedziału

ufności





 

min

1

1















G

p

G

 













p

G

g

G

g













1

1

Wielkość wyjściowa:





N

x

x

f

y

,

,

1





Matematyczny model wielkości

mierzonej

x

i

- wielkości wejściowe





N

Δ

N

Δ

x

x

x

x

f

y







ˆ

,

,

ˆ

1

1



i

Δ

i

i

x

x

x



 ˆ

 

n

N

i

i

Δ

i

i

Δ

N

i

i

x

x

y

n

x

x

y

y

y





































1

1

1

ˆ



 

2

dla

0





















n

x

x

y

n

i

Δ

i

i

Δ

N

i

i

x

x

y

y

y













1

ˆ

Równanie wielkości mierzonej

i

i

x

y

c







N

Δ

N

Δ

x

c

x

c

y

y











1

1

ˆ





N

x

x

f

y

ˆ

,

,

ˆ

ˆ

1





N

Δ

N

Δ

Δ

x

c

x

c

y

y

y













1

1

ˆ

Wielkość wejściowa



i

– wartość oczekiwana



i

– odchylenie standardowe

g

i

(



i

) – funkcja gęstości prawdopodobieństwa



i



i



i

g

i

(



i

)



j



j



j

g

j

(



j

)

Wielkość wyjściowa





N

f







,

,

1





2

2

2

1

2

1

2

N

N

c

c















 

 

 

N

N

g

g

g















1

1

g(



)







Założenia modelu

matematycznego

1. Wielkość wyjściowa funkcją liniową

wielkości wejściowych

2. Wielkości wejściowe zmiennymi losowymi

niezależnymi

3. Symetryczne rozkłady wielkości

wejściowych:

Studenta, normalny, prostokątny,

trójkątny, trapezowy

y

Symetryczny przedział ufności

I(y)

 





U

y

U

y

y

I







,

p=95 %

U

U

y

Niepewność rozszerzona dla poziomu

ufności 95 %

 

%

95

d











p

g

U

y

U

y





p=95 %

U

U

g(



)



 

 

 

N

N

g

g

g













...

1

1

 

 

  



i

i

i

i

i

i

i

i

i

g

g

g

g













d

1

1

1





















Splot funkcji gęstości

prawdopodobieństwa

 

 





PN

g

g



Funkcja gęstości wielkości

wyjściowej

 













d

2

exp

6

2

1

3

3

2

PN





























r

r

r

g

Funkcja gęstości rozkładu typu PN

N

P







r

Parametr rozkładu typu PN

r =1

r =2

r =3

r =4

r =5

r

=6

r

=8

r

=10

Rozkład typu PN

 

p

r

f

k

,

PN



Kwantyl rozkładu typu PN

1,6

1,65

1,7

1,75

1,8

1,85

1,9

1,95

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

k

r

p = 95 %

 

p

r

f

k

,

PN



r

k

PN

r

k

PN

r

k

PN

r

k

PN

r

k

PN

r

k

PN

0

1,9600

2

1,8102

4

1,7070

6

1,6720 8

1,6575 10 1,6508

0,1 1,9600 2,1 1,8016 4,1 1,7043 6,1 1,6710 8,1 1,6571 11 1,6488
0,2 1,9598 2,2 1,7936 4,2 1,7017 6,2 1,6700 8,2 1,6566 12 1,6474
0,3 1,9593 2,3 1,7860 4,3 1,6993 6,3 1,6690 8,3 1,6562 13 1,6464
0,4 1,9580 2,4 1,7788 4,4 1,6970 6,4 1,6681 8,4 1,6558 14 1,6457
0,5 1,9553 2,5 1,7721 4,5 1,6948 6,5 1,6672 8,5 1,6554 15 1,6452
0,6 1,9510 2,6 1,7657 4,6 1,6928 6,6 1,6664 8,6 1,6550 16 1,6448
0,7 1,9449 2,7 1,7598 4,7 1,6908 6,7 1,6656 8,7 1,6546 17 1,6446
0,8 1,9371 2,8 1,7541 4,8 1,6889 6,8 1,6648 8,8 1,6543 18 1,6444
0,9 1,9278 2,9 1,7488 4,9 1,6871 6,9 1,6641 8,9 1,6539 19 1,6443

1

1,9174

3

1,7438

5

1,6854

7

1,6634 9

1,6536 20 1,6443

1,1 1,9063 3,1 1,7391 5,1 1,6838 7,1 1,6627 9,1 1,6532 30 1,6446
1,2 1,8948 3,2 1,7347 5,2 1,6822 7,2 1,6620 9,2 1,6529 40 1,6449
1,3 1,8831 3,3 1,7305 5,3 1,6807 7,3 1,6614 9,3 1,6526 50 1,6451
1,4 1,8716 3,4 1,7266 5,4 1,6793 7,4 1,6608 9,4 1,6523 60 1,6452
1,5 1,8603 3,5 1,7228 5,5 1,6780 7,5 1,6602 9,5 1,6521 70 1,6453
1,6 1,8493 3,6 1,7193 5,6 1,6767 7,6 1,6596 9,6 1,6518 80 1,6453
1,7 1,8388 3,7 1,7160 5,7 1,6754 7,7 1,6591 9,7 1,6515 90 1,6453
1,8 1,8288 3,8 1,7128 5,8 1,6742 7,8 1,6585 9,8 1,6513 100 1,6454
1,9 1,8192 3,9 1,7098 5,9 1,6731 7,9 1,6580 9,9 1,6510

 1,6454

Kwantyl rozkładu typu PN dla poziomu ufności 95 %

Niepewność rozszerzona

   



















N

i

i

y

u

k

v

t

k

U

1

2

N

PN

k

PN

r

u

do

wartości

k

PN

r

u

do wartości

k

PN

r

u

do

wartości

1,96

0,5090

1,85

1,6410

1,74

3,1930

1,95

0,6985

1,84

1,7380

1,73

3,4410

1,94

0,8240

1,83

1,8390

1,72

3,7300

1,93

0,9280

1,82

1,9460

1,71

4,0740

1,92

1,0220

1,81

2,0600

1,70

4,4925

1,91

1,1110

1,80

2,1820

1,69

5,0235

1,90

1,1980

1,79

2,3135

1,68

5,7350

1,89

1,2840

1,78

2,4560

1,67

6,7760

1,88

1,3700

1,77

2,6120

1,66

8,5975

1,87

1,4580

1,76

2,7845

1,65



1,86

1,5480

1,75

2,9765

Wartości współczynnika rozszerzenia dla poziomu

ufności 95 %

Iloraz udziału

 

 

 

y

u

y

u

y

u

r

i

i

u

2

2

c





 

y

u

i

największy udział wielkości wejściowej
o rozkładzie prostokątnym

Iloraz

udziału

Współczynnik

rozszerzenia

0  r

u

< 1

k

PN

= k

N

1  r

u

 10

k

PN

= k

T

r

u

 10

k

PN

= k

P

Przybliżenie wartości współczynnika

rozszerzenia k

PN

k

N

= 1,96 dla p = 95 %

k·u

3

2

k·u

1

-1

-2

-3

p

p

a

a

k·
u

k·
u

b

b









p

r

r

r

k











1

2

1

1

3

2

T

b

a

b

a

r







1,6

1,65

1,7

1,75

1,8

1,85

1,9

1,95

0

2

4

6

8

10

12

k

T

r

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu

trapezowego

p = 95 %

k

T

= 1,9  1,65

a

k·
u

a

k·u

p

p

k

3

P



k

P

= 1,65 dla p = 95 %

Symulacja Monte Carlo

 

X

f

Y 



1

x

N

x

y

Symulacja Monte Carlo





N

x

x

f

y

,

,

1





1. Przyjęcie modelu matematycznego określającego
relacje pomiędzy wielkościami wejściowymi
a wielkością wyjściową

Symulacja Monte Carlo

2. Przyjęcie rozkładów dla wielkości wejściowych



i



i



i

g

i

(



i

)



j



j



j

g

j

(



j

)

wielkość
wejściowa x

i

wielkość
wejściowa x

j

Symulacja Monte Carlo

3. Wybór liczby próbkowania – M

6

10



M

Symulacja Monte Carlo

4. Próbkowanie losowe wartości wielkości
wejściowych



i



i



i

g

i

(



i

)



j



j



j

g

j

(



j

)

wielkość
wejściowa x

i

wielkość
wejściowa x

j

x

i,

r

x

j,r

Symulacja Monte Carlo

5. Obliczenie wartości wielkości wyjściowej





r

N

r

r

x

x

f

y

,

,

1

,

,



Symulacja Monte Carlo

6. Sortowanie wartości wielkości wyjściowej
zgodnie z niemalejącym porządkiem





 





1

1









r

r

r

y

y

y

Symulacja Monte Carlo

7. Wyznaczenie skumulowanego prawdopodobieństwa

M

r

p

r

5

,

0





Symulacja Monte Carlo

8. Wyznaczenie dystrybuanty wielkości wyjściowej

)

(

2

/

1

)

(

ˆ

)

(

)

1

(

)

(

r

r

r

y

y

M

y

M

r

G

















 





1







r

r

y

y



Symulacja Monte Carlo

9. Wyznaczenie przedziału ufności

 













p

G

g

G

g













1

1

ˆ

ˆ





 





1

1

ˆ

ˆ









G

p

G

= min

 









p

G

G

y

I













1

1

ˆ

,

ˆ

)

(

Symulacja Monte Carlo

10. Wyznaczenie estymaty wielkości wyjściowej







M

r

r

y

M

y

1

1

ˆ

Symulacja Monte Carlo

11. Wyznaczenie niepewności standardowej















M

r

r

y

y

M

y

u

1

2

2

ˆ

1

1

)

ˆ

(

Zapis wyniku pomiaru

I(V) = [0.98,
1.09] V

V = 1.02
V

u(V ) = 0.03
V

Zapis wyniku pomiaru

I(V) = [0.983, 1.088]
V

V = 1.024
V

u(V ) =
0.028 V