Przestrzenie wektorów, baza

Aproksymacja/reprezentacja sygnału w przestrzeni – kombinacja
liniowa

–

Liniowa aproksymacji/kombinacja wektorów bazy

–

co to znaczy liniowa?

Definicja: Każdy wektor w przestrzeni można otrzymać jednoznacznie(w jeden sposób) za
pomocą liniowej kombinacji wektorów bazy.

np. w przestrzeni

R

3

możemy przyjąć zbiór wektorów bazowych

v

1

=

0,0 ,1 , v

2

=

0,1 ,0 , v

3

=

1,0 ,0 wtedy wektor w=3,6 ,2 można przedstawić

jako

w=2 v

1



6 v

2



3 v

3

czyli w=

1

v

1



2

v

2



3

v

3

gdzie



1,



2,



3

to współczynniki reprezentacji

inny zestaw wektorów

v

1

=

0,0 ,1 , v

2

=

0,2 ,0 , v

3

=

3,0 ,1 wtedy ten sam wektor w=3,6 ,2 można

przedstawić jako

w=1 v

1



3 v

2



1 v

3

v1=[0,0,1];v2=[0,2,0];v3=[3,0,1]; w=v1+3*v2+v3

–

Wybór bazy
Definicja: Baza przestrzeni liniowej

B

- to maksymalny zbiór liniowo niezależnych

wektorów tej przestrzeni

B⊆V

. Zbór ten spełnia dwa warunki

–

elementy bazy są liniowo niezależne – co to znaczy?

–

jest ich maksymalna ilość, ilość wektorów bazowych implikuje rozmiar przestrzeni – co to
znaczy?

Przykład w

R

2

:

Czy wektor v

1

=

2,3 może być bazą przestrzeni

R

2

?

Czy wektory v

1

=

2,3 i v

2

=−

2,−3 mogą stanowić bazę

R

2

?

Przykład geograficzny:
Punkt znajduje się - 4km na wschód, 3km na północ i 5km na północny wschód.
Jakie wektory podano?
Czy można je potraktować jako bazę w przestrzeni geograficznej (bez uwzględniania
wysokości)? Które wektory i ile ich jest?

Łatwy test na liniową zależność/niezależność:
Zbiór wektorów

V

jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy

det V 

- 1 -

Inny przykład w przestrzeni

R

N

N=256;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*n);y=sin(2*pi*2*n);

plot(n,x,';x;',n,y,';y;');
iloczyn_skalarny = x*y'

Czy w powyższym przykładzie mamy już bazę?
Czy ilość wektorów bazy jest maksymalna?

–

baza ortogonalna (wektory bazy są do siebie prostopadłe) przykład rysunkowy w 2D
Warunek – wszystkie wektory są prostopadłe np.

B=eye(3)*[1,0,0;0,3,0;0,0,2]
B*B'

–

baza ortonormalna

(jw. plus norma wektorów bazy = 1) przykład rysunkowy w 2D

norma_x = sqrt(x*x')
norma_y = sqrt(y*y')

–

każda przestrzeń może mieć wiele baz !!!
ale najwygodniejsza jest baza ortonormalna

Wyznaczanie współczynników reprezentacji

Układ równań macierzowych

[

⋮

⋮

⋮

v

1

v

2

v

3

⋮

⋮

⋮

]

=

V

jest bazą przestrzeni,

[



1



2



3

]

=

wtedy

w=V 

Jak wyznaczyć



znając

w

i

V

?

=

w V

−

1

–

baza ortonormalna – najprostszy przypadek

–

warunki istnienia bazy są wystarczające do istnienia odwrotności macierzy V

–

istnieje wiele metod znajdowania odwrotności macierzy (np. procedura ortogonalizacji
Gramma-Schmidta)

V = eye(3)
w = [3,5,-3]

alfa = w/V

V = 2*eye(3)

alfa = w/V

a co będzie dla bazy innej?

V = [2,0,1; 0,3,-1; 5,-2,0]
czy to w ogóle baza?

v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3)
v1*v2'

itd.
Sprawdź to samo dla macierzy

V = [[2;0;6], [0;3;-2], [1;0;3]]

- 2 -

Aproksymacja z błędem

Jeżeli dysponujemy zbiorem zupełnym (danej przestrzeni) czyli bazą to współczynniki

[



1

, 

2

, , 

N

]

= aproksymują nam dowolny wektor w przestrzeni

R

N

bez błędu. A co jeżeli

mamy zbiór wektorów bazowych niezupełny (lub inaczej mamy N-1 wektorów a przestrzeń ma
rozmiar N)?

–

Dowolne elementy są ortogonalne(prostopadłe) w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zero.

–

twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Jeżeli V

0

jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta V każdy element x ∈V da się

przedstawić jako:

x= x

0



z , gdzie x

0

∈

V

0

i z ⊥ V

0

Element x

0

jest rzutem ortogonalnym elementu x na podprzestrzeń V

0

(narysować rysunek)

–

z powyższego wynika zwiększenie wymiaru przestrzeni

Przykładowe bazy

W przestrzeni Euklidesa

Wektory bazowe postaci [1, 0,, 0] , [0,1 ,0 ,  ,0 ], [0,0 ,,1] tworzą bazę ortonormalną

Trygonometryczny szereg Fouriera

s n=

a

0

2



∑

k =1

∞



a

k

cosk nb

k

sin k n



gdzie

a

k

=

1



∫

−



f ncos kn dn

b

k

=

1



∫

−



f n sin kn dn

są zwane współczynnikami Fouriera dla funkcji f n na przedziale

−

do



Przykład:
niech f n=n , dla −n
Łatwo zbudować funkcję okresową tzn f n2= f n , dla −∞n∞
W tym przypadku współczynniki będą miały postać:

a

k

=

1



∫

−



n coskn dn=0

- 3 -

b

k

=

1



∫

−



n sin kn dn=2

−

1

k1

k

Tak więc funkcja

s n=

a

0

2



∑

k=1

∞



a

k

cos k nb

k

sin k n



=

2

∑

k=1

∞

−

1

k1

k

sin k n , dla −∞n∞

Rozważana funkcja f n=n , dla −n musi być okresowa!!! Jeżeli nie jest to trzeba ją
„uokresowić”.

n = (-pi:.01:pi);
f = n;

plot(n,f);
K=1; s=0;

for k=1:K

s = s + (-1)^(k+1)/k * sin (k*n);

end
s = 2*s;

plot(n,f,';f;',n,s,';s;');

n = (-3*pi:.01:3*pi); f = mod(n-pi,2*pi)-pi;plot(n,f); # sygnał uokresowiony

Zespolony szereg Fouriera

Wzór Eulera

e

jkn

=

cos kn jsin  kn

Szereg Eulera-Fouriera ma postać

f n=

1

2 

∑

k =−∞

∞

c

k

e

jkn

f t=

1

2

∫

−∞

∞

c k e

jkt

dk

c

k

=

∑

n=−∞

∞

f ne

−

jkn

c  k =

∫

−∞

∞

f t e

−

jkt

dt

Inne bazy

Są też funkcje Walsha i Harra i również one stanowią bazę ortonormalną

- 4 -