Odwz, stożkowe wiernokątne Lamberta -Gaussa m=n (Rys) p=90 - φ dp = -dφ dφ = -dp cosφ = sin p m = -dς / Rdφ = dς / Rdp n = cς/ Rcosφ = c ς /Rsinp m*n=1 dς /Rdp * Cς /Rsinp = 1 Cςdp = R^2sinpdp / ∫ cς^2/2 = -R^2cosp+C ς ^2 =( -2R^2/C) cosp + 2C/C ς= √2R^2/C-(1-cosp)+2C/C -2R^2/C | 2C/C - 2R2/C = C1^2 1-cos= 2sin^2(p/2) ς = √C1^2+(4R^2/C)sin^2 P/2 || dla p =0 ςb = √C1^2 = C1 Σ = √ςb^2+ (4R^2/C)sin^2(P/2) || Odwz, stoż, wiernopol, Alberta n1=1 ^ n2 = 1 Cς1 /Rsinp1 =1 ^ Cς2 /Rsinp2 =1 ς1= Rsinp1 / C ^ ς2= Rsinp2 /C { Rsinp1 / C = √ςb^2 +(4R^2/C)sin^2 (P1/2) || { Rsinp2 / C = √ςb^2 +(4R^2/C)sin^2 (P2/2) || ukł,2rownan. ςb= (2r/C)sin(P1/2)sin(P2/2) c= ½(cosp1+ cosp2)= cos (p1-p2/2)sin ς = √ςb^2 +(4R^2/C)sin^2 (P/2)|| Odwz. Stożk, pośrednie Ptolemeusza zał m=1 -dς / Rdφ = 1 Dς = -Rdφ / ∫ ς = -Rarcφ +C (rys) ς = Rctgφ0 dla φ=φ0 , ς = ς0 Rctgφ0 = - Rarcφ0 +C C = Rctg φ0 + Rarc φ0 wtedy ς = Rctgφ0 + Rarcφ0 - Rarc φ0 ς = Rctg φ0 + Rarc (φ0 - φ) m= -dς / Rdφ = = -(-Rdφ)/Rdφ = 1 n = c*ς /Rcosφ = cosφ0 + sinφ0arc(φ0 -φ ) / cosφ p= m*n = cosφ0 + sinφ0arc(φ0 -φ ) / cosφ sinω/2 = m-n/m+n = cosφ - cosφ0-sinφ0 arc(φ0-φ) / cosφ - cosφ0+sinφ0 arc(φ0+φ) Odwz, stożk, pośrednie Delisle'a n1= 1 ^ n2= 1 cς1 / Rcosφ1 =1 ^ cς2 / Rcosφ2 ς1 = R cosφ1 / C ^ ς2 = Rcosφ2 / C ς = Rctgφ0 + Rarc(φ0-φ) inna postacw zoru na „ς” ς= ςb + Rarc(90-φ) ( rys) {Rcosφ1/ C = ςb +Rarc(90-φ1) {R cosφ2 /C = ςb +Rarc(90-φ1) ukł, równan o 2 niew, ςb = R (90-φ2)cosφ1-(90-φ1)cosφ2 / cosφ2- cosφ1 ς = ςb + Rarc(90-φ) C = cosφ1 - cosφ2 / φ2 - φ1. Odwz, stoż. pośrednie Tissota ς = Rctgφ0 + Rarc(φ0-φ) ozn, s = Rarc(φ - φ0) ς = Rctgφ0 - s - 1/6 s^3 modyfikacja Tissota s- dł, łuku połudn,

Wzory cosinusowe dla boków KL^2 = Ok^2 + OL^2- 2OKOLcosa KL^2 = AK^2 + AL^2 - 2 AKALcosA OK^2+ OL^2 - 2OKOLcos a = AK^2 AL^2- 2AKALcosA Ok^2 = AO^2 + AK^2 OL^2 = AO^2+ AL^2 OKOLcosa = AO^2 + AKALcosA / (OK.*OL) cosa = (AO/OL) *(AO/OK) + (AL/ OL)* (AK/OK) cosA cosa = cos cosc + sinb sinc cosA cos = cosa cosc +sina sinc cos cosc = cosa cos + sina sinb cosC Wzory cosinusowe dla kątów cosa' = cosb' cosc' + sinb' sinc' cosA' a'= 180-A b' = 180 -B c' = 180-C A' = 180 - a -cosA=cosBcosC-sinBsinCcosa/*(-1) CosA-cosB cosC+sinB sinC cosa cos= - cosAcosC+sinAsinCcosb cosC= - cosA cosB+sin AsinB cosc sina/sina = sinb/sinB = sinc/ sinC Wzory 5 elementów cos b= cosa cos + sina sinc cos cosa = cos cosc + sinb sinc cosA/*cosc cos b= cos 2c + sinb sibc cosc cosA+ sina sinc cos cos(1-cos^2c)=sinb sinCcosc cosA+sina sinc cos /:sinc cosbsinc = sinbcosccosA + sina cosB sina cos= cosbsinc - sinb cosc cosA ….. Wysokość trójkąta sferycznego sinc/sin90 = sinhb/ sinA sina/sin90 = sinhb /sinc sinhb=sinasinC/sinA sinhb = sinasinC sinhb= sinasinC/sinb sinha = sinbsinC / sina sinb sinhb = sina sinb sinC sina sinha= sina sinb sinC sinasinha = sinb sinhb = sinCsinhc Wzory sinusowe katów połówkowych sina = cosb cosc + sinb sinc cosA cosA= cosa-cosb cosc / sinb sinc 1-cosA = 1- (cosa-cosb cosc / sinb sinc 2sin^2(A/2) = sinb sinc + cosb cosc- cosa / sinb sinc sinb sinc +cosb = cos(b-c) 2sin^2(A/2)=cosb-c)-cosa / sinb sinc sin2(A/2) = sin(a+b-c/2) sin(a+b-c/2) //sinb sinc ozn. A+b+c =2p a+b-c+2c=2p a+b-c=2(p-c) a+b-c / 2 = p-b sin(A/2) = √ sin(p-a)sin(p-b) / sinb sinc || sin(B/2) = √ sin(p-a)sin(p-c) / sina sinc sin (C/2) = √sin(p-a) sin(p-b) / sina sinb

Wzory na cosinusy katow połowkowych cosa = cosbcosc+sinb sinc cosA cosA= cosa-cosb sosc / sinb sinc 1+cosA= 1+ ( cosa-cosb cosc / sinb sinc ) 2cos^2 (A/2) = sinb sinc - cos cosc +cos / sinb sinc sinb sinc - cosbcosc = cos(b+c) 2cos^2(A/2) = cosa - cos(b+c) / sinb sinc cos^2(A/2)= sin(a+b+c/2) * sin(b+c-a/2) // sinb sinc ozn. a+b+c=2p a+b-c=+2c =2p a+b-c=2(p-c) a+b-c/2 = p-c analog. a+b-c/2=p-b sin(A/2) = √sinb(p-b)sin(p-c) / sinb sinc|| sin(B/2)=√sin(p-a)sin(p-c) /sina sinc|| sin(C/2)=√sin(p-a)sin(p-b)/sina sinb || Pole powierzchni trójkąta sferycznego s/ 4Π R^2 = AB/360 S= Π R^2*^(AB/90) lub S=Π R^2*(P/90) s- pow, dukata BC+CB'=180 CB+BC' =180 CA+AC'=180 AC+Ca'=180 ΔCA'B'=Δ ABC' S1= ΔABC+ΔA'BC'=Π R^2*(C°/90) S2 = ΔABC + ΔA'BC = Π R^2*(A°/90) S3 = ΔABC + ΔACB' = Π R^2*(B°/90) 2ΔABC+ΔABC +ΔA'BC' +ΔA'BC +ΔACB' = Π R^2/90*(A°+B°C°) 2ΔABC= Π R^2/90*(A°+B°C°) -2ΠR^2 2ΔABC= Π R^2/90 *(A°+B°C°-180) }ε AΔABC=(ΠR^2 / 180°)* ε° S=(ε°/ς°)*R^2 Wzory na nadmiar sferyczny w trójkącie sferycznym 1. Wzór Luilliera tg^2(ε/4)=tg(P/2) tg(P-a/2) tg(p-b/2) tg(p-c/2) gdzie p = a+b+c / 2 tg^2(ε/4)=tg(P/2R) tg(P-a/2R) tg(p-b/2R) tg(p-c/2R) dla S/2R <1/150 / tgx≈x ε^2/16 = P/2R'*P-a/2R* P-b/2R*P-c/2R 2. ε” = ς”/R^2* √p(p-a)(p-b)(p-c) || 3. ponieważ S=(ε''/ς°)R^2 to ε°= (S/R^2)*ς° Dwukąt sferyczny A=A boki po 180° ABC -dany A1BC -Δ sprzezony z danymΔ W punkcie0 tworzy się naroze trójścienne katy płaskie α β γ sa miarami bokówABC 0°< α+ β+ γ<360° 0°<a+b+c<360  180 <A+B+C<540° 0°A+B+C-180<360 Nadmiar sferyczny - to roznica miedzy suma katów figury sfer a odpowiadającej jej figury płaskiej. ε=A+B+C-180 0 °<ε°<360

Elementy tresci mapy 1.elementy matematyczne Umożliwiają odpowiednie odwzorowanie powierchni Ziemi na płaszczyzne są to : -siatka południków i równoleżników, skala mapy ,punkty nawiązania, ramka mapy, siatka kilometrowa. Mapa musi posiadac orientacje. 2. Elem, geograficzne - Są to zarys lini brzegowej murz jezior, rzezba pow, Ziemi . Elementy glebowo roślinne Także osiedla ,sieci komunikacyjne, zjawiska gosp, elem, polityczne. 3. Napisy na mapie i poza jej powierzchnia - inf, pomocnicze grupowane w postaci legendy to : tytuł, instytucja wydawnicza skala i podziłka, rok wyd, objaśnienia znaków skala barw , rodzaj odwz. Raster - przezrocze na szkle lub błonie fot, którego rysunkiem jest jednolity wzór utworzony z lini lub znaków równomiernie pokrywających dana powierzchnie. 1. charakter wzorów deseni-może być liniowy,kropkowy,kratkowy,wzorzysty. 2. Gęstość -okresla ilość lini lub kropekna 1 cm długości. 3. Stopien zaczernienia-to wyrazany w % stosunek pola czerni w danej jednostce pow, do polatej jednostki.Kserografia - wynalazł ja Carlsen w 1937r. wykorzystuje fizyczne właściwości półprzewodników(selenżywice) maja duzy opór wewnętrzny w ciemności. Wykonuje sie kseropłyty tj. Płyty metalowe pokryte warstwą półprzewodnika naładowane potencjałem elektr, w ciemności utrzymuje ładune a naswietlona traci go w miejscach naświetlonych. Układ optyczny pozwala na przeskalowanie kopi. Kserografia stykowa - możliwa kopia 1:1. Ksero składa się z :1.urzadz, ładującego - urz, naświetlającego,-urz, wywołującego urz, utrwalającego. Generalizacja - przeredagowanie tresci mapy ze szczegółowej na ogolna. Mamy 2 rodzaje 1.generalizacja pierwotna wykonywana bezpośrednio w terenie . 2. Generali. Wtórna - przy przetwarzaniu map pierwotnych na mapach w skalach mniejszych. Cele a) zmieszczenie odpowiedniej treesci na danym formacie, b) aby uzyskac mape ukazujaca niektóre elementy c) zwiększyć czytelnosc

1.(BIAŁY) Skala odwzorowawcza i zniekształcenie odwzorowawcze (zniekszt, polowe liniowe ,skala liniowa w dowolnym kierunku β) **II tw Tissota , maksymalne zniekształcenie kąta* Odwzorowania płaszczyznowe skale liniowe w kierunkach głownych**Odwz, gnomoniczne *Odwz. Stereograficzne**Odwz, Ortograficzne**Rzut pośredni Postela **Odwz, płaszczyznowe wiernopolow, Lamberta 2. (BIAŁY) Odwzorowania walcowe. Skale liniowe w kierunkach głownych**Karta kwadratów**Odwz, wiernopolowe walcowe Lamberta **Odwz, walcowe Mercatora **OdwzCassini-Soldnera dla kuli **Odwz pseudowalcowe, Odwz Sansona-Flamsteeda **Odwz, Mollweidego** Odwz, stożkowe **Dyskusja stałej C**Skale w kierunkach głownych** 3. Odwz, stożkowe wiernokątne Lamberta -Gaussa**Odwz, stoż, wiernopol, Alberta **Odwz. Stożk, pośr, Ptolemeusza** Odwz, stożk, pośr, Delisle'a**Odwz, stoż. Pośr. Tissota 4. Wzory cosinusowe dla boków**Wzory cosinusowe dla kątów **Wzory 5 elementów **Wysokość trójkąta sferycznego**Wzory sinusowe katów połówkowych 5. Wzory na cosinusy katow połowkowych**Pole powierzchni trójkąta sferycznego**Wzory na nadmiar sferyczny w trójkącie sferycznym **Dwukąt sferyczny**Nadmiar sferyczny **

I tw Tissota (sam tekst) Skala odwzorowawcza i zniekształcenie odwzorowawcze. K=ds'/ ds. skala liniowa , skala pól p=dp'/dp znieksz, liniowe Zl = k-1 znikształcenie polowe Zp = p-1 Zl = k-1 = ds.'/ds. -1 = ds'-ds./ds. skale liniowe w kierunkach głownych(2rys) r' = √(x')^2 + (y')^2 m = x'/x n=y'/y r' = √(mx)^2 + (ny)^2 skala liniowa w dowolnym kierunku β Kβ = r'/r = √m^2 (x/r)^2 + n (y/r)^2Kβ = √m^2cos^2β+n^2sin^2β II tw Tissota (x'/a)^2+(y'/b)^2 = 1 a=m*r b = m*r dla r=1 (x'/m)^2 + (y'/n)^2=1 skala pól p= Πab/Πr^2 = Πmnr^2/Πr^2 = m*n Maksymalne zniekształcenie kąta(rysunek) tgβ' = y'/x' tgβ = x/y y'= n*y x'= m*x tgβ' =n/m tgβ'/ tgβ = n/m tgβ'-tgβ/ tgβ'+tgβ =n-m/n+m Sinβ'cosβ - Sinβ cosβ' / Sinβ'cosβ + Sinβ cosβ' = n-m/n+m sin(β'- β) = n-m/n+m*sin (β'- β) α'-α = 180°-2β'-(180°-2β) α'-α/2 = (β'- β) sin α'-α/2 = - n-m/n+m *sin(β'- β) wyrażenie to osiaga maximum gdy β'+β= 90° sin(ω/2)max= m-n/m+n Odwzorowania płaszczyznowe ς = BP” x = ς cos λ y = ς cosλ skale liniowe w kierunkach głownych(rys) PP2= Rdφ PP1 = Rcos φ d λ p'p'2 = - d ς p'p1' =ς d λ m= P'P2'/PP2= =-d ς / Rdφ n = P'P1'/PP1 = ς d λ/ Rcos φ d λ = ς / Rcos φ Odwzorowanie gnomoniczne (rys) ς = ctg φ x = ctg φ cosλ y = ctg φ sinλ m = -dς/ Rdς = -R(-1/sin^2φ)dφ / Rdφ = 1/sin^2φ n = ς / Rcos φ = R*cosφ/sinφ // R cos φ = 1/sin^2φ p= m*n = 1/ sin^2φ sin(ω/2) = m-n / m+n = 1- sin φ / 1+ sin φ Odwz. Stereograficzne(rys) ς = 2Rtg 90-φ / 2 m = dς / Rdφ = -2R 1/cos^2(90 - φ/2) * (-1/2 )dφ // Rdφ = 1/ cos^2 (90 -φ/2) n = ς /Rcos φ = 2Rtg(90-φ/2) // Rsin 2(90-φ/2) = 2R* ((sin(90-φ/2 )/ cos(90 - φ/2)) // 2 sin(90 - φ/2) cos (90-φ/2) = 1/ cos^2(90-φ/2) p = m*n = 1cos^4 (90-φ/2) sin ω2 = m-n/m+n = 0 Odwzorowanie ortograficzne (rys) ς = Rcos φ m = - dφ/ Rdφ = -R(-sinφ)dφ / Rdφ = sin φ n = ς / Rcos φ = Rcosφ / Rcosφ = 1 p = mn = sin φ sin ω/2 = m-n/m+n = sin φ -1/ sin φ + 1 Rzut pośredni Postela (rys) m = 1 ς = Rarc(90-φ) m = - dς/ Rdφ = - R (-dφ)/ Rdφ = 1 n = ς / Rcosς = Rarc (90-φ) / Rsin (90-φ) = arc (90-φ)/ sin (90-φ) p = mn = arc (90-φ)/ sin (90-φ) Odwzorowanie płaszczyznowe wiernopolowe Lamberta m - n = 1 - d ς / Rdφ - ς / Rcos = 1 ς d ς = - R^2 cos φ d ς / ∫ ς^2 /2 = - R^2 sin φ + C ς^2 = -2R^2 sin φ + C podst, biegun(φ = 90°, ς= 0) 0 = 2R^2 + C C = 2R ^2 ς^2 = 2R^2 (1-sinφ) 1- sin φ= 2 sin^2 (90-φ/2) ς^2 = 4R^2sin ^2 (90-φ/2) ς = 2R sin(90 - φ/2 ) m= -dς/ Rdφ = -2Rcos (90-φ/2)- (-1/2) dφ // Rdφ = cos (90 - φ/2) n = ς / Rcos φ = 2 Rsin(90-φ/2) // Rsin2(90-φ/2) = 2Rsin (90-φ/2)// 2R sin (90-φ/2) cos(90-φ/2) P= cos(90-φ/2) * 1/ cos(90-φ/2) = m -n=1 sinω/2 = m-n/m+n = cos^2(90-φ/2) -1 // cos^2(90-φ/2)+1

Odwzorowania walcowe. Skale liniowe w kierunkach głownych (rys) PP2=Rdφ PP1 = Pcos φdλ P' P2' = dx P'P1' =Dy m = P' P2'/ PP2=dx/Rdφ n = P'P1' PP1 = Dy / Rcos φ d λ =1/cosφ y= Rarcλ dy = Rdλ 1 Karta kwadratów x = Rarc φ y = Rarcλ m = dx/ Rdφ = Rdφ / Rdφ = 1 n=1/cosφ p = m*n = 1/cos φ sin ω/2 = m-n/m+n = cosφ-1 / cosφ+1 2.Odwz, wiernopolowe walcowe Lamberta m*n=1 dx/Rdφ* 1/cosφ = 1 dx = Rcosφdφ / ∫ x = Rsinφ + C podst rownik(φ=0,x=0) 0=Rsin 0° +C C=0 x=Rsinφ m = dx/ Rdφ m = dx/ Rdφ = Rcosφ d φ / Rdφ = cosφ n = 1/cos φ p = m*n=1 sinω/2 = m-n/m+n = cos^2φ-1 / cos^2φ+1 3. Odwz, walcowe Mercatora dx/ Rdφ = 1/cosφ dx = R *(dφ/ cosφ / ∫ x = Rlntg(45°+φ/2)+C podst rownik(φ=0°,x=0) 0 = Rlntg45 +C 0 = R*0 +C C=0 x = Rlntg(45°+φ/2) m = dx/Rdφ = R*(dφ/cosφ) // Rdφ = 1/cosφ sin ω/2 = m-n/m+n=0 4.OdwzCassini-Soldnera dla kuli (rys)a)ogolne odwz,walcowe w połoz, poprzecznym x= ζ y = R sin (η/2) b) odwz, wiernokat,walc, w połoz, poprzecznym x=ζ y = lntg(η.2R) c)odwz, wiernoodległosc, walc, w poł, poprzecz, x = ζ y = η Odwz pseudowalcowe, Odwz Sansona-Flamsteeda (rys) x = Rarcφ y = Rarcλ cosφ Odwz, Mollweidego założenia :- odwz, jest wiernopolowe, obraz półkuli ma się zmieścić w kole a całej kuli w elipsie,, obrazy południków sa elipsami. Πr^21 = 2ΠR^2 r1 = √2 Πr1r2 =4ΠR r2 = 4ΠR^2 /√2 // ΠR√2 / √2 r2= 2R√2 r2= 2r1 rn /2r2 = R / 2ΠR rn = Pλ4R√2 / 2ΠR rn = 2Rλ√2 / Π x= (2Rλ√2/Π) cosφ' φ=f(φ) Odwz, stożkowe (rys) λ kąty m płaszczyzny południków na kuli λ' - kąty n obrazu południków na płaszczyźnie. C = λ' / λ x = ς cosλ' y = ς sinλ' (rys) λ = AD /AO1 λ ` = AD/AW AO1 = AWsinq C = λ' / λ = AD/AW // Ad/AWsinq = sinq = sin φ0 C = sinφ0 Dyskusja stałej C I . 0° ≤ sinφ0 ≤ 1° C = 0 => sinφ0 = 0 => φ0 =0° sin q= 0 q = 0° II. C=1 => sinφ0 =1 =>φ0 = 90° sinq= 1 =>q = 90° Skale w kierunkach głownych (rys) PP2 =R-dφ PP1 = R cosφdλ P'P2' = -dς P'P1' = ς d λ λ' = cλ dλ' = cdλ m = P'P2' / PP2 = -dς / Rdφ n = P'P1' /PP1 = ς d λ' / Rcos φ d λ = Cς/ Rcosφ

---