Laboratorium Elektrotechniki i elektroniki LABORATORIUM � AMD2012
Temat ćwiczenia:
STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
Wprowadzenie
Przejście od jednego stanu pracy układu elektrycznego złożonego z elementów R, L, C do innego stanu
pracy, wywołany np. zmianą parametrów układu, jego struktury lub też zmianą rodzaju i charakteru wymuszeń
nie odbywa się skokowo, ale trwa pewien przedział czasu. Teoretycznie ten przedział czasu rozciąga się od
momentu początkowego aż do nieskończoności. Stan ten nazywamy stanem nieustalonym. Przejście od jednego
stanu pracy do drugiego obejmujemy wspólną nazwą  komutacja, przy czym zakłada się, że sam fakt
komutacji odbywa się w czasie nieskończenie krótkim. Każdemu stanowi pracy układu odpowiada określony
zapas energii pola elektrycznego i pola magnetycznego (w modelach obwodowych indukcyjności i pojemności
reprezentowany przez tzw. warunki początkowe, tj. prąd i0 w indukcyjności i napięcie u0 na pojemności.
Zarówno energia pola magnetycznego zgromadzona w indukcyjności oraz energia pola elektrycznego
zgromadzona w pojemności mogą zmieniać się tylko w sposób ciągły (nie skokowo), gdyż w przeciwnym
przypadku moc jako pochodna energii (szybkość jej zmian) osiągała by wartość nieskończenie dużą, co
fizycznie nie jest możliwe.
Wspomniano wyżej, że przejście od jednego stanu pracy do drugiego wymaga teoretycznie nieskończenie
dużego czasu. Praktycznie ten przedział czasu przejścia od jednego do drugiego stanu (stan przejściowy) może
być bardzo krótki, po upływie którego prądy i napięcia zbliżają się na tyle blisko wartości ustalonych, że bez
popełnienia błędu można taki stan uznać za ustalony.
Jeśli układ elektryczny nie zawiera indukcyjności oraz pojemności (jest obwodem rezystancyjnym, czyli
składa się tylko z oporności), wtedy przejście od jednego do drugiego stanu ustalonego odbywa się skokowo,
bez żadnych opóz
nień ponieważ rezystancje nie posiadaja zdolności gromadzenia energii.
Obwód składający się z elementów R, L, C może być traktowany jako obwód tylko rezystancyjny, jeśli
wymuszenia w nim działające są stałe (niezależne od czasu) oraz gdy pominiemy stan przejściowy obwodu.
Występowanie stanów przejściowych w układach elektrycznych z jednej strony jest niepożądane, czasem
niebezpieczne (np. przy zwarciach występujących w systemach energetycznych), a z drugiej strony  stan
przejściowy może być normalnym stanem pracy układu, jak to ma miejsce np. w systemach radiotechnicznych,
układach automatycznego sterowania itp.
Do analizy stanów nieustalonych zachodzących w układach elektrycznych złożonych z liniowych
i skupionych elementów R, L, C można stosować różny aparat matematyczny. W instrukcji posługujemy się
tzw. metodą klasyczną, która polega na ułożeniu (na podstawie praw Kirchhoffa i zleżności prądowo
napięciowych na elementach) równań obwodu elektrycznego. Równania te są równaniami różniczkowo-
całkowymi z czasową zmienną niezależną t. W ćwiczeniu będziemy się zajmować układami R, L, C opisanymi
liniowymi równaniami różniczkowymi drugiego rzędu. Rozwiązanie równania różniczkowego jest sumą dwóch
części. Jedną z nich jest całka szczególna równania niejednorodnego (ogólnie nazywaną składową
wymuszoną), druga zaś  całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego (składowa ta nosi nazwę
składowej swobodnej). Wartości początkowe umożliwiają wyznaczenie stałych całkowania występujących
w rozwiązaniu.
x(t) =� xs (t) +� xw(t)
gdzie: xs(t)  składowa swobodna (odpowiedz
na warunki początkowe)
xu(t)  składowa wymuszona (odpowiedz
na wymuszenie)
Rozwiązanie równania różniczkowego można również przedstawić jako sumę składowej przejściowej
i składowej ustalonej
x(t) =� xp(t) +� xu(t)
gdzie: xp(t)  składowa przejściowa
xu(t)  składowa ustalona
Składowa przejściowa ma taką własność, że dla czasu dążącego do nieskończoności zanika.
lim xp (t) =� 0
t��Ą�
Natomiast składowa ustalona ma charakter wymuszenia.
AMD
Badanie obwodów II-go rzędu - pomiary w obwodzie RLC
Obwód RLC II-go rzędu przedstawia poniższy rysunek
C
K
RL
RG
i(t) L
t0 = 0
u=uL+ uRL
uC
. uR R
e(t)
RG
.
Rys. 1. Schemat obwodu elektrycznego R, L, C drugiego rzędu
Równanie obwodu
t
di(t) 1
L +� RZ ��i(t) +� �� +� uC( 0 ) =� e(t)
��i(t)dt
dt C
0
2
d2i(t) RZ di(t) 1 1 d RZ 4
ć� ��
+� +� i(t) =� e(t) D� =� -� uR (t) =� R ��i(t)
�� ��
L dt LC L dt L LC
dt2
Ł� ł�
Przyjmujemy:
e(t) = E = const, u(0)= 0, i(0) = 0, RZ=R+RL+RG
Rozwiązanie dla D� �< 0 przebieg oscylacyjnie tłumiony
1
Wielkości obliczone teoretycznie.
uR[V]
0 . 8
2E 1
0 . 6
i(t) =� Im ��e-�ą��tsin(���t) Im =� � =� -� D�
2
L -� " 0 . 4
A
0 . 2 1
T 3T
-�a� -�a�
RZ 2p�
4 4 0
ą =� T =� A1 =� Im ��e A2 =� Im ��e
A
2
-0 . 2
2L �
-0 . 4
Wielkości obliczone z pomiarów oscyloskopem
-0 . 6
T
2 A1 2Ą -0 . 8
ą =� ln � =� Ai =� amplitudy t[ms]
-1
T A2 T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 . 8
Rozwiązanie dla D� �= 0 przebieg aperiodyczny krytyczny
uR[V]
0 . 7
E
0 . 6
i(t) =� C1 ��e-�ą��t +� C2 ��t ��e-�ą��t C1 =� 0 C2 =�
L
0 . 5
Umax
RZ 2E
0 . 4
ą =� , imax =� e-�1, Umax =� R ��imax
0 . 3
2L RZ
0 . 2
Wielkości obliczone z pomiarów oscyloskopem
0 . 1
1
a� =� t [ms]
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t1
t1
Rozwiazanie dla D� �> 0 przebieg aperiodyczny
0 . 8
uR[V]
E 0 . 7
1 2
i(t) =� C1 ��es ��t +� C2 ��es ��t C1 =� -�C2 =�
0 . 6
L D�
0 . 5
ć� �� Umax
RZ 1 1 s2
0 . 4
�� ��
s1,2 =� -� ą� D� t1 =� ln�� �� Umax =� R ��i(t1)
2L 2 s1
D� 0 . 3
Ł� ł�
0 . 2
0 . 1
t [ms]
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t1
2
AMD
Przebieg ćwiczenia
Układ pomiarowy należy połączyć zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunku 2. W układzie
pomiarowym zamiast przełącznika  K zastosowano generator fali prostokątnej. Na ekranie oscyloskopu należy
zaobserwować przebiegi czasowe w ciągu jednego okresu a następnie rozciągnąć skalę czasu na stan przejścia
napięcia wejściowego z jednego stanu do drugiego (skok napięcia).
Oscyloskop
Wy
Generator
fali prostokątnej
RG=50W�
We I
We II
Rys. 2. Schemat układu pomiarowego obwodu RLC
Na wyjściu generatora funkcyjnego należy ustawić napięcie:
- o kształcie impulsów prostokątnych i wypełnieniu 1/2,
- częstotliwości f =120 [Hz],
- amplitudzie E = 10 [V],
Zmierzyć omomierzem rezystancję cewki indukcyjnej RL[W�] przy L = 1[H],
Wstępnie ustawić wartość:
Rezystancji R = 5 [kW�]�,� �indukcyjności L = 1[H], pojemności C = 5 [nF].
Po skorygowaniu wartości R i C należy wykonać zdjęcie aparatem cyfrowym ekranu oscyloskopu oraz dokonać
pomiarów odpowiednich wielkości w zależności od badanych przebiegów.
Odczyt z oscyloskopu
Wielkości z ekranu oscyloskopu odczytuje się w działkach, najczęściej w [cm]. W celu otrzymania wartości
napięcia mierzonego sygnału należy przemnożyć wartość wyrażoną w cm przez wzmocnienie właściwe dla
danego kanału. Podobnie dla określenia czasu, odcinek odpowiadający określonemu przedziałowi czasowemu
należy pomnożyć przez podstawę czasu oscyloskopu dla danego przebiegu.
V ms
�� ł�
Em[V] =� Em[cm]�� K T[ms] =� T[cm]�� KT �� ł� (*)
ę�cmś� ę�cmś�
�� �� �� ��
Przykładowy ekran oscyloskopu wraz z opisem przedstawia rysunek 3.
Rys. 3. Odpowiedz
szeregowego obwodu RLC na skok napięcia wejściowego
3
AMD
Pomiary dla przebiegu oscylacynie tłumionego
W tabeli 1 wpisujemy nastawy wartości parametrów elementów badanego obwodu.
Tabela 1. Wartości elementów obwodu odczytane z nastaw lub zmierzone.
R[kW�] RG[W�] L[H] RL[W�] C[nF]
Pomiar oscyloskopem
Na kanale I oscyloskopu obserwujemy skok napięcia e(t), natomiast na kanale II oscyloskopu obserwujemy
napięcie uR(t) na rezystancji R. Pomiary sygnału oscylacyjnego nieco upraszczamy przyjmując,że ekstrema
przebiegu występują dla ź oraz � okresu T.
1
uR[V]
0 . 8
0 . 6
0 . 4
A1
0 . 2
0
A2
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
T
-0 . 8
t[ms]
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabela 2. Wartości sygnałów odczytane z ekranu oscyloskopu
Wzmocnienie Wzmocnienie
Podstawa czasu
napięciowe napięciowe Skok napięcia Amplituda Amplituda Okres
oscyloskopu
kanał "I" kanał "II" E[cm] A1[cm] A2[cm] T[cm]
KT[ms/cm]
KI[V/cm] KII[V/cm]
Opracowanie pomiarów
Wzory do obliczeń na podstawie pomiarów oscyloskopem.
1 A1
ln
2Ą 2 A1
Im =� A1e2 A2 � =�
ą =� ln
T T A2
Tabela 3. Wartości wyznaczone na podstawie pomiarów oscyloskopem
Wyróżnik Im Pulsacja Stała tłumienia Skok napięcia Amplituda Amplituda Okres
" [mA] E[V] A1[V] A2[V]
w�[rad/s] a� � T [m�s]
"<0
�
Wzory do obliczeń teoretycznych:
2 T 3T
-�a� -�a�
RZ 4 2E 1 RZ 2p�
ć� ��
4 4
D� =� -� , Im =� , � =� -� D�, ą =� , A1 =� Im ��e , A2 =� Im ��e , T =�
�� ��
L LC 2 2L �
L -� "
Ł� ł�
Tabela 4. Wartości zadane i obliczone teoretycznie
Wyróżnik Im Pulsacja Stała tłumienia Skok napięcia Amplituda Amplituda Okres
" [mA] E[V] A1[V] A2[V]
w�[rad/s] a� � T [m�s]
�
Błąd względny
�
d�%
4
AMD
Pomiary dla przebiegu aperiodycznego krytycznego
Przebieg aperiodyczny krytyczny uzyskamy z przebiegu oscylacyjnie tłumionego przy niezmienionej wartości L
zwiększając rezystancję R o D�R od 2 do 4 kW� �i obliczając �C z warunku D� �= 0.
W tabeli 5 wpisujemy nastawy wartości parametrów elementów badanego obwodu.
Tabela 5. Wartości elementów obwodu odczytane z nastaw lub zmierzone.
R[kW�] RG[W�] L[H] RL[W�] C[nF]
Pomiar oscyloskopem
Na kanale I oscyloskopu obserwujemy skok napięcia e(t), natomiast na kanale II oscyloskopu obserwujemy
napięcie uR(t) na rezystancji R.
0 . 8
uR[V]
0 . 7
0 . 6
0 . 5
Umax
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
t [ms]
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t1
Tabela 6. Wartości sygnałów odczytane z ekranu oscyloskopu
Wzmocnienie Wzmocnienie
Podstawa czasu
napięciowe napięciowe Skok napięcia Wartość max Czas
oscyloskopu
kanał "I" kanał "II" E[cm] Umax [cm] t1[cm]
KT[ms/cm]
KI[V/cm] KII[V/cm]
Opracowanie pomiarów
Wzory do obliczeń na podstawie pomiarów oscyloskopem:
1
a� =�
t1
Tabela 7. Wartości wyznaczone na podstawie pomiarów oscyloskopem
stała tłumienia Skok napięcia Wartość max Czas
a�[m�s-1] E[V] Umax [V] t1[m�s]
Wzory do obliczeń teoretycznych:
RZ 2ER
ą =� , Umax =� e-�1
2L RZ
Tabela 8. Wartości zadane i obliczone teoretycznie
Wyróżnik stała tłumienia Skok napięcia Wartość max Czas
D� a�[m�s-1] E[V] Umax [V] t1[m�s]
0
Błąd względny
d�%
5
AMD
Pomiary dla przebiegu aperiodycznego
Przebieg aperiodyczny uzyskamy z przebiegu aperiodyczny krytyczny przy niezmienionej wartości L
zwiększając rezystancję R o D�R = 1 kW� �oraz zwiększając �pojemność �C o D�C = 10 nF.
W tabeli 9 wpisujemy nastawy wartości parametrów elementów badanego obwodu.
Tabela 9. Wartości elementów obwodu odczytane z nastaw lub zmierzone.
R[kW�] RG[W�] L[H] RL[W�] C[nF]
Pomiar oscyloskopem
Na kanale I oscyloskopu obserwujemy skok napięcia e(t), natomiast na kanale II oscyloskopu obserwujemy
napięcie uR(t) na rezystancji R.
0 . 8
uR[V]
0 . 7
0 . 6
0 . 5
Umax
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
t [ms]
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t1
Tabela 10. Wartości sygnałów odczytane z ekranu oscyloskopu
Wzmocnienie Wzmocnienie
Podstawa czasu
napięciowe napięciowe Skok napięcia Wartość max Czas
oscyloskopu
kanał "I" kanał "II" E[cm] Umax [cm] t1[cm]
KT[ms/cm]
KI[V/cm] KII[V/cm]
Opracowanie pomiarów
Tabela 11. Wartości wyznaczone na podstawie pomiarów oscyloskopem
Skok napięcia Wartość max Czas
E[V] Umax [V] t1[m�s]
Wzory do obliczeń teoretycznych:
2
ć� ��
RZ 4 E RZ 1 1 s2
ć� ��
�� ��
D� =� -� , C1 =� , s1,2 =� -� ą� D�, t1 =� ln�� �� , Umax =� R ��i(t1)
�� ��
L LC 2L 2 s1
L D� D�
Ł� ł�
Ł� ł�
Tabela 12. Wartości zadane i obliczone teoretycznie
Wyróżnik Skok napięcia Wartość max Czas
C1[mA] s1[s-1] s2[s-1]
D� E[V] Umax [V] t1[m�s]
Błąd względny
X X X
d�%
Dla badanych obwodów należy ułożyć równanie różniczkowe. Rozwiązać równanie dla właściwych wartości
parametrów R, L, C i wymuszenia E. Otrzymane rozwiązania przedstawić w postaci analitycznej i graficznej.
Porównać przebiegi otrzymane z oscyloskopu (zdjęcia ekranu oscyloskopu) z rozwiązaniami teoretycznymi.
6
AMD
Przykładowe obliczenia numeryczne obwodu w programie Matlab
Równania stanu badanego obwodu mają postać:
d RZ 1 1
i(t) =� -� i(t) -� uC(t) +� e(t)
dt L L L
d 1
uC(t) =� i(t)
dt C
Plik funkcyjny równań stanu obwodu:
function dy=row_stanu(t,y)
global Rz L C E
dy=zeros(2,1);
dy(1)=-R/L*y(1)-1/L*y(2)+1/L*E;
dy(2)=1/C*y(1);
Plik skyptowy rozwiązań numerycznych obwodu :
global Rz L C E
Rz=4000;L=1;C=7*10^-9;E=10;
[t,y]=ode45('row_stanu',[0 0.002],[0;0]);
subplot(3,1,1)
plot(t,y(:,1)),grid on
title('przebiegi czasowe prad i(t)')
subplot(3,1,2)
plot(t,y(:,2)),grid on
title('przebiegi czasowe napiecie uc(t)')
subplot(3,1,3)
plot(y(:,1),y(:,2)),grid on
title('trajektoria')
Rozwiązanie graficzne
-4
przebiegi czasowe prad i(t)
x 10
10
5
0
-5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-3
x 10
przebiegi czasowe napiecie uc(t)
20
15
10
5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-3
x 10
trajektoria
20
15
10
5
0
-4 -2 0 2 4 6 8
-4
x 10
7
AMD
Przykładowe obliczenia obwodu w programie Mathcad
Stan nieustalony w obwodzie RLC
Przebieg oscylacyjny
L C
Rg RL
R
e(t)=E
Dane z odczytu i pomiaru
Rg :�=� 50��W� R :�=� 4000��W� L :�=� 1��H C :�=� 7 �� 10-� 9��F RL :�=� 229��W� Rz :�=� Rg +� R +� RL
Pomiary oscyloskopowe
E :�=� 8��V A1p :�=� 2100��mV A2p :�=� -�1100��mV Tp :�=� 550��10-� 6��s
Obliczenia teoretyczne
2
Rz 4 1
ć� ��
D� :�=� -� =� -�5.531�� 108
�� ��
L L��C
Ł� ł�
s2
2��E
Imax :�=� =� 6.803�� 10-� 4A
L�� -�D�
Obliczenia z pomiarów Różnice względne
Umax :�=� R ��Imax =� 2.721V
1 1 2p� 1 w� -� w�p
w� :�=� �� -�D� =� 1.176�� 104 w�p :�=� =� 1.142�� 104 d�w� :�=� ��100 =� 2.851
2 s Tp s w�
p�
T :�=� 2�� =� 5.343�� 10-� 4s
w�
Rz 1 2 A1p 1 a� -� a�p
ć� ��
a� :�=� =� 2.139�� 103 a�p :�=� ��ln =� 2.351�� 103 d�a� :�=� ��100 =� -�9.903
�� ��
2��L s Tp -�A2p s a�
Ł� ł�
uR(t) :�=� R��Imax��e-� a���t��sin(w���t)
- napięcie na rezystancji R
1 w�
ć� ��
tmax :�=� ��atan =� 1.183�� 10-� 4s
�� ��
w� a�
Ł� ł�
T
=� 1.336�� 10-� 4s
4
T A1 -� A1p
ć� ��
A1 :�=� uR =� 2.045V A1max :�=� uR (tmax ) =� 2.079V d�A1 :�=� ��100 =� -�2.699
�� ��
4 A1
Ł� ł�
3T
ć� ��
A2 :�=� uR =� -�1.155V
ć�tmax T��
�� ��
A2 -� A2p
A2max :�=� uR +� =� -�1.174V
4
�� ��
Ł� ł�
d�A2 :�=� ��100 =� 4.725
2
Ł� ł�
A2
2.5
1.25
uR(t)
0
-� 1.25
-� 2.5
8
-� 4 -� 4 -� 4 -� 4
0 2��10 4��10 6��10 8��10
t
AMD