Całki krzywoliniowe skierowane
Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej
na całkę pojedyńczą.
Twierdzenie Greena.
Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 1/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Pola wektorowe na płaszczyz
nie i w przestrzeni
Polem wektorowym na obszarze D �" R2 nazywamy funkcję
wektorową F : D R2 określoną wzorem:
F (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] , gdzie (x, y) " D.
Polem wektorowym na obszarze V �" R3 nazywamy funkcję
wektorową F : V R3 określoną wzorem:
F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] , gdzie (x, y, z) " V .
Z
Y
F (x, y)
F (x, y)
O
X
O
Y
X
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 2/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Własności pól wektorowych
Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe na obszarach D lub V , to
mówimy, że
pole wektorowe F jest ciągłe na D lub V .
Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe pochodne na D lub V ,
to mówimy, że
pole wektorowe F jest różniczkowalne w sposób ciągły na D lub V .
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 3/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
A
uki skierowane
A
uk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec
(kierunek), nazywamy łukiem skierowanym. A
uk skierowany
oznaczamy tym samym symbolem co łuk. A
uk o skierowaniu
przeciwnym do łuku L będziemy oznaczamy przez -L.
Jeżeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy się
po nim w kierunku skierowania, to mówimy, że
parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub
przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są
zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, że
parametryzacja łuku jest przeciwna do skierowania (lub
przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek są
niezgodne).
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 4/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Rozważmy łuk gładki L = {r(t) : t " ą, � } o przedstawieniu
parametrycznym zgodnym z kierunkiem L.
A"
k
A0
t"
t" t" t"
t"
1 2 3 k n
ą=t0 t2 t3 . . . tk-1tk tn-1 =�
t1 . . . tn
An
"t1 "t3 "tk "tn
"t2
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 5/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
r
Oznaczenia w definicji całki skierowanej:
P = {t0, t1, t2, . . . , tn}, gdzie ą = t0 < t1 < . . . < tn-1 < tn = �
 podział odcinka ą, � na n " N odcinków;
"tk def tk - tk-1  długość k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 k n;
=
�(P) = max "tk - średnica podziału P;
1 k n
T = {t", t", . . . , t"}, gdzie t" " tk-1, tk dla 1 k n  zbiór
1 2 n k
punktów pośrednich podziału P
Ak(x(tk), y(tk)) (lub Ak(x(tk), y(tk), z(tk)))  punkty podziału łuku L
indukowane przez podział P, gdzie 0 k n;
"
A" = (x", yk) = (x"(tk), y"(tk)) (lub
k k
" "
A" = (x", yk, zk) = (x"(tk), y"(tk), z"(tk)))  punkty pośrednie łuku
k k
Ak-1Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, gdzie 1 k n;
tk
�
"lk = |r (t)| dt  długość łuku Ak-1Ak, gdzie 1 k n.
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 6/25
tk-1
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Całka krzywoliniowa skierowana
Niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku skierowanym L (L �" R2 lub L �" R3).
Całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F po łuku L
definiujemy wzorem
Ć
n
" "
P (x, y) dx+Q(x, y) dydef lim (P (x", yk) � "xk + Q(x", yk) � "yk) ,
=
k k
�(P)0k=1
L
lub
Ć
def
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
L
n
" " " " " "
lim P (x", yk, zk) � "xk +Q(x", yk, zk) � "yk + R(x", yk, zk) � "zk
k k k
k=1
�(P)0
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie
zależy od sposobu podziału P odcinka ą, � ani od sposobu wyboru
punktów pośrednich T .
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 7/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Całka krzywoliniowa skierowana
Całkę krzywoliniową skierowaną z z pola wektorowego F po łuku
L oznaczamy też symbolem:
Ć Ć
P dx + Qdy lub P dx + Qdy + Rdz.
L L
UWAGA: W zapisie wektorowym całkę krzywoliniową
skierowaną z pola wektorowego F po łuku L oznaczamy też
symbolem:
Ć
F ć% dr,
L
def def
gdzie dr = [dx, dy] lub dr = [dx, dy, dz].
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 8/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Całka krzywoliniowa skierowana po sumie łuków skierowanych
Niech łuk skierowany L będzie sumą łuków skierowanych
L1, L2, . . . , Lm, przy czym koniec łuku Lk jest początkiem łuku
Lk+1, gdzie 1 k m - 1. Ponadto niech F będzie polem
wektorowym określonym na łuku L.
Całkę krzywoliniową skierowaną z pola F po łuku L definiujemy
wzorem:
Ć Ć Ć Ć
def
F ć% dr = F ć% dr + F ć% dr + . . . + F ć% dr,
L L1 L2 Lm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 9/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Liniowość całki krzywoliniowej skierowanej
Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowych
F i G po kawałkami gładkim łuku skierowanym L, to
Ć Ć Ć Ć Ć
F + G ć%dr = F ć%dr+ Gć%dr, c � F ć%dr = c� F ć%dr,
L L L L L
gdzie c " R.
Ć Ć
Ponadto F ć% dr = - F ć% dr, gdzie -L jest łukiem
-L L
przeciwnie skierowanym do łuku L.
UWAGA: Jeżeli łuk skierowany jest zamknięty, to wtedy
� Ć
piszemy: w miejsce .
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 10/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Zależność między całkami krzywoliniowymi
Niech pole wektorowe F będzie ciągłe na łuku gładkim L. Wtedy
Ć Ć
P (x, y) dx+Q(x, y) dy = [P (x, y) cos ą + Q(x, y) cos �] dl,
L L
lub
Ć
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
L
Ć
[P (x, y, z) cos ą + Q(x, y, z) cos � + R(x, y, z) cos ł] dl.
L
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 11/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą
Jeżeli pole wektorowe F jest ciągłe na łuku gładkim L, którego
skierowanie jest zgodne z parametryzacją, to
Ć Ć�
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y)x (t) + Q(x, y)y (t)] dt,
ą
L
gdy L = {[x(t), y(t)] : ą t �} oraz
Ć
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
L
�
[P (x, y, z)x (t) + Q(x, y, z)y (t) + R(x, y, z)z (t)] dt
ą
gdy L = {[x(t), y(t), z(t)] : ą t �}.
Ć Ć�
UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: F (r) ć% dr = F (r(t)) ć% r (t) dt.
L ą
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 12/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Potencjalne pole wektorowe
Pole wektorowe F określone na obszarze D �" R2 lub V �" R3
nazywamy potencjalnym, gdy istnieje funkcja u : D R lub
u : V R , taka że
F = grad u.
Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F .
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 13/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego
Niech pole wektorowe F będzie ciągłe i ma potencjał u na obszarze
D �" R2 lub V �" R3. Wtedy
Ć
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = u(xB, yB) - u(xA, yA),
AB
gdy AB  dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku
A(xA, yA) i końcu B(xB, yB), całkowicie zawarty w obszarze D
oraz
Ć
P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz =u(xB, yB, zB)-u(xA, yA, zA),
L
gdy AB  dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku
A(xA, yA, zA) i końcu B(xB, yB, zB), całkowicie zawarty w obszarze V .
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 14/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola
(I) Niech pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób
ciągły na obszarze wypukłym D �" R2. Wówczas pole wektorowe F
jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy
"P "Q
(x, y) = (x, y), dla każdego (x, y) " D.
"y "x
(II) Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w
sposób ciągły na obszarze wypukłym V �" R3. Wówczas pole
wektorowe F jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy
"P "Q "P "R
(x, y, z) = (x, y, z), (x, y, z) = (x, y, z),
"y "x "z "x
"Q "R
(x, y, z) = (x, y, z), dla każdego (x, y, z) " V .
"z "y
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 15/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Rotacja pola wektorowego
Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w
sposób ciągły na obszarze wypukłym V �" R3.
Rotacją pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe
określone wzorem:
i j k
def
" " "
rot F = =
"x "y "z
P Q R
"R "Q "P "R "Q "P
- i + - j + - k.
"y "z "z "x "x "y
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 16/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Rotacja pola potencjalnego
Pole wektorowe F = [P, Q, R] jest potencjalne na obszarsze
wypukłym V �" R3 wtedy i tylko wtedy, gdy
rot F = 0.
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 17/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Skierowanie krzywej
Niech L będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na R2, tzn. krzywą Jordana.
Mówimy, że
krzywa L jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D, gdy
podczas ruchu po łuku L w kierunku jego skierowania obszar D leży
cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że
krzywa L jest skierowana ujemne względem swego wnętrza D.
Y
Y
L2
L1
D2
D1
O X
O X
L1 - dodatnio skierowany względem obszaru D1
L2 - ujemnie skierowany względem obszaru D2
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 18/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Twierdzenie Greena
Jeżeli
obszar domknięty D �" R2 będzie będzie obszarem normalnym
(wzgledem OX i OY )
brzeg L tego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza
pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób
ciągły na D ,
to
0 �
"Q "P
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = - dxdy
"x "y
L D
UWAGA: Wzór Greena także jest prawdziwy dla obszaru D, który
można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem
obu osi).
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 19/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Cyrkulacja pola wektorowego
Cyrkulacją pola wektorowego F po łuku zamkniętym
skierowanym L nazywamy
�
F ć% dr.
L
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 20/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych

Pole obszaru
Pole obszaru D �" R2 ograniczonego łukiem zamknietym
kawałkami gładkim L, dodatnio skierowanym względem swego
wnętrza D wyraża się wzorem:
0 0 0
1
|D| = - y dx = x dy = x dy - y dx.
2
L L L
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 21/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych

Praca w polu wektorowym
Praca w polu wektorowym F wykonana wzdłuż łuku
skierowanego L od punktu początkowego do końcowego wyraża
się wzorem:
Ć
W = F ć% dr.
L
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 22/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Zastosowania krzywoliniowych skierowanych

Ilość umownej  płaskiej cieczy"
Ilość umownej  płaskiej cieczy" przepływającej w jednostce czasu
przez łuk skierowany L wyraża się wzorem:
Ć
A = - Q(x, y)dx - P (x, y)dy,
L
gdzie v(x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] oznacza prędkość przepływu
cieczy w punkcie (x, y) tego łuku.
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 23/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Podsumowanie
Pola wektorowe na płaszczyz
nie i w przestrzeni.
Całki krzywoliniowe skierowane.
Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę
pojedyńczą.
Pewne zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych.
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 24/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009
Dziękuję za uwagę ;)
Całki krzywoliniowe skierowane  str. 25/25
Budownictwo, SEMESTR II, rok. akad. 2008/2009