Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

1

Estymację dzielimy na punktową i przedziałową. Ogólna idea estymacji polega na konstrukcji tzw. estymatorów,

które możliwie dobrze przybliżają wartość nieznanego parametru dla całej zbiorowości generalnej. Estymatorem jest

pewna statystyka z próby, której rozkład zależy od szacowanego parametru. Spośród możliwych estymatorów wybiera

się ten, który jest najbardziej optymalny, a dokładniej – spełnia własności zgodności, nieobciążoności, efektywności i

wystarczalności.

Konstrukcja przedziałów ufności jest związana z procedurą estymacji przedziałowej. Celem jest tutaj znalezienie

takiego przedziału, do którego z prawdopodobieństwem 1-

α należy nieznana wartość szacowanego parametru.

Parametr oznaczamy

θ, zaś estymator T

n

. Ogólnie przedział ufności zapisać można jako:

f

1

(T

n

) <

θ < f

2

(T

n

),

a prawdopodobieństwo:

P{f

1

(T

n

) <

θ < f

2

(T

n

)} = 1-

α.

1-

α jest miarą zaufania, współczynnikiem ufności;

Im większą przyjmuje wartość tym większe zaufania, ale jednocześnie tym szerszy przedział ufności. W praktyce

najczęściej 1-

α jest równe 0,9; 0,99; 0,95. α - nazywamy poziomem istotności.

Z rozpiętością przedziału wiąże się precyzja oszacowania – im węższy przedział tym większa precyzja. Precyzję

oznaczamy przez d (jest to połowa rozpiętości przedziału ufności). Im większa wiarygodność tym mniejsza precyzja i

odwrotnie.

Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

2

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej.

Konstrukcja przedziału ufności dla wartości oczekiwanej E(X)=m jest uzależniona od typu rozkładu

badanej zmiennej X, od znajomości wariancji w populacji generalnej oraz od liczebności próby n.

Estymatorem T

n

nieznanego parametru

θ=m

jest średnia arytmetyczna z próby

x

. Estymator ten na

rozkład normalny

)

,

(

n

m

N

σ

. Rozważamy trzy przypadki:

1. Próbę losową prostą otrzymano z populacji generalnej o rozkładzie N(m,

σ), przy czym m- nie jest znane, zaś

σ - jest znane. Przedział ufności dla parametru m przyjmuje postać:

α

σ

σ

α

α

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

<

<

−

1

n

u

x

m

n

u

x

P

u

α

- odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego zgodnie z przyjętym

poziomem istotności

α, tak aby

2

1

)

(

α

α

−

=

Φ u

.

Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

3

2. Próbę losową prostą otrzymano z populacji generalnej o rozkładzie N(m,

σ), przy czym oba parametry są nieznane a próba

jest mało liczna. Przedział ufności dla parametru m ma postać:

α

α

α

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

<

<

−

−

1

1

1

n

s

t

x

m

n

s

t

x

P

, gdzie

∑

−

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

)

(

1

.

t

α

- odczytujemy z tablic wartości krytycznych rozkładu Studenta dla n-1 stopni swobody (boczek tablicy) i przyjętego

poziomu istotności

α (główka tablicy).

3. W przypadku dużej próby losowej (n>30) otrzymanej z populacji o nieznanym rozkładzie z nieznanym parametrem

σ

przedział ufności dla parametru m przyjmuje postać:

α

α

α

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

<

<

−

1

n

s

u

x

m

n

s

u

x

P

Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

4

Przedział ufności dla frakcji.

Wskaźnik struktury wyraża stosunek

n

k

, gdzie k oznacza liczbę elementów z wyróżnioną cechą, zaś n – liczebność próby.

Obliczony z próby wskaźnik struktury

n

k

jest estymatorem nieznanego odsetka p z populacji generalnej. Estymator ten dla dużych

prób (n>100) ma rozkład asymptotycznie normalny

n

p

p

p

N

)

1

(

,

(

−

).

Przedział ufności dla nieznanego parametru

θ=p

przyjmuje postać:

α

α

α

−

=

⎪

⎪
⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

<

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

1

1

1

n

n

k

n

k

u

n

k

p

n

n

k

n

k

u

n

k

P

.

Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

5

Przedział ufności dla odchylenia standardowego.

Zmienna losowa X ma rozkład N(m,

σ), przy czym oba parametry są nieznane ale wylosowano dużą próbę (n≥30).

Przedział ufności dla odchylenia standardowego

σ ma wówczas postać:

α

σ

α

α

−

=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

<

<

+

1

2

1

2

1

n

u

s

n

u

s

P

.

Przedział ufności dla wariancji

Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład N(m,

σ), przy czym oba parametry są nieznane a wylosowana próba

mała (n<30). Przedział ufności dla wariancji

σ

2

na postać:

α

σ

−

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

<

1

1

2

2

2

2

c

ns

c

ns

P

.

Wartości c

1

i c

2

odczytujemy z tablic wartości krytycznych rozkładu chi – kwadrat dla przyjętego poziomu istotności

α, n-

1 stopni swobody (boczek tablicy) i w główce tablicy dla c

1

:

2

1

α

−

(P{

χ

2

≥c

1

}=1-

α/2) oraz dla c

2:

2

α

(P{

χ

2

≥c

2

}=

α/2).

Estymacja przedziałowa parametrów zbiorowości generalnej

6

Wyznaczanie niezbędnej liczebności próby.

1. W przypadku rozkładu normalnego N(m,

σ), σ - znane, bądź zbliżonego do normalnego, niezbędną liczebność próby dla

oszacowania nieznanej wartości parametru m populacji generalnej wyznaczamy ze wzoru:

1

2

2

2

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

d

u

n

σ

α

gdzie d – oznacza dopuszczalny, ustalony z góry, maksymalny błąd szacunku średniej m (czyli połowę długości przedziału

ufności).

2. Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(m,

σ), σ - nieznane, ale znana jest wartość s obliczona na podstawie małej próby

(wstępnej) o liczebności n

0

elementów, wówczas:

1

1

2

2

2

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

d

s

t

n

α

Jeżeli n

≤n

0

to liczebność próby n

0

jest wystarczająca, w przeciwnym wypadku należy do próby dolosować jeszcze n-n

0

elementów.

3. W przypadku, gdy populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p i szacujemy ten właśnie parametr, tak by

przy współczynniku ufności 1-

α maksymalny błąd szacunku wskaźnika struktury nie przekroczył zadanej wartości d,

wówczas:

2

2

)

1

(

d

p

p

u

n

−

=

α

, gdy znamy rząd wielkości p

2

2

4d

u

n

α

=

,

gdy nie znamy rzędu wielkości p