Jak rozwiązuje się obwody ze stanami nieustalonymi
przy użyciu tzw. transformaty Laplace a
Obwód RL
Rozważmy obwód RL jak na rysunku. Szukamy prądu i napięcia na cewce
R
U
L
Jest to obwód RL z warunkami początkowymi zerowymi. Po zamknięciu wyłącznika
i zastosowaniu transformaty Laplacea powyższy obwód wygląda następująco
i(s)
R
U
L
s
s
Li(t=0)
Zwróćmy uwagę na kilka ważnych szczegółów:
U
1. Napięcie z
ródła U zmieniło się na
s
2. Cewka posiada impedancję sL
3.  Pojawia się dodatkowe z
ródło napięcia zwrócone zgodnie z kierunkiem prądu
płynącego po zamknięciu wyłącznika wprowadzające stan początkowy napięcia
równego iloczynowi Li(0); w naszym wypadku i(0)=0
1
Wyliczamy prąd jako zmienną s pamiętając , że i(0)=0
U U
U U 1
"U (s) + Li(0)
s s
i(s) = = = = =
�#
�# ś#ź#
"Z (s) R + sL R + sL s(R + sL) L sś# s - ś# - R ź#ś#
L
�# #
�# #
Dokonujemy rozkładu na ułamki proste:
-1 -1
U R 1 U 1 R U 1 U 1
�# ś# �# ś#
i(s) = = -
ś# ź# -
ś# ź#
R R
L L s L �# ś# L R s R �# ś#
�# # �# #
s - ś#- ź#
s - ś# - ź#
L L
�# # �# #
Po zastosowaniu transformaty odwrotnej otrzymujemy
R
�# - t ś#
U
ś#1- e L ź#1(t) gdzie 1(t) to skok jednostkowy
i(t) =
ś# ź#
R
�# #
Napięcie na cewce wyraża się wzoremU (s) = i(s) �" sL - i(0)L bowiem cewka przed
L
transformatą zawiera w sobie cewkę i nowo powstałe z
ródło po transformacie (patrz na
strzałki na rysunku)
U
UL
s
U (s) = i(s) �" sL - i(0)L = i(s) �" sL = �" sL =
L
R + sL R + sL
Po zastosowaniu transformaty odwrotnej otrzymujemy identyczny wynik jak w metodzie
klasycznej
R
- t
L
uL (t) = Ue 1(t)
2
Obwód RC
Mamy do rozwiązania typowy obwód RC z warunkiem początkowym zerowym
R
C
U
Po transformacji obwód wygląda następująco
I
(s)
R
1
sC
U
s
U(0)
C
s
Zwróćmy uwagę na kilka ważnych szczegółów:
U
1. Napięcie z
ródła U zmieniło się na ( jak w obwodzie RL)
s
1
2. Kondensator posiada impedancję
sC
3.  Pojawia się dodatkowe z
ródło napięcia zwrócone przeciwnie do kierunku
prądu płynącego po zamknięciu wyłącznika wprowadzające stan początkowy
UC (0)
napięcia równego
s
Wyliczamy prąd jako zmienną s pamiętając , że UC(0)=0
U UC (0)
-
U U U 1
s s
i(s) = = = =
1 1
1 R 1
ś# �# ś#
R + sR +
s�# R + s - ś#- ź#
ś# ź#
sC C
sC RC
�# # �# #
3
1
- t
U
RC
Po zastosowaniu transformaty odwrotnej otrzymujemy i(t) = e
R
Wyliczamy napięcie na kondensatorze jako sumę napięć
1 UC (0) 1 U 1 1 1 U
UC (s) = i(s) + = i(s) = = =
1
sC s sC ś# sC s2RC + s �# 1 ś# RC
�# ś#ź#
s�# R +
ś# ź# sś# s - ś# - ź#
sC
�# # RC
�# #
�# #
�# ś# �# ś#
ś# ź# ś# ź#
U RC RC 1 1
ś# ź# ś# ź#
UC (s) = - = U -
ś# ź# ś# ź#
1 1
RC s �# ś# s �# ś#
s - ś#- ź#
s - ś#- ź#
ś# ź# ś# ź#
RC RC
�# # �# #
�# # �# #
Transformując odwrotnie mamy
t
�# - ś#
RC
ś# ź#
uC (t) = Uś#1- e
ź#1(t)
�# #
Co jest również zgodne z wynikiem uzyskanym metodą klasyczną.
Obwód RL - warunki początkowe niezerowe
Dane: E; R1; R2
R
1
W chwili t=0 otwieramy wyłącznik
i
1
(rysunek poniżej). Szukana jest wartość
prądu, który popłynie w nowopowstałym
E
R2
obwodzie (po odłączeniu z
ródła E).
L
Zakładam, że będzie miał taki sam zwrot
jak i(s).
i
2
R
1
E
R
2
L
4
Stosujemy transformatę Laplace a
R
1
sL
R2
Li(0)
1
i(s)
Wyliczamy warunki początkowe
E E
i1(0) = i2 (0) =
R1 R2
Z topologii obwodu po otwarciu wyłącznika wynika , że i1 = -i2 , stąd także
i(s)1 = -i(s)2 = i(s)
Korzystamy z prawa Ohma dla impedancji
Li1(0) i1(0) i1(0)
i1(s) = = =
R1 + R2
R1 + Rr
R1 + R2 + sL �# ś#
+ s - ś#-
s
ź#
L
L
�# #
Stosując transformatę odwrotną otrzymujemy
R1+R2
- t
L
i(t) = i1(0)e
i(t) = i1(t) = -i2 (t)
5