Materiały pochodzą z Platformy

Edukacyjnej Portalu

www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego
Użytkowników

wyłącznie

w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian,
przesyłanie,

publiczne

odtwarzanie

i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby
własne

oraz

do

wykorzystania

w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

MIEJSCA ZEROWE

FUNKCJI

KWADRATOWEJ

Miejsce zerowe

funkcji to argument, dla którego funkcja

przyjmuje wartość zero. Graficznie szukamy punktów

przecięcia wykresu funkcji z osią x – wtedy pierwsza

współrzędna tego punktu (odcięta) to miejsce zerowe

funkcji.

Funkcja kwadratowa może mieć dwa miejsca zerowe,

jedno miejsce zerowe lub może nie mieć wcale miejsc

zerowych.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od

wyróżnika trójmianu kwadratowego – od delty liczonej ze

wzoru:

Δ=b

2

-4ac

Rozpatrzymy przypadki:

1)) Jeżeli Δ>0 to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca

zerowe:

2)) Jeżeli Δ=0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe:

3)) Jeżeli Δ<0 to funkcja nie ma miejsc zerowych.

x

2

x

1

x

1

x

2

x

0

x

0

Zadanie1: Określ liczbę miejsc zerowych funkcji
kwadratowej:

a)

f(x)=x

2

+8x

a=1 b=8 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 8

2

- 4·1·0 = 64

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

b)

f(x)=-2x

2

+2

a=-2 b=0 c=2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-2)·2 = 16

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

c)

h(x)=x

2

-8x+16

a=1 b=-8 c=16

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-8)

2

- 4·1·16 = 64 – 64 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

d)

g(x)=x

2

+2x+10

a=1 b=2 c=10

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 2

2

- 4·1·10 = 4 - 40 = -36

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

Zadanie2: Oblicz miejsca zerowe funkcji
kwadratowej:

a)

y=x

2

+x-2

a=1 b=1 c=-2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -2 i 1.

b)

y=x

2

-6x+9

a=1 b=-6 c=9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

- 4·1·9 = 36 -36 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest argument 3.

c)

y=-x

2

-4x-4

a=-1 b=-4 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-4)

2

- 4·(-1)·(-4) = 16 - 16 = 0

Δ = 0 funkcja posiada jedno miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest argument -2.

d)

y=x

2

+4x+3

a=1 b=4 c=3

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 4

2

- 4·1·3 = 16 - 12 = 4

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i -1.

e)

y=-x

2

-5x-4

a=-1 b=-5 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-5)

2

- 4·(-1)·(-4) = 25 - 16 = 9

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -4 i -1.

f)

y=-x

2

-4

a=-1 b=0 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

- 4·(-1)·(-4) = 0 - 16 = -16

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

x

0

∈

∅

g)

y=-x

2

-x-4

a=-1 b=-1 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-1)

2

- 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15

Δ < 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych

x

0

∈

∅

h)

y=x

2

+6x

a=1 b=6 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 6

2

– 4·1·0 = 36 - 0 = 36

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -6 i 0.

i)

y=-2x

2

-10x

a=-2 b=-10 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-10)

2

– 4·(-2)·0 = 100 - 0 = 100

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -5 i 0.

j)

y=x

2

-9

a=1 b=0 c=-9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 0

2

– 4·1·(-9) = 0 + 36 = 36

Δ > 0 funkcja posiada dwa miejsca zerowe

Miejscami zerowymi funkcji są argumenty: -3 i 3.

Zadanie3: Która z liczb: -4, 0, 1, 2, 5, 10 jest
miejscem zerowym funkcji kwadratowej:

f(x)=2x

2

-x-1

f(-4) = 2·(-4)

2

-(-1)-1 = 2·16+1-1=32

f(0) = 2·0

2

-0-1 = 2·0-1=-1

f(1) = 2·1

2

-1-1 = 2-1-1=0

f(2) = 2·2

2

-2-1 = 2·4-2-1=8-2-1=5

f(5) = 2·5

2

-5-1 = 2·25-5-1=50-5-1=44

f(10) = 2·10

2

-10-1 = 2·100-10-1=200-10-1=189

Spośród podanych liczb miejscem zerowym jest

liczba 1.