Na mocy wzoru o różniczkowaniu całki o zmiennych granicach wyprowadzamy
zależności:





które po dodaniu stronami zezwalają na uzyskanie następującego związku



(8.61)

gdyż prędkości elementów oleju znajdujących się na powierzchniach i są
określone pochodnymi substancjalnymi funkcji (8.54)



i muszą spełniać na tych powierzchniach warunki kinematyczne

.

Uśredniając również gęstość w przekroju poprzecznym filmu olejowego, po
podstawieniu wyrażeń określających składowe prędkości (8.59) do związku (8.61),
otrzymamy znane równanie Reynoldsa



(8.62)



Dołączając do tego równania uproszczone równanie energii, np.

,

równanie stanu oraz zależności dla lepkości i przewodności cieplnej otrzymamy
zamknięty układ równań dla ciśnienia i temperatury. Pozostaje jeszcze problem
przyjęcia odpowiednich warunków brzegowych, które muszą określać rozkład
ciśnienia (lub jego gradientu) na granicy filmu smarnego oraz rozkład
strumienia ciepła na powierzchniach



ĆWICZENIA

Przykład 8.1. Sformułować zagadnienie jednowymiarowego ruchu powietrza
znajdującego się w obszarze ograniczonym dwiema równoległymi ściankami. Jedna
ścianka jest nieruchoma, natomiast druga porusza się w kierunku normalnej z
prędkością określoną zależnościami



w których , b i są znane. Droga ruchomej ścianki i obszar W wypełniony
powietrzem zostały przedstawione schematycznie na rys. 8.7.
Powietrze w chwili początkowej jest w stanie spoczynku i zadane są jego
parametry spiętrzenia. Temperatura obu ścianek, równa temperaturze spiętrzenia
powietrza, jest jednakowa i stała w czasie. Pomijamy zewnętrzne pole sił
masowych, a powietrze traktujemy jako gaz doskonały w sensie termodynamicznym.

W rozważanym zagadnieniu występują cztery funkcje niewiadome:



które przy przyjętych założeniach są określone następującym układem równań:










Rys. 8.7




Układ równań uzupełnimy warunkami początkowymi:



oraz warunkami brzegowymi:



przy czym oraz są znane.
Warto zwrócić uwagę na fakt, że w warunkach brzegowych i początkowych nie
występuje ciśnienie oraz, że w warunkach brzegowych nie występuje gęstość.


Przykład 8.2. Ciecz lepka przepływa pod działaniem stałego ciśnienia między
dwiema poziomymi nieograniczonymi płaszczyznami znajdującymi się w odległości 2
h jedna od drugiej (rys. 8.8). Określić rozkład prędkości w cieczy.

Zakładamy, że rozważany ruch jest ustalonym ruchem płaskim, w którym
przyjmujemy ponadto Vy = 0. Z równania ciągłości oraz równania (8.49c) wynika
zatem,





Rys. 8.8


że oraz ruch cieczy opisuje więc równanie różniczkowe zwy-czajne



uzyskane z równania Naviera-Stokesa (8.49b). Rozwiązanie tego równania możemy
zapisać w postaci

,

przyjmując następujące warunki brzegowe:



W szczególnym przypadku, gdy otrzymujemy tzw. płaski przepływ Poiseuilleła
(rys. 8.9a), gdy zaś i - przepływ Couetteła (rys. 8.9b).




Rys. 8.9



Przykład 8.3. Zbadać w polu sił ciężkości ruch warstwy cieczy lepkiej o
grubości - ograniczonej od góry powierzchnią swobodną, a od dołu nieruchomą
płaszczyzną, nachyloną do poziomu pod kątem

We współrzędnych prostokątnych mierzonych - odpowiednio - wzdłuż nie-ruchomej
płaszczyzny i w kierunku normalnym do niej, składowe sił masowych są równe:



Po przyjęciu takich samych założeń jak w przykładzie poprzednim dla płaskiego
przepływu Couetteła, równania ruchu sprowadzają się do następującego układu
równań różniczkowych zwyczajnych:



Rozwiązania tego układu równań:



dla warunków brzegowych:



są następujące:



Obliczymy jeszcze wydatek objętościowy i średnią prędkość przepływu:










Przykład 8.4. Ciecz lepka płynie w poziomej nieograniczonej rurze o przekroju
kołowym (rys. 8.10) pod działaniem stałego gradientu ciśnienia. Określić
rozkład prędkości w cieczy, współczynnik Coriolisa (5.20) i współczynnik strat
liniowych l, przy pominięciu pola sił masowych.



Rys. 8.10


Zakładamy, że ruch w rurze jest ruchem ustalonym, prostoliniowym i
osiowosymetrycznym; zatem jest



Z równania ciągłości oraz równania Naviera-Stokesa (8.38) wynika, że składowa
prędkości nie zmienia się wzdłuż osi rury, a ciśnienie jest stałe w
poszczególnych przekrojach poprzecznych:



Po tych uproszczeniach z równania Naviera-Stokesa zapisanego dla kierunku osi z
pozostaje tylko równanie różniczkowe zwyczajne



które może być spełnione tylko wówczas, gdy jego obie strony równają się
wspólnej stałej:





We współrzędnych walcowych (r, q, z), przy założeniu osiowej symetrii ruchu,
równanie dla składowej jest następujące (rozdz. 12.5)



Jego całką ogólną jest wyrażenie



z którego po spełnieniu warunków, aby prędkość V była ograniczona i znikała na
ściance, otrzymamy ostatecznie rozkład prędkości



Znając rozkład prędkości możemy wyznaczyć wydatek objętościowy cieczy
prze-pływającej przez przewód - prawo Hagena i Poiseuilleła



gdzie:



i następnie obliczamy:

1) prędkość średnią



2) współczynnik Coriolisa a (5.20)





3) współczynnik strat liniowych l (5.24), po określeniu zgodnie ze wzorem
(5.22)





Przykład 8.5. Przestrzeń pomiędzy dwoma współosiowymi cylindrami wypełniona
jest cieczą, której współczynnik lepkości kinematycznej jest równy n, a gęstość
r. Promienie cylindrów wynoszą odpowiednio: i
a. Zbadać rozkład prędkości cieczy, jeżeli cylindry zgodnie wirują ze stałymi
prędkościami kątowymi i (rys. 8.11a).
b. Wyznaczyć prędkość oraz ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy, jeżeli nie ma
wewnętrznego cylindra, a cylinder zewnętrzny o promieniu R obraca się ze stałą
prędkością kątową w.
c. Określić prędkość oraz ciśnienie, jeżeli nie ma cylindra zewnętrznego, a
cylinder wewnętrzny o promieniu R wiruje ze stałą prędkością kątową w.
d. Obliczyć moment obrotowy, działający na walec wewnętrzny o promieniu i
długości L, znajdujący się w wiskozymetrze Couetteła (rys. 8.11b). Cylinder
zewnętrzny wiskozymetru o promieniu obraca się ze stałą prędkością kątową w.

W rozważanym przypadku:



oraz:



zatem równania ruchu, w układzie współrzędnych cylindrycznych, redukują się do
następujących zależności:

, (8.63)

. (8.64)







Rys. 8.11


a. Całką ogólną równania (8.64) jest funkcja

, (8.65)

przy czym stałe i wyznaczamy z warunków brzegowych:


czyli:
(8.66)





(8.66cd.)

Z zależności (8.66) wynika, że:



a po podstawieniu stałych do równania (8.65) otrzymujemy funkcję rozkładu
prędkości

. (8.67)

b. Jeżeli nie ma wewnętrznego cylindra, to w rozwiązaniu ogólnym (8.65) stała
, gdyż w przeciwnym razie prędkość V w osi cylindra miałaby wartość
nieskończenie dużą. W związku z tym

,

gdzie dla r = R

;

stąd:



a zatem

(8.68)

Podstawiając wzór (8.68) do równania (8.63) otrzymujemy



a po scałkowaniu

.
Zakładając, że w osi cylindra panuje ciśnienie atmosferyczne wyznaczamy stałą
całkowania, a wtedy dla r = 0: czyli przeto ciśnienie

. (8.69)

c. Gdy nie ma cylindra zewnętrznego, wówczas w równaniu (8.65) stała w
przeciwnym razie byłoby dla zatem

,
przy czym dla r = R



czyli:



stąd

. (8.70)

Po podstawieniu wzoru (8.70) do równania (8.63) otrzymamy

,

skąd po scałkowaniu dostajemy

.

Dla jest czyli a zatem

. (8.71)

d. Naprężenia styczne w cieczy określa następująca zależność

,

wobec tego po podstawieniu wzoru (8.67) i zróżniczkowaniu uzyskamy



Ponieważ:



zatem

.

Moment obrotowy w wiskozymetrze wynosi



gdzie



zatem


; (8.72)

stąd obliczamy współczynnik lepkości kinematycznej

.

Z wyprowadzonego wzoru (8.72) wynika, że moment obrotowy nie zależy od
zmiennego promienia r. Wobec tego jego wartość jest taka sama zarówno dla walca
wewnętrznego, jak i dla wirującego cylindra.



Przykład 8.6. Lepka, nieściśliwa ciecz zajmuje półprzestrzeń y > 0 i styka się
ze ścianką y = 0. W chwili początkowej t = 0 ciecz i ścianka są w spoczynku.
Dla
t > 0 ścianka y = 0 porusza się jednostajnie z prędkością V wzdłuż osi x.
Określić pojawiający się przy tym przepływ cieczy.


Szukamy rozwiązania w postaci:



Równanie ciągłości jest spełnione tożsamościowo. Składowe wektora wi-rowości
wynoszą:

,

dlatego równanie (8.40) przyjmuje postać:



Dla zarówno funkcja jak i jej pochodne powinny dążyć do zera, dlatego i

. (8.73)

Funkcja powinna spełniać warunki:

(8.74)

Zauważmy, że równanie (8.73) i warunki (8.74) są niezmiennicze względem grupy
przekształceń afinicznych: , gdzie a jest dowolną stałą. Stąd wynika, że jeżeli
jest rozwiązaniem, to także funkcja jest rozwiązaniem tego zagadnienia.
Na mocy jednoznaczności rozwiązania zagadnienia mamy



dla dowolnego a. Stąd w szczególności wynika, że , więc