8. RÓwnania ruchu pŁynÓw lepkich
8.1. Związek między naprężeniami i odkształceniami

Rozważając ruch płynu rzeczywistego musimy uwzględnić siły powierzchniowe
spowodowane występowaniem lepkości płynu. Wpływ lepkości przejawia się nie
tylko przez powstawanie naprężeń stycznych (rozdz.1.3), ale także przez zmianę
wielkości naprężeń normalnych, w porównaniu z ich wartościami w przypadku ruchu
płynu doskonałego.




Rys. 8.1


W celu określenia stanu naprężenia w punkcie wytniemy z poruszającego się
płynu prostopadłościenny element o bokach (rys. 8.1). Na każdą ściankę tego
elementu działa ciśnienie statyczne oraz trzy składowe naprężenia: jedna
normalna i dwie styczne. Naprężenie normalne powstałe w wyniku ruchu płynu i
działania sił lepkości oznaczamy przez s, a styczne przez t. Każdy symbol
naprężenia zaopatrzony jest w dwa indeksy: pierwszy oznacza kierunek normalny
do rozpatrywanej powierzchni, drugi zaś kierunek osi, na którą rzutowana jest
dana składowa. Stan naprężeń w płynie lepkim określa więc ciśnienie p i
dziewięć funkcji skalarnych:

(8.1)

Napiszemy równanie momentów sił działających na rozważany elementarny
prostopadłościan względem osi równoległej do osi y i przechodzącej przez środek
S prostopadłościanu (rys. 8.2). Otrzymamy



W granicy, gdy wymiary elementu dążą do zera, uzyskamy zależność

(8.2)

W analogiczny sposób można wykazać również równość pozostałych dwu par
naprężeń stycznych:

(8.3)

niezależnych jest więc tylko sześć składowych naprężeń (8.1).




Rys. 8.2



*
Uogólniając wzór Newtona (1.6) określimy obecnie wielkości naprężeń stycznych,
jako proporcjonalnych do odpowiednich prędkości odkształceń kątowych elementu
płynu. Na podstawie wzoru (3.28) mamy

(8.4)

gdyż odkształcenie elementu przedstawionego na rys. 3.4 zostało spowodowane
działaniem pary naprężeń stycznych:(rys. 8.3).




Rys. 8.3


Pozostałe naprężenia styczne wyrażają się wzorami:

(8.5)

W celu wyznaczenia naprężeń normalnych za pomocą prędkości odkształceń
postaciowych i prędkości odkształceń objętościowych (3.25) rozważymy równowagę
elementu w kształcie klina (rys. 8.4), pomijając siły masowe i siły
bezwładności jako wielkości proporcjonalne do objętości elementu (rozdz. 2.1).
W rozdziale 2.1 udowodniliśmy, że siły pochodzące od ciśnienia statycznego są
ze sobą w równowadze; wynika stąd, że również siły powierzchniowe spowodowane
występowaniem lepkości płynu muszą być ze sobą w równowadze. Pisząc równania
rzutów tych sił na kierunki osi x oraz z :






Rys. 8.4





po wykorzystaniu wzoru (8.2) i zależności:



otrzymujemy układ równań:



z którego obliczamy

(8.6)

Naprężenie styczne zapisujemy w postaci analogicznej do wzorów (8.4) � (8.5)

(8.7)

Wykorzystując zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi i prędkościami
w układziei układzie obróconym



obliczamy pochodne:







i po ich podstawieniu do (8.7) otrzymujemy

. (8.8)

Z porównania wzorów (8.6) i (8.8) uzyskujemy związek



który możemy przepisać w następującej postaci uogólnionej

(8.9)

Z zsumowania powyższych równości stronami wynika wzór na stałą C

(8.10)

gdyż wobec faktu, że jest wielkością niezależną od przyjętego układu
współrzędnych (wyraża prędkość względnego przyrostu objętości) musi znikać
średnia wartość normalnych naprężeń lepkich ponieważ ciśnienie statyczne p
przyjęliśmy już jako funkcję skalarną charakteryzującą stan naprężeń w płynie
lepkim.
Podstawiając wartości stałej C do zależności (8.9) wyznaczymy naprężenia
normalne

(8.11)




(8.11cd.)

W ten sposób uzyskaliśmy związki między wszystkimi naprężeniami (8.1),
a prędkościami deformacji (3.25) - zgodnie z uogólnieniem hipotezy Newtona,
zapro-ponowanym przez Stokesa. Obowiązują one w izotropowym płynie
newtonowskim, nie zależą od orientacji układu współrzędnych i wyrażają warunek
znikania wszyst-kich naprężeń lepkich w przypadku, gdy prędkość płynu jest
równa zeru w całym rozpatrywanym obszarze płynnym.


8.2. Równanie Naviera-Stokesa

Uwzględniając w równaniach Eulera (4.1) siły spowodowane występowaniem
lepkości płynu, otrzymujemy najbardziej ogólne równania ruchu płynów lepkich,
które wynikają z zasady zachowania pędu. Zgodnie z rysunkiem 8.1 rzuty tych sił
na kierunek osi x są następujące



Analogiczne równania można napisać dla kierunków osi y i z.
Po uwzględnieniu w równaniach (4.1) wszystkich sił powierzchniowych
występujących w płynie lepkim, równania ruchu płynu przyjmują postać:

(8.12)

Równania nazywane równaniami Naviera-Stokesa* [*) wielu autorów nazywa
równaniami Naviera-Stokesa tylko równania opisujące ruch płynu newtonowskiego o
stałej lepkości]) otrzymamy po podstawieniu zależności określających naprężenia
styczne (8.4) - (8.5) oraz naprężenia normalne (8.11):

(8.13a)

(8.13b)

(8.13c)

Układ równań Naviera-Stokesa można również przedstawić w formie rozwiniętej,
wyrażając pochodne substancjalne składowych prędkości za pomocą pochodnych
lokalnych i konwekcyjnych (3.11)

(8.14)

Znaczne uproszczenie równań Naviera-Stokesa (8.13) uzyskamy rozważając ruch
płynu o stałej lepkości

(8.15)

Po nieskomplikowanych przekształceniach otrzymujemy układ równań:

(8.16)

który można zapisać również w postaci wektorowej

(8.17)

gdzie jest operatorem Laplaceła.



8.3. Równanie zachowania energii

Równanie zachowania energii wynika z zastosowania pierwszej zasady
termodynamiki do dowolnej części płynu, wyodrębnionej przez obszar płynny.
Orzeka ona, że zmiana energii całkowitej płynu, składającej się z energii
kinetycznej i energii wewnętrznej, jest równa mocy sił masowych i
powierzchniowych oraz strumieniowi ciepła doprowadzonego do obszaru

(8.18)

Energia kinetyczna elementu płynu o objętości (rys. 8.5) jest równa jego
energia wewnętrzna (wiążąca się z energią ruchu cieplnego cząsteczek i atomów)
zatem zmianę energii całkowitej można zapisać w postaci

(8.19)

gdyż
Moc siły masowej może być wyrażona w postaci iloczynu skalarnego

(8.20)




Rys. 8.5


W celu obliczenia mocy sił powierzchniowych rozpatrzymy ciśnienie i naprężenia
działające na ścianki: przednią i tylną elementu płynu (rys. 8.5). Wprowadzając
wektor sił powierzchniowych

(8.21)

po pominięciu małych wyższego rzędu - znikających w granicy, gdy średnica
elementu dąży do zera - otrzymamy



moc wszystkich sił powierzchniowych jest więc następująca



(8.22)