1

Wykład 4

Ścinanie

Shear

2

Naprężenia główne

Elementy prętowe – płaski stan odkształcenia,

naprężenia, koło Mohra

bI

VS

2

2

2

2

y

x

y

x

2

,

1







































3

Trajektorie naprężeń głównych

























 













2

)

2

(

tg

2

2

0

2

2

x

x

2

,

1

y

4

Naprężenia główne w osi obojętnej

Koło naprężeń Mohra



















2

1

x

y

0

0

5

Trajektorie naprężeń

Trajektorie naprężeń po zarysowaniu
Trajektorie naprężeń w fazie II oznaczają nachylenie

krzyżulców ściskanych pod kątem 45°, co stało się

podstawą klasycznego modelu kratownicy Mörscha.

6

Naprężenia styczne (ścinające) – przekrój prostokątny

Naprężenia σ i τ w przekrojach oddalonych o

odcinek dl

bz

V

0





7

Naprężenia styczne (ścinające) – przekrój teowy

z

b

V

0

0





8

Model kratownicy Mörscha

Założenia
- kratownice są niezależne

- siły rozciągające przenosi

zbrojenie

- siły ściskające przenosi

beton

2

m

V

)

45

sin(

m

V

Z

2

2

V

)

45

sin(

2

V

Z

2

V

)

45

sin(

V

Z

m

0

02

01



















9

Ścinanie według PN-EN 1992-1-1

wrzesień 2008

Stosowane symbole:

V

Rd,c

– nośność krzyżulca rozciąganego

betonowego
(bez zbrojenia poprzecznego)

V

Rd,max

– nośność krzyżulca ściskanego

betonowego

V

Rd,s

– nośność krzyżulca rozciąganego

zbrojonego,
po zarysowaniu betonu

10

Nośność krzyżulca rozciąganego betonowego

– przed zarysowaniem

V

Rd,c

= [C

Rd,c

k(100

l

f

ck

)

1/3

+

k

1



cp

]b

w

d

V

Rd,c

= (

min

+ k

1



cp

)b

w

d

C

Rd,c

= 0,18 / γ

c



min

= 0,035 k

3/2

f

ck

1/2

k = 1 + d [mm]

k

1

= 0,15

σ

cp

= N

Ed

/ A

c

lecz nie więcej niż 0,2

f

cd l

d

/

200

11

02

,

0





d

b

A

w

sL

L



Nośność krzyżulca rozciąganego betonowego

– przed zarysowaniem

12

Zbrojenie poprzeczne nie jest obliczeniowo

wymagane, jeżeli

V

Ed

≤ V

Rd,c

nośność betonowego krzyżulca

rozciąganego

V

Ed

≤ 0,5 b

w

d  f

cd

nośność betonowego krzyżulca
ściskanego

 = 0,6 (1 – f

ck

/250)

f

ck

[Mpa]

13

Obciążenia w pobliżu podpór

a

v

d

a

v

d

a) Belka z podporą bezpośrednią b) Krótki

wspornik

Można stosować modele ST (Struts – Ties)

14

Elementy wymagające obliczania
zbrojenia na ścinanie
V

Ed

> V

Rd,c

Oblicza się je na podstawie modelu kratownicowego

Kąt pochylenia krzyżulca ściskanego względem
podłużnej osi belki przyjmuje się

1,0  cot(θ)  2,5 EN

1,0  cot(θ) 

2,0 PN

a kąt pochylenia zbrojenia poprzecznego
α

45° ≤ α ≤ 90°

15



s

d

A

V(cot



- cot







V

N

M



½ z

½ z

V

z = 0.9d

F

cd

F

td

B

C

D

A – pas ściskany B – krzyżulce ściskane

C – pas rozciągany D – zbrojenie na ścinanie
(poprzeczne)

16

Jeżeli belka jest zbrojona pionowymi

strzemionami, to
α = 90°

cotθ

zf

s

A

V

ywd

sw

s

Rd,



V

Rd,max

= 

cw

b

w

z 

1

f

cd

/(cot+tan)



cw

= 1,0

konstrukcje

niesprężone



1

= 0,6

f

ck

≤ 60 MPa



1

= 0,9 – f

ck

/200 ≥ 0,5

f

ck

> 60 MPa

17

Jak przyjmować kąt pochylenia krzyżulców

ściskanych?

Ze względu na strzemiona – jak największy

V

Rd,s

= V

Ed

s =

Ze względu na krzyżulec ściskany – tak, aby nie

przekroczyć jego nośności



cot

z

V

f

A

Ed

ywd

sw

18

Nośność krzyżulca

ściskanego w funkcji

ctgθ

V

Ed

V

Ed

V

Rd,max

19

Decyzja o kącie pochylenia krzyżulca ściskanego
wpływa ponadto na zakotwienie prętów zbrojenia
podłużnego

Siłę rozciągającą

V (cotθ – cotα)
przykładamy po połowie do obu pasów kratownicy

Powoduje to

zwiększenie siły w pasie rozciąganym

,

co uwzględniamy rozsuwając wykres momentów
zginających o odcinek

a

l

= 0,5 z (cotθ – cotα)

20

A – obwiednia siły M

Ed

/z + N

Ed

B – siła rozciągająca w zbrojeniu F

s

C – nośność zbrojenia na rozciąganie F

Rs

21

Zbrojenie na ścinanie przy bezpośrednim
przekazywaniu obciążenia przez ściskany
krzyżulec

Jeżeli 0,5 d < a

v

< 2,0 d

V

Ed

a

v

/(2d) ≤ A

sw

f

ywd

sin α

A

sw

– oznacza pole przekroju zbrojenia na

oznaczonym
odcinku

22

Zbrojenie między środnikiem a półkami

A – krzyżulce ściskane
B – pręt podłużny zakotwiony poza przekrojem, od
którego
poprowadzono strzałkę B

23

Skręcanie

Torsion

24

25

26

27

Skręcanie według PN-EN 1992-1-1

wrzesień 2008

A - linia środkowa

B – zewnętrzna krawędź

przekroju efektywnego,

obwód u,

C - otulina

Rysunek 6.11. Oznaczenia i określenia

28

Czyste skręcanie

W przekrojach pełnych, w przybliżeniu prostokątnych,

zbrojenie na ścinanie i skręcanie nie jest wymagane,

poza zbrojeniem minimalnym, jeżeli

T

Ed

≤ T

Rd,c

T

Rd,c

– skręcający moment rysujący, przy τ

t

= f

ctd

T

Rd,c

= 2 A

k

f

ctd

t

ef

A

k

– pole powierzchni wewnątrz linii środkowej

t

ef

– efektywna grubość ściany, równa A/u

u – obwód przekroju

29

Czyste skręcanie

Zbrojenie na skręcanie jest wymagane

, jeżeli

T

Ed

> T

Rd,c

Stosuje się strzemiona + pręty podłużne

Nośność ze względu na strzemiona

Pole przekroju dodatkowego zbrojenia

podłużnego





cot

s

A

f

A

2

T

sw

ywd

k

s

,

Rd





cot

A

f

2

u

T

A

k

yd

k

Ed

sl

30

Element jednocześnie ścinany i skręcany,

wymagane zbrojenie

Zbrojenie obliczamy niezależnie na ścinanie i

skręcanie

Sprawdzamy nośność krzyżulca ściskanego,
obciążonego ścinaniem i skręcaniem

T

Ed

/T

Rd,max

+ V

Ed

/V

Rd,max

 1,0

T

Ed,max

= 2 ν α

cw

f

cd

A

k

t

ef

sinθ cosθ

Kąt θ przyjmuje się taki sam przy ścinaniu i skręcaniu

31

Przykłady zbrojenia na ścinanie

A - strzemiona wewnętrzne nie otaczające

B - strzemię otaczające

32

Kotwienie strzemion przenoszących

skręcanie

33

Przykłady kształtów strzemion na skręcanie

a1) a2) a3) b)
kształt nie

zalecany
a) kształty zalecane

Uwaga: W alternatywie a2 długość zakładu na górze
powinna być pełna.

34

Stopień zbrojenia strzemionami pionowymi na

ścinanie

(dotyczy też skręcania)

nie może być mniejszy niż

Maksymalny rozstaw ramion strzemion powinien

spełniać warunki:
- w kierunku podłużnym

s

max

 0,75d

- w kierunku poprzecznym

s

max

 0,75d

s

max

 600mm

s

b

A

w

sw

w





yk

ck

min

,

w

f

f

08

,

0





35

36

Badania dr inż. P. Bodzaka

37

Badania dr inż.
A. Kosińskiej
z zespołem

38