Geodezja Wyższa i

Astronomia

Geodezyjna

Mgr inż. Marta
Krywanis

Odwzorowanie wiernokątne

Gaussa-Krugera



ODWZOROWANIEM KARTOGRAFICZNYM
– nazywamy takie przedstawienie jednej
powierzchni matematycznej na drugiej,
(ponieważ na płaszczyźnie), w którym
głównym warunkiem jest, aby każdemu
punktowi oryginału odpowiadał jeden i tylko
jeden punkt obszaru, jak również każdemu
punktowi obrazu odpowiadał jeden i tylko
jeden punkt oryginału.

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

,

,

',

' kierunki główne

, skale w kierunkach głównych

'

'

'

'

'

'

'

'

OX OY OX OY

m n

r

x

y

x mx

y ny

r

mx

ny

y

x

m

n

x

y

-

-

=

+

=

=

=

+

=

=

2

2

2

ab

mnr

p

mn

R

R

p mn

p

p

p

p

�

��

=

=

= �

=

SKALA PÓL

'

' skala liniowa

skal pól

dp

ds

k

p

ds

dp

=

=

ZNIEKSZTAŁCENIE – jest różnicą między skalą a jednością

'

1

-zniekształcenie liniowe

'

1

-zniekształcenie pól

i

p

ds ds

z k

ds

dp dp

z p

dp

-

= - =

-

= - =

ODWZOROWANIE WIERNOKĄTNE (równokątne,

kątforemne)

ODWZOROWANIE WIERNOPOLOWE (równopolowe)

ODWZOROWANIE WIERNOODLEGŁOŚCIOWE
(równoodległościowe, pośrednie)

Pośrednie – nazwa pochodzi stąd, że zniekształcenia

kątów są tutaj mniejsze niż w odwzorowaniu

wiernopolowym, a zniekształcenia pól mniejsze niż

w wiernokątnym

.

1. gdy

to sin

0 =0

'

2

m n

w

w

a a

=

=

� =

2. gdy

1 skala pól

p mn

= �=

3. gdy

1 1 wzdłuż południków

1 1 wzdłuż równoleżników

m

n

m

n

�ٹ=

� � = �

Odwzorowanie Gaussa-
Krugera



Obraz południka jest osią odciętych zaś obraz równika jest osią

rzędnych układu kartograficznego. Najbardziej efektywna

metoda w/w warunków sprowadza się do trzech podstawowych

etapów:



I.  wiernokątne odwzorowanie całej powierzchni elipsoidy na całą

sferę



II wiernokątne – walcowe – poprzeczne odwzorowanie sfery na

płaszczyznę-odwzorowanie poprzeczne Merkatora



III wiernokątne przekształcenie płaszczyzny Merkatora na

płaszczyznę Gaussa-Krügera, tak, aby był spełniony warunek

odwzorowania dotyczący izometryczności południka środkowego.

Przy wyprowadzeniu formuł odwzorowawczych zrobiono

następujące założenia



południk osiowy odwzoruje się w postaci linii prostej,

która służy jako oś odciętych



odcięta punktu leżącego na południku osiowym powinna

być równa długości łuku południka liczonego od równika

do danego punktu.

P

P

Y

P

P

X

1

1

0







Odcięta X ma zawsze znak dodatni.



Rzędna Y będzie



dodatnia jeśli leży na wschód



ujemna jeśli leży na zachód od południka osiowego



Aby jednak współrzędne punktów miały zawsze znak

dodatni wprowadza się następujący sposób

oznaczenia. Rzędną południka osiowego oblicza się

dzieląc numer południka osiowego przez trzy

.

Otrzymana liczba wskazuje ilość tysięcy kilometrów.
Następnie

do tej liczby dodaje się 500 km.

Na przykład dla południka osiowego którego długość

rzędna wynosi Jeżeli punkt nie leży w południku osiowym, to
jego rzędna będzie wynosić:

y

Y

Y





0

Para funkcji odwzorowawczych Gaussa-Krügera

(odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznice walca)
ma następującą postać:





2

2

2

3

4

4

2

2

2

4

9

5

cos

sin

24

cos

sin

2





















t

B

B

l

N

B

B

l

N

X

X

pol









2

2

2

4

2

5

5

5

2

2

3

3

3

58

14

18

5

cos

120

1

cos

6

cos

t

t

t

B

l

N

t

B

l

N

B

l

N

Y































gdzie:

B

t

B

e

tan

cos

2













...

6

sin

4

cos

2

sin

6

4

2

0











B

A

B

A

B

A

B

A

a

X

pol

- długość łuku południka

256

5

64

3

4

1

6

4

2

0

e

e

e

A



























128

15

4

8

3

6

4

2

2

e

e

e

A

















4

3

256

15

6

4

4

e

e

A

3072

35

6

6

e

A 

Skala m w tym odwzorowaniu wyraża się wzorem:









2

4

4

4

2

2

2

2

4

5

cos

24

1

cos

2

1

t

B

l

B

l

m

















l – różnica długości geodezyjnej danego punktu i południka osiowego.

Wyznaczyć współrzędne x, y punktu

C w odwzorowaniu Gaussa Krugera.

Dane: