OBLICZANIE ROZPŁYWÓW

PRĄDÓW

W SIECIACH OTWARTYCH

- Metoda liczb
zespolonych

- Pierwsze prawo
Kirchhoffa

N

a

p

ię

c

ie

i

p

r

ą

d

w

w

ę

ź

le

o

d

b

io

r

c

z

y

m

w

y

r

a

ż

a

ją

s

ię

w

z

o

r

a

m

i:

u

j

f

f

e

U

U





i

j

Ie

I





Podstawowe zależności i

określenia

jQ

P

sin

I

U

3

j

cos

I

U

3

Ie

U

3

Ie

U

3

Ie

e

U

3

I

U

3

S

f

f

j

f

)

(

j

f

j

j

f

f

i

u

i

u













































Przy obciążeniu indukcyjnym kąt  jest
dodatni i moc bierna jest również dodatnia,
przy obciążeniu pojemnościowym kąt  i moc
Q są ujemne.

Podstawowe zależności i

określenia

Prąd

czynny

I

cz

jest to rzut wektora prądu na kierunek, w

którym położony jest wektor napięcia:

I

cz

= I cos

Prąd

bierny

I

b

jest to rzut wektora prądu na kierunek

prostopadły do wektora napięcia:

I

b

= I sin

Składowa

rzeczywista

prądu I’ jest to rzut wektora prądu

na kierunek osi rzeczywistych:

I’ = I cos

i

Składowa

urojona

prądu I” jest to rzut wektora prądu na

kierunek osi urojonych

I” = I sin

i

Podstawowe zależności i

określenia

Podstawowe zależności i

określenia

Jeżeli wektor napięcia położony jest w osi
rzeczywistych, czyli U = U i  = - 

i

, wówczas

składowa urojona prądu równa jest składowej
biernej z przeciwnym znakiem:

I = I’ - j I” = I cos 

i

– j I sin 

i

= I cos(- ) - j I sin

(-)

I’ = I cos 

i

= I cos  = I

cz

- I” = - I sin 

i

= I sin  = I

b

Podstawowe zależności i

określenia

Podsumowując:

Przy obciążeniu indukcyjnym

 > 0,

Q > 0,

I” < 0

Przy obciążeniu

pojemnościowym

 < 0,

Q < 0,

I” > 0

α

n

α

α

φ

cos

U

3

P

=

I

Założenia do obliczeń

Obliczenia rozpływu prądów rozpoczyna się od
wyznaczenia prądów odbiorów.

Dla węzła  znane są wartości mocy
odbieranej, najczęściej w postaci par: P



, Q



lub P



, cos



Prąd odbioru określony jest wzorem ogólnym:

I



= I



(cos 

i

+ j sin 

i

)

Gdzie:

Założenia do obliczeń

Przyjmuje się następujące założenia:

1. W każdym węźle panuje napięcie

znamionowe:

U



= U

n

2. Wektor napięcia położony jest w osi

rzeczywistych:

U



= U



Przy takich założeniach:

I



= I



(cos 



- j sin 



)

Gdzie:

α

n

α

α

φ

cos

U

3

P

=

I

Sieci I i II rodzaju

1. Obliczenie prądów odbiorów
2. Obliczenie prądów w

gałęziach sieci

I

46

= I

6

I

54

= I

5

I

24

= I

46

+ I

54

+ I

4

I

23

= I

3

I

12

= I

23

+ I

24

+ I

2

I

01

= I

12

+ I

1

O gó lnie:

I

jk

= I

jk

’

– jI

jk

”

M o duł p rądu gałęz io w eg o :

   

2

"

jk

2

'

jk

jk

I

I

I





K ąt im pedancji linii:













 





'

jk

"

jk

jk

I

I

ctg

ar

Sieci I i II rodzaju

Sieci III rodzaju

30
kV

1. Obliczenie prądów

odbiorów

2. Obliczenie prądów

pojemnościowych

3. Obliczenie prądów w

gałęziach sieci

Sieci III rodzaju

30
kV

I

c6

= jU

fn

B

46

/2

I

c5

= jU

fn

B

45

/2

I

c3

= jU

fn

B

23

/2

























2

B

2

B

2

B

jU

2

B

jU

I

46

45

24

fn

4

fn

4

c

























2

B

2

B

2

B

jU

2

B

jU

I

24

23

12

fn

2

fn

2

c























2

B

2

B

jU

2

B

jU

I

12

01

fn

1

fn

1

c

I

46

= I

6

+I

c6

I

54

= I

5

+ I

c5

I

24

= I

46

+ I

54

+I

4

+ I

c4

I

23

= I

3

+ I

c3

I

12

= I

23

+ I

24

+ I

2

+ I

c2

I

01

= I

12

+ I

1

+ I

c1

OBLICZANIE SPADKÓW I

STRAT NAPIĘCIA

W SIECIACH OTWARTYCH

2

f

1

f

12

U

U

U







2

f

1

f

12

U

U

U







Definicje

Stratą napięcia

U

12

nazywa się różnicę

geometryczną napięć w dwóch punktach
(węzłach) sieci 1 i 2:

Spadkiem napięcia

nazywa się algebraiczną

różnicę napięć w dwóch punktach sieci

Składowe wektora straty

Strata napięcia w
linii jest równa sumie
geometrycznej
czynnej

i

biernej

straty napięcia:

)

X

j

R

(

I

U

U

U

L

L

X

R

12















Podłużną stratą napięcia

U’ w linii przesyłowej

nazywa się rzut wektora całkowitej straty napięcia
U na kierunek osi rzeczywistych (kierunek
odniesienia).

Poprzeczną stratą napięcia

U” nazywa się rzut

wektora całkowitej straty napięcia na kierunek osi
urojonych (prostopadły do kierunku odniesienia).

Czynną stratą napięcia

nazywa się stratę

napięcia na rezystancji linii:

L

R

R

I

U







Bierną stratą napięcia

nazywa się stratę

napięcia na reaktancji linii:

L

X

jX

I

U







Składowe wektora straty

Strata a spadek

Podłużna strata napięcia równa się odcinkowi ac’:
U’ = ac’

Poprzeczna strata napięcia równa się odcinkowi
c’c: U” = c’c

Sieci I i II rodzaju

Podany zostanie sposób obliczania
spadku napięcia przy dowolnym
obciążeniu dla linii:

 zasilającej

 rozdzielczej

Jako przypadek ogólniejszy zostanie
rozważona linia II-go rodzaju. Linię I-go
rodzaju można traktować jako przypadek
szczególny, przyjmując Z

L

 = R

L

d

'

c

+

'

ac

=

ad

U

U

=

ad

=

U

δ

f

f

2

1

-

2

δ

*tg

δ

tg

'

oc

=

2

δ

tg

*

c

'

c

=

d

'

c

δ

tg

,

=

δ

tg

5

0

2

δ

tg

'

oc

,

=

d

'

c

2

5

0

Spadek napięcia w linii

zasilającej

dla
małych :

więc

U = ac’ = U’

Przy

założeniu

c’d = 0:

Spadek napięcia równy

jest podłużnej stracie

napięcia

Obciążenie
indukcyjne

(

)(

)

(

)

"

'

L

L

L

L

L

L

L

U

Δ

j

+

U

Δ

=

=

R

"

I

+

X

'I

j

+

X

"

I

R

'I

=

X

j

+

R

"

Ij

+

'I

=

Z

I

=

U

Δ

-

L

b

L

cz

L

L

'

X

I

+

R

I

=

=

X

"

I

R

'I

=

U

Δ

=

U

δ

-

Obliczanie spadku napięcia

Wykorzystując powyższe założenie można
określić praktyczny wzór na spadek napięcia.

Ponieważ całkowita strata
napięcia:

Stąd:

Jeżeli odbiornik określony jest
wartościami mocy czynnej i
biernej, wówczas wzór na
spadek napięcia można zapisać
w postaci:

L

n

L

n

X

U

Q

+

R

U

P

=

U

δ

3

3

Obliczanie spadku napięcia

Jeżeli obciążenie ma charakter indukcyjny to
składowa urojona prądu jest ujemna, a prąd bierny i
moc bierna są dodatnie. Wówczas:

U

f1 

 > U

f2

i U > 0

Jeżeli obciążenie ma charakter pojemnościowy to
składowa urojona prądu jest dodatnia, a prąd bierny
i moc bierna są ujemne. Stąd:

U

f1 

 U

f2

i U  0

Możliwy jest przypadek, że:

U

f1 

= U

f2

i U = 0

U

δ

=

U

U

=

U

U

=

U

δ

f

f

p

3

3

-

3

-

2

1

2

1

100

n

p

%

U

U

δ

=

U

δ

100

100

3

3

3

3

2

2

*

X

U

Q

+

R

U

P

=

=

*

X

U

U

Q

+

R

U

U

P

=

U

δ

L

n

L

n

L

n

n

L

n

n

%

W obliczeniach praktycznych operuje się
procentowym spadkiem napięcia, odniesionym
do napięcia znamionowego

Spadek przewodowy:

lub:

Obliczanie spadku napięcia

(

)

(

)

∑

∑

n

=

α

α

,

1

-

α

α

,

1

-

α

b

α

,

1

-

α

α

,

1

-

α

cz

n

1

=

α

α

,

1

-

α

α

,

1

-

α

α

,

1

-

α

α

,

1

-

α

0n

0n

X

I

+

R

I

=

=

X

''

I

-

R

'I

=

'

U

Δ

=

U

δ

1

Spadek napięcia w linii

rozdzielczej

Spadek napięcia w całej linii równa się
sumie spadków napięcia na poszczególnych
jej odcinkach:

Metoda

„sumowania odcinkami”

(

)

∑

∑

n

=

α

n

1

=

α

α

0

α

α

0

α

2

n

α

0

2

n

α

α

0

2

n

α

%

0n

X

Q

+

R

P

U

100

=

100

*

X

U

Q

+

R

U

P

=

U

δ

1

Pamiętając, że prądy w gałęziach wynikają z
sumowania prądów odbiorów

∑

n

α

=

j

j

α

,

1

α

I

=

I

-

można wyrazić spadek napięcia w zależności od
prądów odbiorów, a nie linii:

(

)

(

)

∑

∑

n

=

α

α

0

α

b

α

0

α

cz

n

1

=

α

α

0

α

α

0

α

0n

X

I

+

R

I

=

X

''

I

R

'I

=

U

δ

1

-

Metoda

„sumowania momentami”

lub w zależności od mocy odbiorów:

Obliczanie spadku napięcia

Sieci III rodzaju

Linia zasilająca, obciążona mocą

czynną i bierną indukcyjną

L

L

L

L

X

''

I

-

R

'I

=

'

c

a

≠

U

δ

f2

f1

U

-

U

=

U

δ

Obliczanie spadku napięcia

Dla linii III-go rodzaju

kąt  jest na tyle

duży, że nie można

pominąć odcinka c’d,

a zatem:

Najłatwiej obliczyć spadek napięcia w linii III
rodzaju określając dowolną metodą moduł
wektora napięcia na początku linii U

f1

, a

następnie obliczając spadek napięcia z jego
definicji:

(

)

X

U

Q

+

R

U

P

2

=

X

I

+

R

I

2

=

U

δ

L

n

L

n

L

b

L

cz

X

U

Q

+

R

U

P

2

=

U

δ

L

2

n

L

2

n

%

Linia

jednofazowa

Obliczenia spadków, jak również strat napięcia w
linii jednofazowej przeprowadza się tak samo jak
w linii trójfazowej, należy jednak pamiętać, że
prąd obciążenia I płynie w tym przypadku

dwoma

przewodami

linii. Wobec tego jeżeli R

L

i X

L

są

odpowiednio rezystancją i reaktancją jednego
przewodu linii i oba przewody są jednakowe, to
dla linii II rodzaju spadek napięcia obliczymy ze
wzoru:

T

b

2

T

cz

2

T

"

2

T

'

2

T

X

I

+

R

I

=

X

I

-

R

I

=

U

δ

3

2

1

I

+

I

=

I

T2

"
2

T2

'
2

T1

"

1

T1

'

1

T12

X

I

-

R

I

+

X

I

-

R

I

=

U

δ

T3

"
3

T3

'
3

T1

"

1

T1

'

1

T13

X

I

-

R

I

+

X

I

-

R

I

=

U

δ

Transformator

Przy

obliczaniu

spadków

napięcia

w

transformatorze pomija się gałąź magnesującą
schematu zastępczego. Wówczas schemat ten
ma taką samą postać jak schemat zastępczy
linii II rodzaju. Wobec tego:

Dla transformatora
dwuuzwojeniowego:

Dla transformatora 3-
uzwojeniowego: