Przedziały ufności
Przykład 1  duża próba
Waga noworodka ma rozkład normalny o wariancji 0, 25 kg2. Zważono 100 noworodków i okazało się, że
średnia waga wyniosła 3,5 kg. Wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej wagi noworodka na
poziomie ufności 95%.
2
Czyli 1-Ä… = 0,95, n = 100 oraz x = 3,5kg i s2 = 0,25kg czyli s = 0,5kg
0,95
Ś(tą) = = 0,475 to tą odczytane z tablic rozkładu normalnego wynosi 1,95
2
wstawiamy wszystkie elementy do wzoru
0,5 0,5
3,5 -1,95 < m < 3,5 +1,95 po obliczeniach 3,4025 < m < 3,5975
100 100
Noworodki ważą średnio od 3,4 kg do 3,6 kg na poziomie ufności 0,95.
Przykład 2  mała próba
Dwudziestu losowo wybranych pracowników pewnego dużego przedsiębiorstwa sprawdzono pod względem
liczby opuszczonych w ostatnim roku dni pracy. Okazało się, że średnia liczba dni nieobecności wynosi 10,6
dni natomiast odchylenie standardowe jest równe 5,04 dnia.
Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0,95.
Budujemy przedział ufności dla wartości oczekiwanej, używając rozkładu Studenta, bo mała próba n = 20.
Dla ą =0,05, z rozkładu Studenta dla n-1 = 19 stopni swobody odczytujemy wielkość 2,093.
x = 10,6dni i s = 5,04dnia
Podstawiamy do wzoru
5,04 5,04
10,6 - 2,093 < m < 10,6 + 2,093 po obliczeniach 8,18 < m < 13,02
19 19
Można oczekiwać, że liczba opuszczonych dni będzie zawierała się w przedziale od 8 do 13, na poziomie
ufności 0,95
Przykład 3  duża próba (przedział dla procentu)
Wylosowano 148 ziaren pszenicy i zbadano procent ziaren kiełkujących, wynoszący 70%. Znalez
ć 99%
przedział ufności dla procentu.
X 0,99
1-ą = 0,99, n = 148 oraz = 0,7 a także Ś(tą) = = 0,495 czyli tą = 2,60
n 2
Podstawiamy do wzoru
0,7(1- 0,7) 0,7(1- 0,7)
0,7 - 2,60 < p < 0,7 + 2,60 po obliczeniach 0,60 < p < 0,80
148 148
Można spodziewać się, ze przeciętnie wykiełkuje od 60 do 80% ziaren z prawdopodobieństwem 0,99.
Minimalna liczebność próby
2
tÄ…Ã2
n =
2 (1)
d
Przykład 1
Należy oszacować średnią liczbę klientów w sklepach województwa dolnośląskiego.
Wyznaczyć jaka powinna być duża próba potrzebna do obliczenia przeciętnej liczby klientów x z błędem
szacunku równym 10 klientów, na poziomie istotności 0,05 (poziom ufności 0,95).
Ponieważ nie znane jest à należy wyznaczyć s, z próby pilotażowej.
Wylosowana wstępna próbka liczy n0=10 sklepów.
Liczbę klientów w wylosowanych sklepach zawarto w tabeli poniżej
Tabela 1. Liczba klientów w badanych sklepach
Nr sklepu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 suma
liczba klientów w sklepie 300 200 300 400 100 500 600 400 300 200 3300
y
ródło: dane umowne.
Średnia liczba klientów w sklepie wynosi 330. Wariancja jest równa 141,772 = 22333,33.
Z tablic Studenta dla n  1 = 9 stopni swobody i Ä… = 0,05 odczytujemy t = 2,262.
2,2622141,772
n = = 1142,7
Stąd . Ponieważ n = 1143 > 10 = n0 to oprócz 10 sklepów już wylosowanych
102
należy jeszcze wylosować 1133 sklepy.
Przykład 2
Należy oszacować średni ubytek masy warzyw (w gramach) w wyniku przetrzymywania ich na półkach
sklepowych. Wyznaczyć ile należy przeprowadzić doświadczeń, aby na poziomie istotności
ą = 0,05 oszacować średnią masę ubytku z błędem maksymalnym 0,01 grama, jeśli próba wstępna o
liczebności n0 = 5 dała następujące wyniki (w g): 2.10; 2,12; 2,12, 2,16; 2,10.
10,6 0,0024
Åšrednia masa ubytku wynosi x = = 2,12 [g], oraz s2 = = 0,0006 [g2].
5 5 - 1
2,77620,0006
Dla 4 stopni swobody i dla ą = 0,05 wartość = 2,776 zatem . Ponieważ n
tÄ…
n = = 46,38 H" 47
0,012
= 47 > 5 = n0 należy dolosować jeszcze 42 pomiary ubytku masy warzyw.
Przykład 3
Na poziomie istotności 0,05 (współczynnik ufności 0,95) oraz z błędem nie przekraczającym 10 gramów
należy oszacować średnią wagę sprzedawanych siatek z jabłkami, jeśli wiadomo z uprzednio dokonanych
badań, że odchylenie standardowe wagi siatki jabłek wynosi 45 gramów. Ile należy wylosować siatek?
Minimalna wielkość próby obliczona na podstawie wzoru (1) wynosi:
2
tÄ…Ã2 1,962452
n = = = 78
. Zatem do próby należy wylosować nie mniej niż 78 siatek jabłek.
2
d 102
Przykład 4
Zbadać ilu należy wylosować do próby studentów pewnej uczelni, aby oszacować procent studentów tej
uczelni palących papierosy, z maksymalnym błędem 5% oraz na poziomie ufności1-ą = 0,90. Przypuszcza
się, że szacowana frakcja palących studentów jest rzędu 70%.
Ten przykład dotyczy ustalania wielkości próby dla wskaz
nika struktury (frakcji, odsetka, procentu,
prawdopodobieństwa sukcesu), gdzie p - jest frakcją elementów wyróżnionych w populacji (tu palących
studentów).
W przykładzie tym znany jest spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji p (70%). Niezbędną
liczebność próby potrzebną do oszacowania parametru p (tak by przy współczynniku ufności 1-ą
maksymalny błąd szacunku wskaz
nika struktury p nie przekroczył danej z góry liczby d) ustalamy według
wzoru:
2
tÄ…pq
(2)
n =
2
d
gdzie p - spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji, wyrażony jako ułamek właściwy.
W naszym przykładzie p = 0,7. Wielkość q = 1- p = 0,3. Natomiast dopuszczalny maksymalny błąd
szacunku frakcji p, wyrażony jako ułamek właściwy d = 5% = 0,05. Wartość
tą odczytana z tablic rozkładu
normalnego N(0; 1) dla współczynnika ufności 1-ą jest równa 1,64.
Wyznaczona próba ma więc liczebność
1,642 Å" 0,7 Å" 0,3 0,5648
n = = H" 226.
0,052 0,0025
Należy zatem wylosować 226 studentów.
Jeśli nie jest znany rząd wielkości szacowanego parametru p wtedy zakłada się, że
1
p = q = a wzór (2) przybiera następującą postać:
2
2
tÄ…
n = (3)
2
4d
Przykład 5
Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka zakładów, które wydają
na reklamę kwartalnie nie więcej niż 10 tys. zł z maksymalnym błędem szacunku równym 2%, na poziomie
ufności 1-ą = 0,99.
W zadaniu nie ma żadnych informacji o rzędzie wielkości szacowanego procentu.
0,99
Zatem Åš(tÄ… ) = = 0,495Ò!tÄ… = 2,6 (z tablic rozkÅ‚adu normalnego)
2
stÄ…d:
2,62
n = = 4225 Należy wylosować 4225 zakładów.
4 Å" 0,022