SYSTEMY LICZBOWE

SYSTEM DWÓJKOWY

•Systemem liczbowym stosowanym w technice
cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system
liczbowy o podstawie 2.

•Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości
istnienia dwóch stanów, które można interpretować
jako dwie różne cyfry.

•W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz
dwóch cyfr: 0 i 1.

• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne
potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek
(2

0

), pozycję dwójek (2

1

), czwórek (2

2

), ósemek (2

3

),

itd.

Wartości dziesiętne wybranych liczb

zapisanych w systemie dwójkowym:

Zapis w

systemie

dwójkowym

Wartość w

systemie

dziesiętnym

Wartość w

systemie

dziesiętnym

Zapis w systemie

dwójkowym

1 2

0

= 1

0,1

2

-1

=0,5

10 2

1

= 2

0,01

2

-2

=0,25

100 2

2

= 4

0,001

2

-3

=0,125

1000 2

3

= 8

0,0001

2

-4

=0,0625

10000 2

4

= 16

0,00001

2

-5

=0,03125

100000 2

5

= 32

0,000001

2

-6

=0,015625

1000000 2

6

= 64

0,0000001

2

-7

=0,0078125

10000000 2

7

= 128

0,00000001

2

-8

=0,00390625

100000000 2

8

= 256

0,000000001

2

-9

=0,001953125

1000000000 2

9

= 512

0,0000000001

2

-10

=0,0009765625

1000000000

0

2

10

= 1024

0,0000000000
1

2

-11

=0,00048828125

W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do
zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system
dwójkowy:

Zamiana liczby z systemu

dziesiętnego na binarny.

gdzie:

• k oznacza pozycję cyfry w liczbie
(liczoną od prawej do lewej),
•b

k

to cyfra z k-tej pozycji należąca

do zbioru cyfr sytemu binarnego,
b

k

є {0, 1}

Wzór ogólny liczby naturalnej

zapisanej w systemie binarnym

Zamiana ułamka dziesiętnego

na binarny:

SYSTEMY:

ÓSEMKOWY

I

SZESNASTKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY

Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie

ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7

Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 2

3

.

Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest

trzykrotnie.

SYSTEM ÓSEMKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY

W tym systemie mamy szesnaście cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Symbolom literowym odpowiadają

wartości dziesiętne:

A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15

SYSTEM SZESNASTKOWY

Podstawą systemu szesnastkowego jest 16,

czyli 2

4

,

co pozwala skrócić zapis binarny

czterokrotnie.

SYSTEM SZESNASTKOWY

Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny)

Dec – system dziesiątkowy (decymalny)

Oct – system ósemkowy (oktalny)

Bin – system dwójkowy (binarny)

Wzór na wartość n-cyfrowej liczby

całkowitej zapisanej w dowolnym

systemie liczbowym:

gdzie:

• k oznacza pozycję cyfry
w liczbie (liczoną od prawej
do lewej),

• c

k

to cyfra z k-tej pozycji

należąca do zbioru cyfr
sytemu,
c

k

є {0, 1, …, r – 1}

Działania arytmetyczne w

różnych systemach liczbowych

Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w
różnych systemach liczbowych są takie same jak
w znanym Ci systemie dziesiętnym.

Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka
mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn
znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb.
Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym
systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę
mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.

Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie
dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej
podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.

System

dwójkowy

System

czwórkowy

Dalej

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami

działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej

podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

System czwórkowy

+

0

1

0

0

1

1

1

10

DODAWANIE

×

0

1

0

0

0

1

0

1

MNOŻENIE

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami

działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej

podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

System dwójkowy

+

0

1

0

0

1

1

1

2

DODAWANIE

2

2

3

3

3

10

2

3

3

10

10

11

11

12

×

0

1

0

0

0

1

0

1

MNOŻENIE

2

0

2

3

0

3

2

3

0

0

2

3

10

12

12

21

2

3

Znasz już

sposób postępowania przy zamianie

liczby z układu dziesiętnego np. na układ

ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez

8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.

Na następnym slajdzie podany jest inny

sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego

na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania

działań arytmetycznych w różnych systemach.

11000101001010111010010110111000011010110111

Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę

835

(10)

w systemie ósemkowym

• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:

8

(10)

=10

(8)

Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr –
wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:

83

(10)

=8

(10)

·10

(10)

+3

(10)

=10

(8)

·12

(8)

+3

(8)

=120

(8)

+3

(8)

=123

(8)

Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech
kolejnych cyfr: 835

(10)

=?

(8)

835

(10)

=83

(10)

·10

(10)

+ 5

(10)

=123

(8)

·12

(8)

+ 5

(8)

=1476

(8)

+ 5

(8)

=1503

(8)

W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.