Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 1
Sygnały sinusoidalne
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
Sem. zimowy 2002/2003
2
Wstęp
wykorzystanie sygnałów do przesyłania informacji
Wykorzystanie sygnałów w telekomunikacji.
Nadawanie, odbiór lub transmisja informacji jakiejkolwiek natury,
w szczególności znaków, sygnałów, pisma, obrazów lub
dz
więków, za pomocą przewodów, fal radiowych bądz
optycznych
lub innych środków wykorzystujących energię elektroma-
gnetycznÄ….
Telekomunikacja ogranicza się do formy przesyłanych
wiadomości, pomijając ich treść merytoryczną (różnica pomiędzy
przesyłaniem informacji w systemach informacyjnych)
3
A
ańcuch informacyjny i telekomunikacyjny
4
Teletransmisja
Teletransmisja to dział telekomunikacji odpowiedzialny za
przesyłanie sygnałów telekomunikacyjnych od nadajnika do
odbiornika drogÄ… przewodowÄ… lub z wykorzystaniem fal
elektromagnetycznych.
Teletransmisję przewodową można podzielić na teletransmisję:
- kablowÄ…-miedzianÄ…
- falowodowÄ…
- światłowodową
Teletransmisja radiowa wykorzystuje radiolinie i urzÄ…dzenia radiowe
nadawczo-odbiorcze.
5
Zadania teletransmisji
Projektowania i realizacji torów teletransmisyjnych
Wielokrotnego wykorzystanie torów telekomunikacyjnych
Przeciwdziałania zakłóceniom i zniekształceniom
sygnałów - kompatybilność elektromagnetyczna (EMC)
6
Przykład przetwarzania i transmisji
sygnałów  telefonia
Informacja przekazywana jest na odległość poprzez
rozmowÄ™
7
t
8
Decybele
Decybel został wprowadzony, aby ułatwić porównywanie amplitud dwóch
sygnałów, szczególnie gdy różnica między nimi jest bardzo duża i wygodniej
jest używać wtedy miary logarytmicznej.
Stosunek amplitud dwóch sygnałów (napięcie, prąd) można wyrazić
w decybelach zgodnie z poniższym wzorem:
U
2
k [dB] = 20 log10
U
1
gdzie U2 i U1 to amplitudy porównywanych sygnałów.
Obok w tabeli 1.1 przedstawione są dla porównania liniowe i logarytmiczne
stosunki amplitud sygnałów.
9
Decybele - porównywanie mocy sygnałów
P2
k [dB] = 10 log10
P1
P2 U I
k [dB] = 10 log10 = 10 log10 2 2 =
P1 U I
1 1
2
ëÅ‚ öÅ‚
I
R I I R
= 10 log10 2 2 2 = 10 log10 2 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ =
R1I I R1 ìÅ‚ I 1 ÷Å‚
1 1
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
I
R
= 20 log10 2 ìÅ‚ 2 ÷Å‚ gdy R1 = R2
R1 ìÅ‚ I 1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
10
Decybele  przykłady
U P2
2
U
1 P1
ku kulog
kp kplog
0,1 -20dB
0,1 -10dB
0,707 -3dB
0,707 -1.5dB
10dB
10dB
1,41 3dB
1,41 1.5dB
10 20dB
10 10dB
100 40dB
100 20dB
1000 60dB
1000 30dB
11
Decybele - jednostki pochodne
Jeśli mamy jeden sygnał to również możemy jego wartość wyrazić
w decybelach. W zależności od wartości wielkości odniesienia
wyróżniamy następujące jednostki:
U P
k [dB] = 20 log10 k [dB] = 10 log10
1V 1
W
U P
k [dBm] = 20 log10 k [dBm] = 10 log10
1mV 1mW
U P
k [dBµ] = 20 log10 k [dBµ] = 10 log10
1µV 1µW
12
Klasyfikacja sygnałów
1. Sygnał i jego model matematyczny - x(t), u(t), i(t)
2. Sygnały deterministyczne i stochastyczne (losowe funkcje czasu)
3. Sygnały analogowe, dyskretne i cyfrowe
...............
11100101
Kolejne
wartości
00110110
sygnału
10100010
cyfrowego
................
Podstawową zaletą sygnału cyfrowego jest to, że nie trzeba
odtwarzać go w każdej chwili czasowej.
Umożliwia to przesyłanie różnych sygnałów w tym samym czasie za
pomocÄ… jednej linii teletransmisyjnej
13
Układy analogowe
Układy analogowe opisywane są za pomocą równań różniczkowych
lub tzw. transmitancji operatorowej Laplace a, którą można
wyprowadzić na podstawie tych równań.
14
Układy cyfrowe
......... 1100100 01011111 11010001 0000000 01011000 00000001 .........
z
Układy cyfrowe opisywane są za pomocą równań różnicowych lub
tzw. transmitancji operatorowej Z którą można wyprowadzić na
podstawie tych równań.
15
Podstawowy sygnał analogowy
t
16
Własności sygnału sinusoidalnego
x = A sin(¸ ) Ò! x (t ) = A sin[¸ (t )]
x (t ) = A sin(2Ä„f t +Ć)= A sin(É0t +Ć)
0
É0 = 2Ä„f ¸ (t ) = 2Ä„f +Ć = É0t +Ć
0 0
cos(¸ )= sin(¸ +Ä„ / 2)
sin(¸ )= cos(¸ -Ä„ / 2)
17
Wartość skuteczna sygnału
sinusoidalnego (np. prÄ…du)
T
1
2
I = i dt
+"
T
0
i (t ) = I sin(Ét +Ć)
m
I
m
I =
2
Skuteczna wartość np. prądu sinusoidalnego to taka wartość natężenia
prądu stałego, którego działanie energetyczne w każdym okresie jest
takie samo, jak dla sygnału do którego się odnosi
18
Wartość średnia sygnału sinusoidalnego
T
1
I = idt
śr
+"
T
0
i (t ) = I sin(Ét +Ć)
m
I = 0
Średnia wartość np. prądu odpowiada średniemu ładunkowi elektryczne-
mu, który przepłynął w czasie jednego okresu przez wybrany przekrój
poprzeczny przewodu.
19
x (t ) = 5 cos(2Ä„ Å" 440 Å"t -Ä„ / 4)
1
x (t ) = 3 cos(2Ä„ Å"256 Å"t -Ä„ / 3)
2
20
21
22
Podstawowe własności liczb zespolonych
z = x + jy
Re[z ] = x Im[z ] = y j = - 1
2 2
z = r = x + y
jÕ
z = re = r cos Õ + jr sin Õ
Im
x = r cos Õ y = r sin Õ
y
r
y
ëÅ‚ öÅ‚
-1
Re
Õ
Õ = tan
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
x
23
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych
z3 = z1 + z = (x1 + x2 ) + j(y1 + y )
2 2
Mnożenie liczb zespolonych
j(Õ1 +Õ2 )
z3 = z1 Å" z = (r1 Å" r2 )e
2
Dzielenie liczb zespolonych
ëÅ‚ öÅ‚
z1 ìÅ‚ r1 ÷Å‚ j(Õ1 -Õ2 )
z3 = =
z2 ìÅ‚ r2 ÷Å‚e
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej
2
Å„Å‚a2
z = x + jy = a + jb
ôÅ‚ -b = x
òÅ‚
ôÅ‚
ół2ab = y
(a + jb)(a + jb)= x + jy
24
Reprezentacja sygnału sinusoidalnego na
płaszczyz
nie zespolonej
x (t ) = 6 sin(É0t +Ä„ / 3) =
x (t ) = 6 cos(É0t +Ä„ / 3 -Ä„ / 2) =
j (É0t +Ä„ / 3) jÄ„ / 3 jÉ0t
j (É0t -Ä„ / 6) - jÄ„ / 6 jÉ0t
Im[6e ]= Im[6e e ]
Re[6e ]= Re[6e e ]
jÉ0t
jÉ0t
= Im[X Å"e ]
1
= Re[X Å"e ]
2
Im Im
jĄ / 3
jĄ / 3
6e
Im[6e ]
Dla t=0
- jĄ / 6
Re[6e ]
Re Re
- jĄ / 6
6e
Dla t =0 s
- jĄ / 3 - jĄ / 3
Im[6e ]= 6 sin(Ä„ / 3) E" 5.20 Re[6e ]= 6 cos(-Ä„ / 6) E" 5.20
25
WirujÄ…ce wektory wskazowe
26
Przykład
27
Przykład  wersja 1
28
Przykład  wersja 2
5
îÅ‚ Å‚Å‚
j Ä„
5
j 377t
6
ïÅ‚ śł
x (t ) = 10 sin(377t + Ä„ ) = Im 10e e
1
6
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
j
Ä„
j 377t
4
ïÅ‚ śł
x (t ) = 20 sin(377t + ) = Im 20e e
2
4
x (t ) = x (t ) + x (t ) ïÅ‚ śł
3 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚
5 Ä„
j Ä„ j
6 4
X = 10e X = 20e
1 2
X = -8.66 + j 5 X = 14.14 + j14.14
1 2
X = X + X = 5.48 + j19.14
3 1 2
j 1.29
X = 19.91e
3
j 1.29 j 377t
x (t ) = Im[19.91e e ]
3
x (t ) = 19.91sin(377t +1.29)
3
x (t ) = 19.91cos(377t - 0.28)
3
29
Przykład
30
Przykład
31
Przykład
32
Zadanie
Wyznaczyć x4(t) z poprzedniego zadania zakładając, że
sygnał sinusoidalny reprezentuje część urojona wektora
wskazowego (fazora).
33
Wybór sposobu reprezentacji
W dalszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmowali, że przebiegi
sinusoidalne będą reprezentowane poprzez część urojoną wirujących
wskazów zespolonych
0 j300
np.
100 sin(144t + 30 ) 100e
j 750
25 cos(1000t -150 ) = 25 sin(1000t + 750 )
25e
W elektrotechnice dodatkowo przyjmuje się moduły wskazów zespolonych
równe wartości skutecznej sygnału sinusoidalnego. Mamy wtedy konwencję
wg której:
100
0 j300
100 sin(144t + 30 ) e
2
25
j 750
25 cos(1000t -150 ) = 25 sin(1000t + 750 ) e
2
34