1. Doświadczenie losowe D:
Doświadczenie losowe D jest to pewne powtarzalne postępowanie, którego wyniku nie da
się przewidzieć z całkowitą pewnością (rzut idealną kostką sześcienną).
2. Zdarzenie elementarne:
Zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik doświadczenia losowego.
3. Przestrzeń zdarzeń elementarnych �:
Przestrzeń zdarzeń elementarnych � jest zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń
elementarnych, a wiec wszystkich możliwych realizacji (wyników) danego doświadczenia
losowego D. Przestrzeń ta może być skończona, przeliczalna nieskończona lub
nieprzeliczalna .
4. Zdarzenia losowe:
Zdarzenia losowe najczęściej oznacza sie dużymi literami: A, B, C, itd. Zdarzeniem losowym
nazwiemy zbiór zdarzeń elementarnych � oraz zbiór pusty i nie zawierający ani jednego
elementu przestrzeni �. Oczywiście zdarzeniem losowym jest także każde zdarzenie
elementarne.
5. Zdarzenie pewne:
Zdarzenie pewne to zbiór składający się ze wszystkich zdarzeń elementarnych danej
przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jest ono interpretowane jako zdarzenie, które musi
zajść.
6. Kiedy mówimy, że zaszło zdarzenie A:
Mówimy, że zaszło zdarzenie A kiedy w toku danego doświadczenia losowego D zaszło
którekolwiek (ale tylko jedno) ze zdarzeń elementarnych składających się na zdarzenie A.
7. Alternatywa C zdarzeń losowych A i B:
Alternatywa C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = AuB = A+B = A lub B. Jest to zbiór
zdarzeń elementarnych �"� takich, że każde z nich należy przynajmniej do jednego ze
zdarzeń A lub B: �"C=AuB <=> {�"�: �"A lub �"B}.
8. Koniunkcja C zdarzeń losowych A i B:
Koniunkcja C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A)"B = A.B = A i B. Jest to zbiór
zdarzeń elementarnych �"� takich, że każde z nich należy do obu zdarzeń losowych
9. Różnica C zdarzeń losowych A i B:
Różnica C zdarzeń losowych A i B. Oznaczenia: C = A-B =A\B. Jest to zbiór zdarzeń
elementarnych �"� takich, że każde z nich należy do zdarzenia losowego A i nie należy do
zdarzenia losowego B: �"C =A\B <=> { �"�: �"A i � "B}
10. Następstwo zdarzeń zdarzenia losowego:
Następstwo zdarzeń zdarzenia losowego A w B. Oznaczenia: A�"B Termin ten oznacza, że
każde zdarzenie elementarne należące do A należy również do B:
A�"B <=> (�"A => �"B)
11. Negacja zdarzenia A:
Negacja zdarzenia A. Oznaczenia: C =ą= �. Jest ono zbiorem wszystkich zdarzeń
elementarnych �"� nie należących do zdarzenia A: �"ą <=> {�"�: � "A}
12. Kiedy mówimy o rozłączności zdarzeń?
Zdarzenia A i B nazywamy rozłącznymi, jeśli ich część wspólna jest zbiorem pustym: A)"B
=#. Bardzo użyteczne są prawa de Morgana: AuB= A)"B ;A)"B = AuB.
13. Co to jest Podział Przestrzeni Zdarzeń Elementarnych?
Podział przestrzeni zdarzeń elementarnych: rodzina zdarzeń {A } t"T jest podziałem �
t
jeżeli: A )"A =#; A = �.
t1 t2 �"5�a�"5�G� t
14. Podaj Aksjomaty prawdopodobieństwa:
Aksjomaty prawdopodobieństwa:
- P(A) e"0
- P(�) = 1
"5�V�
- istnieje takie  i różne od  j , że A Ą"A = # to P( 5�4�5�V�)= 5�C�(5�4�5�V�)
i j �"5�V�
15. P(#) = 0
16. P(A)+P(B) = 1
17. P(AuB) =P(A)+P(B)-P(A)"B)
18. P(A\B) =P(A)-P(A)"B) = P(AuB)-P(B)
19. Na czym polega Interpretacja Klasyczna Prawdopodobieństwa?
Interpretacja klasyczna (Laplace a). Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wyraża sie
wzorem: P(A) = m/n,
m - liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A,
n - liczba wszystkich możliwych zdarzeń w danym doświadczeniu D.
Założenia niezbędne dla stosowania powyższego wzoru:
- Zdarzenia są jednakowo możliwe.
- Ilość zdarzeń n jest skonczona.
- Znamy liczby n i m.
20. Na czym polega Intepretacja statystyczna Prawdopodobieństwa?
Interpretacja statystyczna. Dane jest doświadczenie D. Powtarzamy go n-krotnie. Jeśli
zdarzenie A zostało zrealizowane m razy, to prawdopodobieństwo jego zajścia można
wyrazić w przybliżony sposób: P(A) H" P*(A) = m/n. Zakładamy, że w miarę wzrostu n
wartość P*(A) zbliża sie do prawdziwej (nieznanej) wartości prawdopodobieństwa P(A)
zajścia zdarzenia A.
21. Zdefiniuj pojęcie Przestrzeni Probabilistycznej.
Przestrzeń probabilistyczna doświadczenia D jest to trójka wielkości (E,Z,P). Stanowi ona
probabilistyczny opis tego doświadczenia i jest zarazem maksimum informacji, jakie na
jego temat możemy zdobyć.
22. P(A|B)=P(A)"B)/P(B)
23. Kiedy zdarzenia A i B są niezależne?
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw
zajścia tych zdarzeń: P(AB) = P(A)P(B).
24. Zdefiniuj Niezależność Zespołową n Zdarzeń.
Uogólnienie pojęcia niezależności na większa liczbę zdarzeń. Mówimy, ze zdarzenia A1,
A2,...,An są niezależne zespołowo, jeśli dla dowolnych wskaz
ników k1, k2,...,ks takich, ze
1d"k 1 2 s k1 k2 ks k1 k2 ks
26. Sformułuj Twierdzenie o Prawdopodobieństwie Zupełnym.
Prawdopodobieństwo zupełne. Jeśli
1) zdarzenia Ai, Aj są zdarzeniami rozłącznymi,
2) zdarzenia Ai wypełniają cała przestrzeń �,
3) zdarzenia Ai zachodzą z niezerowym prawdopodobieństwem,
to prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia B można w następujący
sposób wyrazić poprzez prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń Ai: P(B) =
"5�[� ( | )
5�C� 5�5� 5�4�5�V� 5�C�(5�4�5�V�)
5�V�=1
27. Sformułuj Twierdzenie Bayesa.
Twierdzenie Bayesa. Przyjmijmy znowu założenia przyjęte przy wyprowadzaniu wzoru na
prawdopodobieństwo całkowite. Wiemy, że jeśli tylko P(B)>0 oraz dla każdego j zachodzi
P(Aj)>0, to P(Aj)P(B|Aj) = P(B)P(Aj|B) Stad oraz ze wzoru na prawdopodobieństwo
całkowite (1.22) dostajemy:
5�C�(5�5�|5�4�5�W�)5�C�(5�4�5�W�) 5�C�(5�5�|5�4�5�W�)5�C�(5�4�5�W�)
5�C�(5�4�5�W�|5�5� = =
( ) 5�C� 5�5� 5�4�5�V� 5�C�(5�4�5�V�)
5�C� 5�5� "5�[� ( | )
5�V�=1
28. Co to jest Dystrybuanta zmiennej Losowej?
Dystrybuantą zmiennej losowej x nazywamy funkcję F określoną na zbiorze liczb
rzeczywistych taką, że F(x) = P(x29. Podaj własności dystrybuanty:
Własności dystrybuanty:
- 0 d" F(x) d" 1
( ) (-"
)
- 5�Y�5�V�5�Z� 5�9� 5�e� = 5�9� = 0
5�e�"
( ) ( )
5�Y�5�V�5�Z� 5�9� 5�e� = 5�9� " = 1
5�e�"
- F(x) jest funkcją niemalejącą
- F(x) jest co najmniej lewostronnie ciągła
- P(a d" x d" b) = F(b)  F(a)
- P(x=x ) = F(x )  F(x )
0 0+ 0
30. Kiedy mówimy, że Zmienna Losowa jest typu Dyskretnego?
Mówimy, że zmienna losowa x jest typu dyskretnego jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny
zbiór w = {x ,x ,& ,x ) wartości tej zmiennej losowej taki, że:
x 1 2 n
""
P(x=x ) = p >0 oraz 5�]�5�V� = 1
i i
5�V�=1
31. Co to jest Funkcja Rozkładu Prawdopodobieństwa?
Zmiany wartości prawdopodobieństwa wzdłuż osi liczbowej.
32. Jaką zmienną losową nazywamy ciągłą? Zmienna losową ciągłą nazywamy
zmienną losową x przyjmującą wszystkie wartości z pewnego przedziału, dla której istnieje
nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę F tej zmiennej losowej można przedstawić w
postaci: F(x)=+"f(t)dt; xŹ R.
f- funkcja gęstości prawdopodobieństwa ( gęstość)
33. Co to jest funkcja gęstości.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa- funkcja rzeczywista, która pozwala wyrazić
prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia B przy pomocy wartości całki
Lebesque a z tej funkcji po zbiorze B. O funkcji gęstości mówi się w kontekście rozkładów
prawdopodobieństwa na prostej jak i wielomianowej. Rozkłady mające gęstość nazywane
SA rozkładami ciągłymi. Często mówi się o gęstości zmiennej losowej w sensie gęstości
rozkładu zmiennej losowej.
35. Zdefiniuj wartość oczekiwaną (wartość przeciętną).
36. E (3*( X - 3))=3*(EX-3)
37.E( ((1/3)X)3)=(1/3)3*E(X3), bo E((CX)k)=Ck*E(Xk)
38. Co to jest mediana?
MEDIANA- wartość środkowa me
Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy Medianą.
�� próba indywidualna
o nieparzysta liczba elem.- jedna wartość środkowa
o parzysta liczba elem.- dwie wartpości środkowe
me= x(n+1)/2 n= nieparzyste
0,5*(X +X ) n= parzyste
n/2 n/2+1
�� wartość środkowa klasy:
5�X�
5�Z�5�R� = 5�K�5�Z� + " (5�[�-5�[�5�Z� - "5�Z�-1 5�[�5�W�)
5�W�=1
5�[�5�Z� 2
39. Zdefiniuj Kwantyl rzędu 0,75 dla zmiennej losowej ciągłej.
F(X )d"0,75d"F(X ), dla czmiennej losowej ciągłej: F(X =0,75
o,75 0,75+ 0,75)
Def. ogólna:
Kwantylem rzędu p nazywamy każdą liczbę spełniającą warunki F(x )d"pd"F(x )
p p+
dla z.l. dyskretnej: Ł pid"pd"Ł pi
xidla z.l. ciągłej: F(x)=p
40. Zdefiniuj Modę dla zmiennej losowej dyskretnej.
Def. ogólna: MODA(DOMINANTA) Mo
�� dla zmiennej losowej dyskretnej jest to: Punkt X dla każdego P(X ) osiąga
k k
maksimum absolutne (bez pkt. brzegowych)
�� dla zmiennej losowej ciągłej jest to: odcięta maksimum absolutnego gęstości
41. Co to jest wariancja?
Wariancja ( D2x, D2(x), Vx,12)
Def za pomocą wartości oczekiwanej:
D2x= Ł (Xi-EX)2pi z.l. dyskretna
xicWx
2
+00
( ) ( )
5�K�
+"-00 - 5�8�5�K� 5�S� 5�e� 5�Q�5�e� z.l. ciągła
własności wariancji: 1)D2(c)=0, 2) D2(ax)=a2D2X, 3) D2(X+b)= D2X, 4) D2(X)=E(X)2-(EX)2.
42. D2(3* (X -3))=32-D2X
43. Zdefiniuj Moment Zwykły rzędu r dla zmiennej losowej ciągłej.
Def. ogólna: ąr xicWx
=EXr= Ł Xi*pi z.l.dyskretna
5�_�
+00
( )
5�e� 5�S� 5�e� 5�Q�5�e� z.l. ciągła
+"-00
44. Zdefiniuj Moment Centralny rzędu r dla zmiennej losowej dyskretnej.
Def. ogólna: ąr xicWx (
=EXr= Ł Xi-ŁX)2*pi z.l.dyskretna
5�_�
+00
(5�e� ( )
+"-00 - 5�8�5�K�) 5�S� 5�e� 5�Q�5�e� z.l. ciągła
45. Zdefiniuj Rozkład Dwumianowy (Rozkład Bernoulli'ego)
Zmienna losowa K przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem n+1 wartości k,
takie że k=1,2,3,& n, z prawdopodobieństwem:
P(K=k,n,p) =(5�[�) " 5�]�5�X� " (1 - 5�]�)5�[�-5�X�
5�X�
5�[�
5�[�
( )5�[�
5�N� + 5�O� = " ( ) 5�N�5�X�5�O�5�[�-5�X�
5�X�
5�X�=0
5�[�
5�[�
( ) ( )
" 5�C� 5�>� = 5�X�; 5�[�, 5�]� = " ( ) 5�]�5�X�(1 - 5�]�)5�[�-5�X� = (5�]� + 1 - 5�]� )5�[� = 1
5�X�
5�V�=0
5�[�
( )
5�8�5�>� = " 5�X�5�C� 5�X�; 5�[�, 5�]� = 5�[�5�]�
5�X�=0
5�[�
( )
5�7�25�>� = "(5�X� - 5�[�5�]�)2 " 5�C� 5�X�; 5�[�, 5�]� = 5�[�5�]�5�^�
5�X�=0
46. Jeśli( K;n,p)=P(K;12,0.7), podaj EK= , D2K= , ko= .
�� EK=n*p=12*0,7=8,4
�� D2K=n*p*q=12*0,7*0,3=2,52, q=1-p=1-0,73=0,3
�� ko=Int((n+1)*p)
47. Zdefiniuj Rozkład Poissona.
Zmienna losowa K przyjmuje nieskończenie wiele różnych wartości k=0,1,2& n, z
P(K=k,)=(k/k!)*e- exrozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa,
wyrażającym prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie,
gdy te wydarzenia występują ze znaną średnia częstotliwością i w sposób niezależny od czasu
jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia.
48. Dla n>50 i npBernoulli'ego przez prawdopodobieństwo z rozkładu Poissona.
P(k;n,p)H"P(k; =np) gdzie:
P(k;n,p)- rozkład Bernoulliego, P(k; =np)- rozkład Poissona.
49. Podaj Funkcję Gęstości dla Rozkładu Normalnego o parametrach ź, �
Funkcję gęstości rozkładu normalnego wyraża się wzorem ( rozkład Gaussa):
2
-1
1
"(5�e�-5��)
2 212
( )
5�S� 5�e�; 5��; 1 = 5�R�
1"2�
1>0, EX=ź=x =Mo, D2X=12
0,5
50. Podaj Funkcję Gęstości dla Standaryzowanego Rozkładu Normalnego.
Standaryzowany rozkład normalny:
00 00 2
-1
1 5�e� - 5�� 1
"(5�e�-5��)
2 212
( )
+" 5�S� 5�e�; 5��; 1 5�Q�5�e� = +" 5�R� 5�Q�5�e� = 5�]�5�\�5�Q�5�`�5�a�. : = = 5�Q�5�e�
1 1
-00 -00
1"2�
00
1
1
2
= +" 5�R�- 5�b�25�Q�5�b�
-00
"2�
51. Jakiej transformacji używamy, aby przejść od Rozkładu Normalnego do
Rozkładu Normalnego Standaryzowanego?Najczęściej spotykanym sposobem
standaryzacji jest tzw. standaryzacja, którą można wyznaczyć poniższym wzorem: u=(x-
ź)/1 gdzie: x-zmienna niestandaryzowana, ź- średnia z populacji, 1- odchylenie
standardowe populacji. Patrz. pkt 50.
52. Podaj EX = oraz D2X = dla rozkładu normalnego N(-1,4).
�� EX=ź= -1
�� D2X=32=42=16
53. Podaj funkcje Gęstości dla Rozkładu Logarytmiczno  Normalnego.
1(5�Y�5�[�5�e�-5��)2
1
2 12
5�R�- ; 5�e� > 0
( )
5�S�5�?�5�A� 5�e�; 5��; 1 =
5�K�1"2�
{
0; 5�e� d" 0
55. Podaj Funkcję Gęstości dla Rozkładu gamma( Rozkładu Pearsona III typu) [-
gamma]
5���5��
5�K�5��-15�R�-5���5�� ; x>0
( ) (5�e�)
5�S� 5�e�; 5���; 5�� = {
0; 5�]�5�\�5�g�5�N� 5�a�5�f�5�Z�
56. Podaj EX= , D2X= dla rozkładu gamma o parametrach (ą,)= (2,3)
�� EX=/ą=3/2
�� D2X=/ą2=3/22=3/4
57. Co to jest populacja?Populacja- zbiór Z majacy przynajmniej jedną właściwość
wspólną dla wszystkich jego elementów kwalifikujaca je do tego zb. oraz przynajmniej
jedną właściwość ze względu na którą El. tego zbioru mogą różnić się między sobą.
58. Co to jest Próba Losowa?Próba losowa-próba otrzymana w drodze losowania
59. Jakie własności ma Próba Losowa Prosta?
Próba losowa prosta- próba losowa wylosowana z populacji w taki sposób że przed jej
pobraniem każdy podzbiór składający się z n- elementów populacji ma takie same szanse
wylosowania. Próba losowa prosta to także próba ze zmienną losową X1,X2,& Xn mają ten
sam rozkład i są niezależne zespołowo.
60. Co to jest statystka?Statystyka jest to funkcja z próby.
61. Kiedy Próbę Losową nazywamy Dużą?
Próba losowa jest duża kiedy z wystarczającą dokładnością możemy korzystać z
rozkładu granicznego.
62. Kiedy Próbę Losową nazywamy Małą?
Próba losowa jest mała kiedy do znajomości rozkładu Fz(x) niezbędna jest
znajomość rozkładu cechy X populacji.
63. Zdefiniuj Dystrybuantę Empiryczną.
Odpowiednik dokładnego rozkładu cechy X populacji.
F(x)=x ą�Femp(x)
1.Def: Niech (x1,x2, & , xn) będzie realizacją prostej próby losowej ą�
Femp(x)=(liczba El. Xi próby2.Def: Niech będzie uporządkowana prosta próba losowa
x1d"x2d"& d"xn
0 xFemp(x)= k/n x_k 1 x>xn
64. Skomentuj słowami jak rozumiemy Twierdzenie Gliwienki-Cantelliego.
Jeżeli prosta próba losowa (x1, x2, & xn) pochodzi z populacji o rozkładzie Fx(x) to
| |
5�C�(5�Y�5�V�5�Z� sup Femp(x)-Fx(x) =0)=1
x�R
n"
Supremum czyli największe wartości z |różnicy|
Granica supremum=0
65. Która funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zachowuje więcej informacji o
wylosowanej próbie: Dystrybuanta Empiryczna czy Histogram?
Dystrybuanta Empiryczna  ponieważ jest to odpowiednik dokładnego rozkładu cechy X
populacji
Histogram to tylko rozkład cechy dla próby ą� odpowiednik funkcji gęstości
ó6. Co to jest Szereg Rozdzielczy? ,
budowane w kontekście: jeśli jest liczna próba to ustalamy klasy - przedziały
67. Którą ze średnich jest Wartość średnia z Próby?
1
"5�[�
5�e� = 5�e�5�V� ��jest to średnia arytmetyczna
5�V�=1
5�[�
68. Jak wyznaczamy Medianę dla próby?
 (x /2 dla n-nieparzystych
(n+1)
me= �(x_ +x_ ) dla n-parzystych
n/2 n/2+1
!5�W�
5�Z�5�R� = 5�e� + (5�[�-5�[�5�Z� - "5�[�-1 5�[�5�W�) �� szereg rozdzielczy
5�Z� 5�W�=1
5�[�5�Z� 2
69. Jak zdefiniowana jest wariancja z próby ?
5�[�
1
( )2
5�`�2 = " 5�e� - 5�e�
5�[�
5�V�=1
Za pomocą wartości oczekiwanej:
E((X-EX)2)
"5�e�5�V�5��5�J�5�e�( - 5�8�5�K� 5�]�5�V� zmienna losowa dyskretna
5�K�5�V� )2
D2X=
"
( )2
5�K�
+"-" - 5�8�5�K� 5�S�(5�e�)5�Q�5�e� zmienna losowa
ciągła
70. Jak definiuje się Modę dla próby?
Najczęściej powtarzająca się wartość nie będąca Xmin, Xmax
Dla zmiennej losowej dyskretnej jest to:
Punkt Xk dla każdego P(xk) osiąga maksimum absolutne (bez pkt brzegowych)
Dla zmiennej losowej ciągłej jest to:
Odcieta maksimum absolutnego gęstości.
Dla szeregu rozdzielczego
! 5�[�5�Z�+1 - 5�[�5�Z�-1
5�Z�0 =  + "
5�e�5�Z�
2 2 " 5�[�5�Z� - 5�[�5�Z�-1 - 5�[�5�Z�+1
71. Do czego służy Teoria Estymacji?
1)Estymacja  szacowanie wartosci nieznanych parametrów w populacji na podstawie
próby losowej.
2)Do najważniejszych form wnioskowania statystycznego należą: estymacja(ocena)
nieznanych parametrów bądz
ich funkcji, które charakteryzują rozkład badanej cechy oraz
weryfikacja (badanie prawdziwości) postawionych hipotez statystycznych.
Z estymacją parametryczną mamy do czynienie, gdy znana jest funkcja rozkładu
prawdopodobieństwa, a poszukiwana jest tylko ocena parametrów rozkładu.
Z estymacją nieparametryczną mamy do czynienie, gdy nie są znane parametry i funkcja
rozkładu prawdopodobieństwa.
72. Kiedy mówimy o Estymacji Punktowej?
Estymacja punktowa polega na ustaleniu najbardziej prawdopodobnej wartości
poszukiwanego parametru.
Niech rozkład badanej cechy zmiennej losowej X pewnej populacji zależy od nieznanego
parametru q�. Parametr ten będziemy szacowali na podstawie n-elementowej próby
X ,ź�,X pobranej z tej populacji.
1 n
73. Kiedy mówimy o Estymacji Przedziałowej?
1)Estymacja przedziałowa określa przedział wartości, w którym z zadanym
prawdopodobieństwem mieści się wartość poszukiwanego parametru.
2)Estymacja przedziałowa polega na konstruowaniu tzw. przedziału ufnosci, w celu
szacowania nieznanej wartosc parametru Q w populacji.
Przedziałem ufnosci nazywamy taki przedział liczbowy, który z zadanym z góry
prawdopodobienstwem (1-ą), zwanym poziomem ufnosci, pokrywa nieznana wartosc
parametru w populacji generalnej.
Typowe wartosci poziomu ufnosci:0,95; rzadziej 0,90 lub 0,98; 0,99
74. Zdefiniuj Estymator Parametru g.
Jeśli wartość g statystyki Gn(x1,..,xn) możemy przyjąć jak ocenę nieznanego parametru g
populacji to taką statystykę nazywamy estymatorem parametru g.
75. Kiedy Estymator nazywamy Zgodnym?
Estymator zgodny jest to estymator, który ze wzrostem liczności próby daje coraz
mniejsze odstępstwa od prawdziwej wartości parametru, tzn.
lim P(q�Ćn -� q� <� e� ) =� 1
n��Ą�
dla dowolnie małego e�> 0.
76. Kiedy Estymator nazywamy Nieobciążonym?
Estymator nieobciążony jest to estymator, którego wartość oczekiwane dla każdego n
jest równa wartości parametru, tzn.
E(q�Ćn ) = q�.
77. Jak porównuje się Względną Efektywność Estymatorów?
Estymator najefektywniejszy jest estymatorem, którego wariancja jest najmniejsza ze
wszystkich innych.
Względna efektywność estymatorów wyraża się stosunkiem ich wariancji
*�
.
D2 (q�Ćn )
h� =�
*�*�
D2 (q�Ćn )
78. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej ź populacji, gdy cecha X
populacji ma rozkład N(ź,�) o znanym Odchyleniu Standardowym �.
" 5�� 5��� 5��
5�e� - 5�b� (1 - ) < 5�� < 5�e� + 5�b� (1 - )
2 2
5�[� 5�[�
" "
79. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wartości oczekiwanej ź populacji, gdy cecha X
populacji ma rozkład dowolny o nieznanych parametrach a Próba jest Duża.
" 5�`� 5��� 5�`�
5�e� - 5�b� (1 - ) < 5�� < 5�e� + 5�b� (1 - ) , ne"100 duża próba
2 5�[�-1 2 5�[�-1
" "
80. Zdefiniuj Przedział Ufności dla wariancji �2 populacji, gdy cecha X populacji
ma rozkład N(ź,�) o nieznanych parametrach a Próba jest Mała.
5�[�5�`�2 5�[�5�`�2
< 5��2 < , nd"50 mała próba
5��2(1-15���,5�[�-1) 5��2(15���,5�[�-1)
2 2
81. Co to jest Hipoteza Statystyczna?
Przez hipotezę statystyczną rozumiemy dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji
generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość
przypuszczenia oceniana jest na podstawie wyników próby losowej.
82. Na czym polega Weryfikacja Hipotezy Statystycznej?
 W praktyce przy weryfikacji hipotez postepujesie w ten sposób, ze oprócz
weryfikowania danej hipotezy wyróznia
sie jeszcze inna hipoteze (prosta albo złozona), zwana hipoteza alternatywna.
 Hipoteza, która chcemy sprawdzic nazywamy hipoteza zerowa i oznaczamy symbolem
H0, zashipoteze alternatywna
oznaczamy przez H1.
 Wyrózniona hipoteza H0 mozebyc prawdziwa lub fałszywa. Postepowanie, w wyniku
którego nastepujeprzyjecie
lub odrzucenie hipotezy nazywamy sprawdzaniem lub weryfikowaniem hipotezy
statystycznej.
 Weryfikacja hipotezy statystycznej składa sie z dwóch etapów: wyboru odpowiedniego
testu i ustalenia tzw. zbioru
krytycznego.
83. Zdefiniuj pojęcie Testu Statystycznego.
Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która każdej możliwej próbie
losowej pobranej z populacji generalnej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub
odrzucenia stawianej hipotezy.
84. Na czym polega Błąd I Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?
Gdy istnieją podstawy do odrzucenia H0, pomimo iż jest prawdziwa hipoteza ą� błąd
pierwszego rodzaju (ą)
85. Na czym polega Błąd II Rodzaju przy testowaniu hipotez statystycznych?
Jeśli nie ma podstaw do odrzucenia H0, akceptujemy pomimo, że może być fałszywa ą�
błąd II rodzaju (�).
86. Co to jest Hipoteza Alternatywna?
Hipoteza alternatywna H1 ą� taka hipoteza którą jesteśmy skłonni przyjąc w przypadku
odrzucenia hipotezy H0
g`"g0 ą� P(y1gy3)
g>g0 ą� P(Y87. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wartości
oczekiwanej ź populacji, gdy badana cecha X ma rozkład normalny o nieznanych
parametrach.
N(ź, �); ź, � ą� nieznane
5�e� - 5��5�\�
5�a� = "5�[� - 1
5�`�
88. Podaj Statystykę Testową dla Testu Istotności dotyczącego wariancji �2
populacji, gdy badana cecha ma rozkład o nieznanych parametrach a Próba jest
Duża
N(ź,�); ź, � ą� nieznane, Próba duża e" 50
"25�[� " 5�`�2
5�b� = - "25�[� - 3
5���2
89. Co to jest Test Zgodności?
Nazywamy test do weryfikacji hipotezy dotyczącej zgodności pomiędzy nieznanym
prawdziwym rozkładem cechy x populacji Fx(x) założonym, hipotetycznym rozkładem
teoretycznym Fteor(x).
Dla małej próby  test Kołmogorowa
Dla dużej próby -- test �2 Pearsona
90. Podaj Przedział Krytyczny dla Testu �2Pearsona.
2
(5�[�5�V�-5�[�5�]�5�V�)
S =[�2(1-ą, k-1); "] ; 5��2 = "5�X� , test Pearsona
kryt
5�V�=1
5�[�5�]�5�V�
91. Zdefiniuj statystykę Testową dla Testu Zgodności Kołmogorowa
Hipoteza Ho: Fx(x)=Fteor(x)
Femp(x)
Statystyka testowa: 5�7�5�[� = 5�`�5�b�5�]�5�e�|5�9�5�a�5�R�5�\�5�_�(5�e�) - 5�9�5�R�5�Z�5�]�(5�e�)|