Wykład nr 1
z Mechaniki Technicznej
i Wytrzymałości Materiałów
Semestr letni roku akademickiego
2011/2012
Dr inż. Michał Grodecki
[e-mail]
Politechnika Krakowska
Wydział Inżynierii Środowiska
Instytut Geotechniki
Zakład Podstaw Konstrukcji Inżynierskich
Informacje organizacyjne:
Prowadzący zajęcia:
Wykład  dr inż. Michał Grodecki, Instytut Geotechniki, Zakład
Podstaw Konstrukcji Inżynierskich, pokój 114, tel. [phone]
Http://www.pk.edu.pl/~mgrode/
[e-mail]
Ćwiczenia
mgr inż. Marcin A
abuda
Wymiar godzinowy zajęć:
15 godzin wykładu, 15 godzin ćwiczeń. Wszystkie zajęcia są
OBOWI
ZKOWE.
2/24
Zakres wykładu:
" podstawy rachunku wektorowego
" redukcja układów sił
" statyka płaskich konstrukcji prętowych (belki, ramy, kratownice)
Zalecana literatura:
S. Pyrak, K. Szulborski;  Mechanika konstrukcji dla architektów
Strony www prowadzących zajęcia
3/24
Warunki zaliczenia przedmiotu:
3 projekty
zdanie egzaminu (pisemnego)
obecność na zajęciach (ćwiczenia i wykład)
4/24
Podstawy rachunku wektorowego
Wektor  obiekt geometryczny o kierunku, punkcie zaczepienia,
a b AB
długości i zwrocie.
Y
Wektory dzielimy na:
a
ay
" swobodne
X
" związane z prostą działania
ax
" nie swobodne
(
a = axex + ayey + azez = ax,ay,az )
ex = (1,0,0)
Długość wektora
ey = (0,1,0)
L = ax 2 + ay 2 + az 2 = a
ez = (0,0,1)
Wektor równoległy do danego i mający długości =1 nazywamy
wersorem (wektorem jednostkowym)
( )
e = a / L = ax /L,ay /L,az /L
5/24
Podstawy rachunku wektorowego
Działania na wektorach
(
a = ax ,ay,az )
(
b = bx , by, bz )
Dodawanie wektorów
( ) ( ) (
c = a + b = ax,ay,az + bx,by,bz = ax + bx,ay + by,az + bz )
Mnożenie wektora przez liczbÄ™ (²  liczba rzeczywista)
(
d = a Å" ² = ax Å" ²,ay Å" ²,az Å" ² )
6/24
Podstawy rachunku wektorowego
Działania na wektorach
(
a = ax ,ay,az )
(
b = bx , by, bz )
Iloczyn skalarny
( ) ( ) (
e = a b = ax,ay,az bx,by,bz = ax Å"bx + ay Å"by + az Å"bz )
Własność - iloczyn skalarny wektorów prostopadłych wynosi 0
Iloczyn wektorowy
ëÅ‚ ay az ax ay öÅ‚
ax az
ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
f = a×b = ax,ay,az × bx,by,bz = ,- ,
ìÅ‚
by bz bx by ÷Å‚
bx bz
íÅ‚ Å‚Å‚
Własność  iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest
wektorem zerowym
7/24
Własność  wektor f jest prostopadły do wektorów a i b
Zasada równoległoboku  graficzne dodawanie
wektorów sił
Działanie sił F1 i F2 na jeden punkt leżący na przecięciu prostych
ich działania można zastąpić działaniem jednej siły będącej
przekątną równoległoboku o bokach F1 i F2
F2
F1
F2`
F1`
8/24
2
+F
1
F
Moment siły
Moment siły F zaczepionej w punkcie A względem punktu B
(bieguna B)
MB(F)= BA × F = F× AB
Y
F
A
B
X
Układ sił, jego suma i moment
n
F1 ... Fn
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
F =
S =
"F
ìÅ‚ i
A1 ... An ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
i=1
n
MB(F)=
"(BA × Fi )
i
i=1
9/24
Obliczanie składowych wektora siły i jej momentu
Przyjęto konwencję znakowania mówiącą iż moment
kręcący  w prawo ma znak dodatni
Fx=F * cos (Ä…)
a
Y
Fy=F * sin (Ä…)
F
Fy
Ä…
A
Fx
B X
MA=-Fy * a
10/24
MB=Fx * b
b
Własności układów sił
Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły to równoważą
się tylko wtedy gdy mają wspólną prostą działania, te
same wartości i przeciwne zwroty.
Skutek działania dowolnego układu sił nie zmieni się
gdy dodamy do niego lub odejmiemy układ sił
równoważących się.
Punkt przyłożenia siły można przesuwać wzdłuż
prostej jej działania.
Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości,
działające wzdłuż tej samej prostej lecz mające
przeciwny zwrot przeciwdziałanie.
11/24
Twierdzenie o zmianie bieguna
Moment układu sił względem nowego bieguna O` jest równy
sumie momentu tego układu względem starego bieguna O i
momentu sumy sił układu S (zaczepionej w punkcie O)
względem nowego bieguna O`
n
Mo`( ..Pn)=
P P
1 i
"( × AiO`)
i=1
P2
AiO`= AiO + OO`
inne
P1 siły
wektory
A1
n
A2
MO`(P1..Pn)=
"[P ×(AiO + OO`)]=
i
A1O
i=1
A2O
n n
=
"(P × AiO)+"(P ×OO`)=
i i
OO`
i=1 i=1
O
n
= MO(P1..Pn)+
O`
"(P )×(OO`)=
i
i=1
12/24
= MO(P1..Pn)+ S×OO`
Wnioski wynikajÄ…ce z twierdzenia o zmianie
bieguna
Jeżeli momenty układu sił względem 3 punktów nie leżących na
jednej prostej są sobie równe to suma układu jest wektorem
zerowym.
Mo2 = Mo1 + S×O1O2
Mo3 = Mo1 + S×O1O3
S×O1O2 = 0 Ò! S = 0 lub S || O1O2
S×O1O3 = 0 Ò! S = 0 lub S || O1O3
Punkty O1, O2 i O3 nie leżą na jednej
prostej, więc wektory O1O2 i O1O3
S
O2 nie są równoległe. Wektor sumy nie może
być do nich obydwu równoległy
O1 O3 Czyli wektor sumy musi być w takiej
sytuacji wektorem zerowym
13/24
Wnioski wynikajÄ…ce z twierdzenia o zmianie
bieguna
Iloczyn skalarny (parametr układu k)
S Mo = k
względem dowolnego punktu jest wartością stałą i nie zależy od
wyboru bieguna
M = M + S×OO`
o` o
M S = M S + (S×OO`) S
o` o
(S×OO`) S = 0 Ò! M S = M S = k
o` o
14/24
Warunki równoważności układów sił
Dwa układy sił są sobie równoważne, jeżeli mają równe sobie
sumy
i momenty względem każdego punktu.
Dwa układy sił są równoważne, jeśli mają równe sumy i
momenty względem dowolnego punktu (wystarczy względem
jednego).
Mo`(A)= Mo(A)+ S(A)×OO`
Mo`(B)= Mo(B)+ S(B)×OO`
S(A)= S(B) i Mo(A)= Mo(B)Ò! Mo`(A)= Mo`(B)
Dwa układy sił są równoważne, jeśli mają momenty względem 3
różnych punktów nie leżących na jednej prostej równe sobie.
15/24
Ważne definicje
Zerowy układ sił  suma układu i moment względem
dowolnego punktu wynoszÄ… zero
Para sił  dwie niezerowe siły przeciwne nie leżące na jednej
prostej
Zbieżny układ sił  proste działania wszystkich sił przecinają
siÄ™ w jednym punkcie.
16/24
Ważne definicje
Płaski układ sił  wszystkie siły leżą w jednej płaszczyz
nie.
Rzut płaszczyzny 

Równoległy układ sił  wszystkie siły są równoległe do pewnej
prostej
17/24
Redukcja układu sił
Redukcja układu sił  zastąpienie go równoważnym układem,
lecz prostszym (złożonym z mniejszej liczby sił).
Każdy układ sił da się zredukować do układu złożonego z
wektora sumy (zaczepionego w wybranym punkcie, zwanym
biegunem redukcji) i wektora momentu układu, obliczonego
względem wybranego bieguna. Jest to tak zwana redukcja w
punkcie. Moment można następnie zastąpić parę sił, leżącą w
płaszczyz
nie prostopadłej do niego. Parę sił można dobrać tak
by jedna z sił była zaczepiona w biegunie redukcji. Po dodaniu
jej do sumy uzyskujemy ostatecznie 2 siły skośne (do których
redukuje się układ ogólny przestrzenny).
18/24
Redukcja układu sił - przypadki
1) k< >0, M< >0, S< >0 Można tak dobrać biegun redukcji O by
wektory S i MO były równoległe  redukcja do skrętnika
2) k=0
2a) S < > 0, MO=0 Układ redukuje się do wypadkowej, czyli
wektora sumy zaczepionego w punkcie O
2b) S = 0, MO< >0 Układ redukuje się do pary sił
2c) S = 0, MO = 0 zerowy układ sił
2d) S < > 0, MO < > 0 wektory sumy i momentu sÄ… do siebie
prostopadłe, układ redukuje się do wypadkowej zaczepionej
w punkcie A tak dobranym by MA = 0 (punktu A poszukuje
siÄ™ korzystajÄ…c z twierdzenia o zmianie bieguna)
19/24
Redukcja układu sił  przypadki szczególne
1) Zbieżny układ sił  redukuje się do wypadkowej
2) Równoległy układ sił  redukuje się do wypadkowej
gdy S < > 0 lub do pary sił gdy S = 0
Oś środkowa układu sił  zbiór punktów (prosta) względem
których wektory momentu i sumy są równoległe (dla k <> 0) lub
moment jest zerowy (dla k = 0)
Równanie osi
środkowej (  dowolna
Y
liczba rzeczywista)
Oś środkowa
r()= OA +  Å"S
A
r()
O
X
S × M
O
OA =
2
S
20/24
Środek równoległego układu sił
Środek równoległego układu sił to punkt A względem którego
n
moment układu wynosi 0
F r
"
i i
i=1
OA =
n
F
"
i
i=1
Uwaga  należy
Fn
uwzględniać zwroty sił Fi
Y
rn
F1
r2
r1
O
X
F2
21/24
Statyka ciała sztywnego - założenia
Odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami są stałe
pomimo działania sił.
Równowaga ciała  ciało jest w równowadze, jeżeli nie zmienia
położenia względem przyjętego układu odniesienia.
Układ sił jest w równowadze jeżeli ciało pod jego wpływem
pozostaje w równowadze.
Jeżeli do układu sił działających na ciało pozostające w
spoczynku dodamy układ sił zaczepionych w jednym punkcie o
S=0 to równowaga ciała nie zostanie naruszona.
22/24
Podział konstrukcji
1. Prętowe (belki, ramy, słupy, kratownice, łuki, ruszty)
2. Powierzchniowe (płyty, tarcze, powłoki)
3. Objętościowe
Pręt  element konstrukcji o dwóch wymiarach znacznie
mniejszych od trzeciego wymiaru (długości).
Konstrukcje powierzchniowe  mają grubość małą w porównaniu
z wymiarami w rzucie
23/24
A
uk
Belka
Rama
SÅ‚up
Kratownica
Ruszt
PÅ‚yta
Powłoka
24/24
Tarcza