5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

1

Mechanika ogólna

Dr inż. Janusz Dębiński

Wykład 5

Analiza statyczna płaskich układów

prętowych

Kalisz

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

2

Definicja siły

5.1. Siła

Siła jest wektorową miarą oddziaływania jednego ciała na drugie.

W niniejszym kursie Mechaniki ogólnej będziemy rozpatrywać tylko oddziaływanie

ciał będących w bezpośrednim kontakcie.

Siła jest jednoznacznie określona przez swoją wartość czyli długość wektora,

kierunek oraz zwrot.

Dla większości naszych obliczeń nie będzie miało znaczenia to, że siła może się

poruszać po prostej pokrywającej się z kierunkiem jej działania. Jest więc ona

wektorem ślizgającym.

Istnieją jednak przypadki, kiedy siłę traktujemy jako wektor związany.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

3

X

Y

P

P

X

P

Y

α

Rozkładanie siły na kierunek poziomy i pionowy

5.1. Siła

Wartości sił składowych

Wartość siły składowej jest dodatnia, jeżeli ma ona zwrot zgodny ze zwrotem osi.

P

X

=

P⋅cos







P

Y

=

P⋅sin







5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

4

a

Moment siły względem punktu

5.1. Siła

a - odległość kierunku siły od punktu O

P - wartość siły.

P

O

M

O

W niniejszym kursie Mechaniki ogólnej

będziemy przyjmować, że dodatni moment

siły względem punktu kręci zgodnie

z ruchem wskazówek zegara.

M

O

=

∣

P

∣

⋅

a=

∣

P

∣

⋅

a

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

5

a

2

a

3

a

1

Moment siły względem punktu

5.1. Siła

P

1

P

2

P

3

O

M

O

=

∣

P

1

∣

⋅

a

1

−

∣

P

2

∣

⋅

a

2



∣

P

3

∣

⋅

a

3

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

6

Moment siły względem punktu

5.1. Siła

2,

0

kN

5,0 kN

3,

0

kN

A

[m]

1,

0

2,0

3,0

M

A

=

2,0⋅2,0−5,0⋅1,0−3,0⋅3,0=−10,0 kN⋅m

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

7

x

5.1. Siła

Para sił - moment obrotowy

P

P

O

a

Jak więc widać wartość tego momentu jest zawsze taka sama bez względu na to,

w którym miejscu znajduje się punkt O.

Moment ten nazywamy momentem obrotowym, a jego wartość równa się

iloczynowi wartości siły P przez odległość tych sił od siebie a.

M

O

=−∣

P∣⋅



xa



∣

P∣⋅x=−∣P∣⋅a

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

8

Jeżeli para sił kręci względem siebie zgodnie z ruchem wskazówek zegara,

to moment obrotowy jest dodatni.

Wektor momentu pary sił M

0

jest wektorem swobodnym, ponieważ możemy go

przyłożyć w dowolnym punkcie płaszczyzny i ma on zawsze ten sam zwrot,

wartość i kierunek.

5.1. Siła

Para sił - moment obrotowy

Jeżeli para sił kręci względem siebie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,

to moment obrotowy jest ujemny.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

9

5.1. Siła

Płaski układ sił zbieżnych

Płaskim układem sił zbieżnych nazywamy siły, których kierunki leżą na jednej

płaszczyźnie i przecinają się wszystkie w jednym punkcie O.

Aby znaleźć siłę wypadkową z płaskiego układu sił zbieżnych zastosujemy wielobok sił.

Kierunek siły wypadkowej przechodzi przez punkt O.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

10

5.1. Siła

Płaski układ sił zbieżnych - wielobok sił

P

1

P

2

P

3

O

P

1

P

2

P

3

W

O

W

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

11

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych

Aby płaski układ sił zbieżnych znajdował się w równowadze, siła wypadkowa

z takiego układu musi być równa zero. Oznacza to, że wielobok sił musi być

wielobokiem zamkniętym.

P

1

P

2

P

3

O

P

1

P

2

P

3

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

12

P

1

O

P

2

P

3

X

Y

P

1X

P

1Y

P

2X

P

2Y

P

3X

P

3Y

P

1X

P

2X

P

3X

P

2Y

P

3Y

P

1Y

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

13

Aby płaski układ sił zbieżnych znajdował się w równowadze muszą więc być

spełnione równania, które nazywamy równaniami równowagi. Mają one

postać

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych

∑

i=1

i=n

P

iX

=

0

∑

i=1

i=n

P

iY

=

0

Równania te nazywamy odpowiednio sumą rzutów wszystkich sił na oś X oraz na oś Y.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

14

5.1. Siła

Płaski układ sił niezbieżnych

Płaskim układem sił niezbieżnych nazywamy siły, których kierunki leżą na jednej

płaszczyźnie i nie przecinają się wszystkie w jednym punkcie.

P

1

P

2

P

3

O

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

15

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

P

1

P

2

P

3

P

4

X

Y

P

1X

P

1Y

P

2X

P

2Y

P

3X

P

3Y

P

4X

P

4Y

P

1X

P

3X

P

2X

P

4X

P

4Y

P

1Y

P

3Y

P

2Y

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

16

5.1. Siła

P

1X

P

1Y

P

2X

P

2Y

P

3X

P

3Y

P

4X

P

4Y

X

Y

O

a

1X

a

2X

a

3X

a

4X

a

1

Y

a

2

Y

a

3Y

a

4

Y

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

M

O

=

∑

i=1

i=n



∣

P

iX

∣

⋅

a

iY



∣

P

iY

∣

⋅

a

iX



=

0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

17

5.1. Siła

Aby płaski układ sił niezbieżnych

znajdował się w równowadze

muszą być spełnione równania

równowagi (kombinacja 1):

P

1

P

2

P

3

P

4

P

1

P

2

P

3

P

4

X

Y

O

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

∑

i=1

i=n

P

iX

=

0

∑

i=1

i=n

P

iY

=

0

∑

i=1

i=n

M

O

=

0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

18

P

1

P

2

P

3

P

4

P

1

P

2

P

3

P

4

X

Y

O

1

O

2

Punkty O

1

, O

2

nie mogą

leżeć na prostej

równoległej do osi X.

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

Aby płaski układ sił niezbieżnych

znajdował się w równowadze

muszą być spełnione równania

równowagi (kombinacja 2):

∑

i=1

i=n

P

iX

=

0

∑

i=1

i=n

M

O1

=

0

∑

i=1

i=n

M

O2

=

0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

19

P

1

P

2

P

3

P

4

P

1

P

2

P

3

P

4

X

Y

O

1

O

2

Punkty O

1

, O

2

nie mogą

leżeć na prostej

równoległej do osi Y.

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

Aby płaski układ sił niezbieżnych

znajdował się w równowadze

muszą być spełnione równania

równowagi (kombinacja 3):

∑

i=1

i=n

P

iY

=

0

∑

i=1

i=n

M

O1

=

0

∑

i=1

i=n

M

O2

=

0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

20

P

1

P

2

P

3

P

4

P

1

P

2

P

3

P

4

O

1

O

2

O

3

Punkty O

1

, O

2

i O

3

nie mogą

leżeć na jednej prostej.

5.1. Siła

Równowaga płaskiego układu sił niezbieżnych

Aby płaski układ sił niezbieżnych

znajdował się w równowadze

muszą być spełnione równania

równowagi (kombinacja 4):

∑

i=1

i=n

M

O1

=

0

∑

i=1

i=n

M

O2

=

0

∑

i=1

i=n

M

O3

=

0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

21

I

5.2. Analiza statyczna

Siły czynne i reakcje

TP

1

2

3

P

P - siła czynna

R

R - reakcja czyli siła bierna

Analiza statyczna - wyznaczanie wartości

i zwrotów reakcji.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

22

5.2. Analiza statyczna

Reakcja w pręcie podporowym

W pręcie podporowym łączącym tarczę sztywną z tarczą podporową działa tylko

jedna reakcja, której kierunek działania pokrywa się z kierunkiem pręta podporowego.

TP

1

R

1

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

23

5.2. Analiza statyczna

Reakcja w pręcie podporowym

Jeżeli pręt podporowy numer 1 łączy

dwie tarcze sztywne, z których żadna

nie jest tarczą podporową.

I

II

1

P

1

P

2

I

II

P

1

P

2

Jeżeli rozpatrujemy obie tarcze sztywne

razem, to reakcje te równoważą się.

R

1

(I)

= R

1

R

1

(II)

= R

1

R

1



I

=

R

1



II

=

R

1

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

24

α

5.2. Analiza statyczna

Reakcja w przegubie

W przegubie łączącym tarczę sztywną z tarczą podporową działa także jedna reakcja,

której kierunek działania przechodzi przez ten przegub. W przeciwieństwie do pręta

podporowego nie znamy kąta nachylenia kierunku jej działania.

Aby wyznaczyć reakcję, rozkładamy ją więc na dwie reakcje składowe:

poziomą i pionową.

TP

A

R

A

TP

A

V

A

H

A

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

25

5.2. Analiza statyczna

Reakcja w przegubie

Przegub łączący dwie tarcze sztywne, z których żadna nie jest tarczą podporową.

I

II

A

P

1

P

2

I

II

A

A

P

1

P

2

V

A

(I)

V

A

(II)

H

A

(I)

H

A

(II)

A

H

A

(I)

H

A

(II)

V

A

(I)

V

A

(II)

X

Y



X =H

A



I

−

H

A



II

=

0

H

A



I

=

H

A



II

=

H

A



Y =−V

A



I



V

A



II

=

0

V

A



I

=

V

A



II

=

V

A

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

26

5.2. Analiza statyczna

Reakcja w przegubie

I

II

A

P

1

P

2

I

II

A

A

P

1

P

2

V

A

V

A

H

A

H

A

Jeżeli rozpatrujemy obie tarcze sztywne razem, to reakcje te równoważą się.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

27

5.2. Analiza statyczna

Reakcja na podporze przegubowo-przesuwnej

Na podporze przegubowo-przesuwnej działa reakcja, której kierunek jest prostopadły

do kreski oznaczającej tę podporę.

R

R

R

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

28

H

V

5.2. Analiza statyczna

Reakcje na podporze przegubowo-nieprzesuwnej

Na podporze tej działają dwie składowe składowe reakcje: pozioma H oraz

pionowa V.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

29

5.2. Analiza statyczna

Reakcje na podporze teleskopowej

1

2

1

2

R

1

R

2

R

R

V

٢

V

٢

V

M

{

R

1

=

R

V

2

R

2

=−

R

V

2

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

30

5.2. Analiza statyczna

Reakcje na podporze ślizgowej

1

2

1

2

R

1

R

2

R

R

H

٢

H

٢

H

M

{

R

1

=

R

H

2

R

2

=−

R

H

2

R

M

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

31

5.2. Analiza statyczna

Reakcje w utwierdzeniu

1

2

1

2

R

1

R

2

H

H

R

R

V

٢

V

٢

V

H

M

{

R

1

=

R

V

2

R

2

=−

R

V

2

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

32

5.3. Obciążenia prętów

Siła

Siłą będziemy obciążać wszystkie rodzaje płaskich konstrukcji prętowych.

Jednostką siły jest Niuton [N].

W niniejszym kursie Mechaniki ogólnej będziemy używać wielokrotności

kiloniutona [kN].

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

33

Momentem obrotowym będziemy obciążać belki oraz ramy płaskie.

Jest on równoważny parze sił.

Jednostką momentu obrotowego jest [N∙m], w niniejszym kursie Mechaniki ogólnej

będziemy używać wielokrotności [kN∙m].

5.3. Obciążenia prętów

Moment obrotowy

M

P

P

M

P

P

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

34

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta

Jednostką tego obciążenia jest N/m, w niniejszym kursie Mechaniki ogólnej będziemy

używać wielokrotności kN/m.

A

B

L

q

A

B

q∙L

L

٢

L

٢

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego q ma ten sam zwrot co to obciążenie.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

35

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta

Dodatnie obciążenie q będzie w prętach poziomych działało w dół.

A

B

A

B

q>0

q<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

36

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta

Dodatnie obciążenie q będzie w prętach

pionowych działało w prawo.

A

B

A

B

q>0

q<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

37

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta

Ciężar własny -

γ

- siła ciężkości działająca

na jednostkę objętości.

Wyrażony w N/m

3

. Najczęściej używaną

jednostką jest kN/m

3

.

γ

A

A - pole powierzchni przekroju

pręta.

q



[

kN

m

3

]

q=⋅A

[

N

m

3

]

⋅

[

m

2

]

=

[

N

m

]

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

38

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do osi pręta

Jednostką tego obciążenia jest N/m,

w niniejszym kursie Mechaniki ogólnej

będziemy używać kN/m.

L

h

L

h∙L

Siła wypadkowa z obciążenia ciągłego

h ma ten sam zwrot co to obciążenie,

i jest przyłożona w dowolnym punkcie

przedziału, w którym działa to obciążenie.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

39

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do osi pręta

Dodatnie obciążenie h będzie działało zgodnie ze zwrotem osi X.

x

X

x

X

h>0

h<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

40

x

X

h>0

x

X

h<0

5.3. Obciążenia prętów

Obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone równoległe do osi pręta

Dodatnie obciążenie h będzie działało zgodnie ze zwrotem osi X.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

41

5.4. Siły przekrojowe

I

1

2

3

P

1

P

2

R

1

R

2

R

3

Definicja sił przekrojowych

Rama płaska znajdująca się w równowadze.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

42

5.4. Siły przekrojowe

P

2

R

1

I

1

2

R

2

P

1

I

3

R

3

N

N

N - siła normalna

T

T

T - siła poprzeczna (tnąca)

M

M

M - moment zginający

Definicja sił przekrojowych

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

43

5.4. Siły przekrojowe

X

q(x)

P

N

T

M

P

X

N

T

q(x)

M

Definicja sił przekrojowych

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

44

5.4. Siły przekrojowe

Zasady znakowania sił przekrojowych - siła normalna

Siła normalna jest dodatnia, jeżeli rozciąga ona pręt.

N>0

N<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

45

5.4. Siły przekrojowe

Zasady znakowania sił przekrojowych - siła poprzeczna

Siła poprzeczna jest dodatnia, jeżeli kręci ona odciętą częścią pręta

zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

T>0

T<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

46

5.4. Siły przekrojowe

Zasady znakowania sił przekrojowych - moment zginający

Moment zginający jest dodatni, jeżeli rozciąga on dolną część pręta.

W przypadku prętów pionowych, jako dolną część przyjmiemy prawą część pręta.

P

P

M>0

P

P

M<0

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

47

5.4. Siły przekrojowe

Równania różniczkowe równowagi

Pomiędzy funkcjami q(x) i h(x), a funkcjami sił przekrojowych istnieją zależności,

które nazywamy równaniami różniczkowymi równowagi.

x

q(x)

h(x)

X

N(x)

T(x)

M(x)

dN



x



dx

=−

h



x



dT



x



dx

=−

q



x



dM



x



dx

=

T



x



Oś X zwrócona w prawo.

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

48

5.4. Siły przekrojowe

Równania różniczkowe równowagi

Równania różniczkowe równowagi dla osi X zwróconej w lewo.

x

q(x)

h(x)

X

N(x)

T(x)

M(x)

dN



x



dx

=−

h



x



dT



x



dx

=

q



x



dM



x



dx

=−

T



x



5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

49

5.4. Siły przekrojowe

Wykresy sił przekrojowych

Wartości sił przekrojowych zaznaczamy na ich wykresach. Stosujemy wtedy

następujące zasady:

1. w kratownicach na poszczególnych prętach piszemy wartość bezwzględną

siły normalnej, a strzałką rysowaną od węzła zaznaczamy siłę normalną

rozciągającą, strzałką do węzła siłę normalną ściskającą

2. w belkach i ramach płaskich wykresy rysujemy na ich osiach

3. na wykresach siły normalnej i poprzecznej oznaczamy ich wartości dodatnie

oraz ujemne

5. Analiza statyczna płaskich układów prętowych

Dr inż. Janusz Dębiński

50

4. dodatnie wartości siły normalnej i poprzecznej w belkach rysujemy na górze

5. w ramach płaskich dodatnie wartości siły normalnej i poprzecznej rysujemy tak,

aby wykresy były czytelnie i jak najmniej nakładały się na siebie

6. wykres momentu zginającego rysujemy po stronie rozciąganej

i wpisujemy jego wartość bezwzględną.

5.4. Siły przekrojowe

Wykresy sił przekrojowych