1. PRZESTRZEC
PROBABILISTYCZNA
Niech będą dane: niepusty zbiór &!, pewna rodzina Ł podzbioru zbioru &! i funkcja P:ŁR.
Trójkę (&!, Ł, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli Ł jest -algebrą, a P miarą probabilistyczną tzn:
a) &!=Ł
b) Jeśli A1, A2, A3, & TŁ to �" TŁ

c) Jeśli ATŁ to A =&!\ATŁ
d) Jeśli ATŁ to P(A)e"0
"
e) Jeśli zbiór A1, A2, A3, & TŁ, Ai)"Aj=" dla i`"j to P(�" )= ( )

f) P(&!)=1
2. PRAWDOPODOBIEC
STWO WARUNKOWE
(&!, Ł, P)  przestrzeń probabilistyczna, ATŁ, P(A)>0. Dla dowolnego zdarzenia BTŁ określamy jego
prawdopodobieństwo warunkowe P(B|A) wzorem P(B|A)= ( )" )
( )
3. PRAWDOPODOBIEC
STWO CAA
KOWITE
(&!, Ł, P)  przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A1, A2, & , AnTŁ spełniają warunki:
1. P(Ai)>0 dla i=1, 2, & , n
2. Ai)"Aj=" dla i`"j
3. A1, A2, & , An= &!
"
wtedy dla każdego zdarzenia BTŁ zachodzi P(B)= ( | ) " ( )

4. TWIERDZENIE BAYESA
(&!, Ł, P)  przestrzeń probabilistyczna i zdarzenia A1, A2, & , AnTŁ spełniają warunki:
1. P(Ai)>0 dla i=1, 2, & , n
2. Ai)"Aj=" dla i`"j
3. A1, A2, & , An= &!
( | )

wtedy zachodzi równość P(Ak|B)= " " ( ) , k=1, 2, & , n
( | )" ( )

5. ZDARZENIA NIEZALEŻNE
Zdarzenia A1, A2, & , An są niezależne, jeśli dla każdego podciągu Ak1, Ak2, & , Akn zachodzi:
P(Ak1)"Ak2)"& )"Akn) = P(Ak1)*P(Ak2)*& *P(Akn). Zdarzenia rozłączne A, B są niezależne "! P(A)=0 lub P(B)=0
6. ZMIENNA LOSOWA
(&!, Ł, P)  przestrzeń probabilistyczna. Zmienną losową nazywamy funkcję X określoną &!R spełniającą
warunek: {�T &!:X(�)d"x}TŁ "xTR.
7. DYSTRYBUANY ZMIENNEJ LOSOWEJ X
Funkcja FX dana wzorem FX(x)=P(Xd"x) gdzie P(Xd"x)=(P({wT &!:X(w)d"x}))
8. ZMIENNA LOSOWA O ROZKA
ADZIE DYSKRETNYM (SKOKOWYM)
Zmienną losową X nazywany zmienną losową o rozkładzie dyskretym jeśli istnieje przeliczalny zbiór K:P(xTK)=1
9. ROZKA
AD JEDNOPUNKTOWY
Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy jeśli istnieją x0TR:P(X=x0)=1, K={x0}, P(x0)=P(X=x0)=1
10. ROZKA
AD DWUPUNKTOWY
Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy jeśli istnieje x1, x2TR:pT (0,1) takie, że P(X=x1)=p, P(X=x2)=1-p
11. ROZKA
AD DWUMIANOWY (ROZKA
AD BERNULLEGO)
Schematem Bernullego nazywamy ciąg takich samych niezależnych doświadczeń, z których każde kończy się
zajściem zdarzenia A lub jego nie zajściem.
Jeśli X jest liczbą zajść zdarzenia A w ciągu n-niezależnych identycznych doświadczeń: P(A)=p to
P(X=k)= (1 - ) . Mówimy wówczas, że X ma rozkład Bernullego z parametrami n i p (ozn. X~B(n, p))

12. ROKA
AD POISSONA

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem  jeśli P(X=k) = , k=0, 1, &
!
13. ROZKA
AD GEOMETRYCZNY
Nieskończony schemat Bernullego o prawdopodobieństwie sukcesów w pojedyńczej próbie p. X  nr próby, w
której po raz pierwszy wystąpił sukces. Wówczas prawdopodobieństwo: P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1, 2, & nazywamy
rozkładem geometrycznym=czas oczekiwania na pierwszy sukces w rozkładzie Bernullego.
14. ZMIENNA LOSOWA O ROZKA
ADZIE CI
GA
YM

Zmienna losowa X na rozkład ciągły jeśli istnieje taka nieujemna funkcja f, że FX(x)= ( ) . Funckję f
+"
nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X lub jej gęstością.
Własności: Niech X ma rozkład ciągły o gęstości f. Wówczas:

a) = 1
+" ( )

b) P(X"(a, b))=P(X")=
+" ( )
c) "x TR P(x=x0)=0
15. ROZKA
AD JEDNOSTAJNY
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b) jeśli X ma gęstość postaci
1
( )
= " " ( , )
0 " ( , )
16. ROZKA
AD WYKA
ADNICZY
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem  jeśli X ma gęstość postaci
( )
= " > 0
0 d" 0
17. ROZKA
AD NORMALNY (ROZKA
AD GAUSA)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m i (ozn. X~N(m, ))jeśli ma gęstość
( )

"
( )
= "

"
18. STANDARDOWY ROZKA
AD NORMALNY

Rozkład N(0, 1) nazywamy standardowym rozkładem normalnym X~N(m, ) ł' ~ (0, 1)

19. WARTOŚĆ OCZEKIWANA (NADZIEJA MATEMATYCZNA, WARTOŚĆ ŚREDNIA, WARTOŚĆ
PRZECI
TNA)
Warością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy wielkość oznaczoną symbolem EX i określoną następująco:
1. Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym o wartościach w zbiorze k={x1, x2, & } i szereg

" "
| |P(x=xk) jest zbieżny to X = " ( = )


2. Jeśli X ma rozkład ciągły z gęstością fx i całka | | ( ) jest zbieżna to X= ( )
+" +"
20. MOMENT RZ
DU
Momentem rzędu k zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną EXk i oznaczamy mK.
21. MOMENT CENTRALNY
Momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy E((X-EX)K) oznaczamy źK
22. MOMENT CENTRALNY RZ
DU 2
Mamentem centralnym rzędu drugiego nazywamy wariancję zmiennej losowej X i oznaczamy D2X
23. ODCHYLENIE STANDARDOWE
Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym i oznaczamy DX
24. NIEZALEŻNE ZMIENNE LOSOWE
Mówimy, że zmienne losowe X, Y są niezależne jeśli "aTR, bTR zachodzi P(Xd"a, Yd" )=P(Xd" ) P(Yd" )
25. NIERÓWNOŚĆ CZYBYSZEWA

Jeśli X jest zmienną losową o wartości oczekiwanej m i wariacji �2 to P(|X-m|> )d"

26. WA
ASNOŚCI PRAWDOPODOBIEC
STWA
a) P(")=0
"
b) Jeśli zbiór A1, A2, & , AnTŁ takich, że Ai)"Aj=" dla i`"j to P(�" )= ( )

c) Jeśli A, BTŁ, A�"B to P(B\A) = P(B)-P(A)
d) Jeśli ATŁ to P(A )=1-P(A)
e) Jeśli A, BTŁ, to P(A*"B)=P(A)+P(B)-P(A)"B)
"
f) Jeśli zbiór A1, A2, & AnTŁ, to P(�" )d" ( )

g) Jeśli A, BTŁ, A�"B to P(A)d"P(B)
h) P(A)d"1 dla ATŁ
27. WZÓR WA

CZ-WYA

CZ
" ) ( )
P(�" )= ( ) - " (-1 )" & )" dla dowolnych A1, & , AnTŁ
)" + �" +

28. TWIERDZENIE O CI
GA
OŚCI MIARY PROBABILISTYCZNEJ
Jeśli (An)nTN jest wstępującą rodziną zdarzeń to P(�" T )=lim ( ).
Jeśli (An)nTN jest zstępującą rodziną zdarzeń to P(�" T )=lim ( ).
29. WA
ASNOŚCI DYSTRYBUANTY
Jeśli F jest dystrybuantą zmiennej losowej X to:
a) "xTR 0d"F(x) d" 1
( ) ( )
b) lim = 0, lim = 1
c) F jest funkcją niemalejącą
d) F jest funkcją prawostronnie ciągła tzn. granice dystrybuanty = wartość w tym punkcie tzn.
( ) ( )
"x TR lim =
e) P(ad"Xd"b)=F(b)-F(a)
( )
f) P(X=x0)=F(x0)- lim
g) Jeśli G jest funkcją spełniającą warunki b, c, d to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej
30. WA
ASNOŚCI WARIANCJI
a) D2Xe"0
b) D2X=0"! dla pewnego c"R P(X=c)=1
c) D2(aX)=a2D2X
d) D2(X+b)= D2X
e) Jeśli X, Y są niezależne to D2(X+Y)=D2X+D2Y