Overview

Sheet 1: PunktSiodl

		Przykład strategii czystych

		B			Gracz A
		B1	B2	B3	MIN(aij)	MAX MIN
A	A1	3	2	1	1	1
	A2	4	1	-3	-3
	A3	5	0	-5	-5


Gracz B	MAX(aij)	5	2	1

	MIN MAX	1



Istnieje punkt siodłowy

Przykład 1.
Dana jest tabela wypłat gry dwuosobowej o sumie zero. Symbolami A i B oznaczono obu
graczy. S1 i S2 to strategie gracza A oraz t1 i t2 to strategie gracza B.
	B A	t1	t2	min
	s1	1	10		x1	0,1	?	maxmin
	s2	6	0		x2	0,15	?
	max							minmax
Dla gracza A						4
	1	>=1	0,25	=1/v		v
	1	>=1	p1+p2=1
			p1/v+p2/v=1/v
	p1=x1*v	0,4
	p2=x2*v	0,6


Dla gracza B
					x1	0,166666666666667
		1			x2	0,083333333333333
		1
				0,25	=1/v	4

	x1=p1/v	0,666666666666667
	x2=p2/v	0,333333333333333		v=4	wartosc gry
				v=4-4=0

Przykład 2.
Sztaby wyborcze dwóch polityków, kandydujących do senatu spodziewają się, .
że decydujący wpływ na wynik kampanii mogą mieć jej dwa ostatnie dni.
Obaj politycy zdają sobie sprawę, że kluczową rolę w wyborach mogą odegrać głosy
mieszkańców dwóch dużych miast: X i Y.
Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategii postępowania:
- spędzić dwa dni w mieście X
- spędzić dwa dni w mieście Y
- spędzić jeden dzień w mieście X i jeden w mieście Y
Sztab wyborczy Polityka 1. przygotował prognozy przyrostu głosów na Polityka 1
kosztem Polityka 2. w zależności od wybranych przez nich strategii.

	Polityk2 Polityk1	XXp2	XYp2	YYp2	min
	XXp1	-50	-30	40	-50
	XYp1	20	-10	20	-10	maxmin=10
	YYp1	50	10	20	10
	max	50	10
		minmax(50,10)=		10
	Polityk2 Polityk1	XXp2	XYp2	YYp2	Min
	XXp1	0	20	90	0
	XYp1	70	40	70	0	max(min)	40
	YYp1	100	60	70	40
	Max	70	40	90

		Min(max)	40

Przykład 3.
Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynku pewnego kraju.
Koncern A rozważa uruchomienie w lokalnej fabryce jednego z czterech modeli
samochodów. Koncern B natomiast jednego z pięciu modeli samochodów.
W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (straty koncernu B) przy produkcji
poszczególnych samochodów, w zależności od decyzji podjętych przez koncerny.
Należy podjąć decyzję o rodzaju produkcji, będąc dyrektorem koncernu A.

B A	1	2	3	4	5
1	200	70	10	30	120	10
2	70	80	100	80	110
3	80	150	0	80	30
4	70	70	90	20	60	strategia zdominowa
		Dla B strategia 2 zd. Przez str. 4				na przez strategie 2


B A	1	3	4	5
1	200	10	30	120
2	70	100	80	110
3	80	0	80	30
			Dla B strategia 5 zd. Przez str. 3

B A	1	3	4	min
1	200	10	30	10
2	70	100	80	70	70
3	80	0	80	0
max	200	100	80
	80
			brak punktu siodłowego
			gra ma rozwiązanie w zbiorze strategii mieszanych
Dla gracza A
			niewiadome
0	>=1		x1	0		x1+x2+x3=1/v
0	>=1		x2	0	min	0	#DIV/0!
0	>=1		x3	0			v=1/H39
						wartosc gry
x1=p1/v	p1=x1*v	#DIV/0!			zawsze miesci się w przedziale
x2=p2/v	p2=x2*v	#DIV/0!			(max(min aij),min(max aji))
x2=p2/v	p3=x3*v	#DIV/0!			i	j

Dla gracza B
			niewiadome
1	>=1		x1	0,003654970760234		x1+x2+x3=1/v
1	>=1		x2	0,000365497076023	min	0,012865497076023	77,7272727272727
1	>=1		x3	0,008845029239766			v=1/H39

x1=p1/v	p1=x1*v	0,284090909090909
x2=p2/v	p2=x2*v	0,028409090909091
x2=p2/v	p3=x3*v	0,6875

Przykład 4.
Rozwiązać grę dwuosobową o sumie zero. Symbolami A i B oznaczono obu graczy,
a wektory X i Y oznaczają odpowiednio strategie gracza A i B.

1. Czy gra ma rozwiązanie w zbiorze strategii czystych?
2. Czy występują strategie zdominowane?
3. Obliczyć wartość gry i częstość strategii.


	B A	y1	y2	y3	min
	x1	2	4	6	2
	x2	3	1	4	1	2
	x3	2	3	3	2
	max	3	4	6
			3			v należy do przedziału[2,3]
ad 1. Nie - brak punktu siodłowego
ad 2.	Strategia x3 zdominowana przez x1.
	Strategia y3 zdominowana przez y1

Rozwiązanie w zbiorze strategii mieszanych
Dla gracza A		niewiadome
	x1	0,2		1	>=1
	x2	0,2		1	>=1
				1/v	x1+x2=1/v	v-wartosc gry
p1=x1*v	0,5			f.celu	0,4	2,5
p2=x2*v	0,5

Dla gracza B		niewiadome
	y1	0,3		1	>=1
	y2	0,1		1	>=1
				1/v	y1+y2=1/v	v
p1=y1*v	0,75			f.celu	0,4	2,5
p2=y2*v	0,25