MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

A

B

C

D

V

A

V

B

V

C

V

D

H

A

M

A

D

C

B

A

E

F

G

D

C

B

A

E

F

G

V

A

H

A

M

A

V

E

V

E

H

E

H

F

V

B

V

F

H

F

V

F

H

G

V

G

H

G

V

G

V

C

V

D

- fikcyjna podpora

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Przykład 1. Podziel Belk

ę

Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych cz

ęś

ci i zaznacz

reakcje podporowe.

Schemat 1.:

Krok 1.: Dokonujemy podziału belki gerbera w przegubach.

Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak, aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne
i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysoko

ś

ci:

MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

A

B

C

D

V

A

V

C

V

E

H

A

M

A

E

F

G

A

B

C

D

E

F

G

V

A

H

A

M

A

V

B

V

B

H

B

H

B

V

D

V

C

H

D

V

D

H

D

V

E

V

F

H

F

V

F

H

F

V

G

V

G

Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynaj

ą

c od tej poło

ż

onej najwy

ż

ej i schodzimy

stopniowo w dół obci

ąż

aj

ą

c belki ni

ż

ej poło

ż

one wyliczonymi wcze

ś

niej reakcjami.

W schemacie 1. najpierw liczymy cz

ęść

FG ( cz

ęść

ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby

policzy

ć

reakcje poziome, nale

ż

y wyznaczy

ć

H

G

z sumy rzutów na o

ś

x dla cz

ęś

ci GD), pó

ź

niej cz

ęś

ci EF lub

GD, na ko

ń

cu za

ś

AE.

Schemat 2.:

W schemacie 2. najpierw liczymy cz

ęść

FG, pó

ź

niej DF, nast

ę

pnie BD, na ko

ń

cu za

ś

AB.

MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

Schemat 3.:

F

A

B

C

V

B

V

D

D

E

G

V

C

V

B

H

C

V

C

H

C

V

D

V

E

H

E

V

E

H

E

V

G

V

G

F

A

B

C

D

E

G

V

F

V

F

M

P

M

P

M

P

W schemacie 3. najpierw liczymy cz

ęść

BC, pó

ź

niej CE, na ko

ń

cu za

ś

EG.

MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

4

2

3

6

2

1

1

2

q2=4kN/m

q1=6kN/m

P=15kN

60

M=4kNm

A

B

C

D

E

F

G

q2=4kN/m

V = 12kN

E

V = 12kN

D

H = 7,5kN

E

H = 7,5kN

D

P=15kN

60

V = 12kN

E

H = 7,5kN

E

V = 30,495kN

F

Psin60=12,99kN

Pcos60=7,5kN

V = 5,505kN

G

q1=6kN/m

M=4kNm

V = 12kN

D

V = 3,5kN

C

V = 2,5kN

B

H = 7,5kN

D

H = 7,5kN

B

V = 2,5kN

B

V = 2,5kN

A

H = 7,5kN

B

H = 7,5kN

M =10kNm

A

Przykład 2. Podziel Belk

ę

Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych cz

ęś

ci i zaznacz

reakcje podporowe oraz policz ich warto

ś

ci z równa

ń

równowagi.

a)

Wyznaczenie reakcji:

Cz

ęść

DE:

∑

F

X

= -H

D

+ H

E

=0

∑

M

D

= -q

2

·

6

·

3 + V

E

·

6=0

→

V

E

=3q

2

=3

·

4=12kN

∑

M

E

= q

2

·

6

·

3 - V

D

·

6=0

→

V

D

=3q

2

=3

·

4=12kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= V

D

+ V

E

– q

2

·

6 = 12 + 12 - 4

·

6 = 0

Cz

ęść

EG:

∑

F

X

= -H

E

+ Pcos60°=0

→

H

E

= Pcos60°=7,5kN

→

H

D

= 7,5kN

∑

M

F

= V

E

·

2 - Psin60°

·

1 - V

G

·

2=0

→

V

G

=0,5(2V

E

- Psin60°

·

1) = 0,5(2

·

12 – 12,99

·

1)=5,505kN

∑

M

G

= V

E

·

4 + Psin60°

·

1 - V

F

·

2=0

→

V

F

=0,5(4V

E

+ Psin60°

·

1) =0,5(4

·

12 + 12,99

·

1)=30,495kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= V

F

- V

E

– V

G

- Psin60° = 30,495 – 12 - 5,505 - 12,99= 0

Cz

ęść

BD:

∑

F

X

= -H

B

+ H

D

= 0

→

H

B

= H

D

=7,5kN

∑

M

B

= -V

C

·

2 + M + q

1

·

3

·

3,5 - V

D

·

5=0

→

V

C

=0,5

·

(M + q

1

·

3

·

3,5 - V

D

·

5) = 0,5(4 + 6

·

3

·

3,5 - 12

·

5)=3,5kN

∑

M

C

= V

B

·

2 + M + q

1

·

3

·

1,5 - V

D

·

3=0

→

V

B

=0,5

·

(-M - q

1

·

3

·

1,5 + V

D

·

3) = 0,5(-4 - 6

·

3

·

1,5 + 12

·

3)=2,5kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= -V

B

– V

C

– V

D

+ q

1

·

3= - 2,5 – 3,5 - 12 + 6

·

3= 0

Cz

ęść

AB:

∑

F

X

= -H

A

+ H

B

= 0

→

H

A

= H

B

=7,5kN

∑

M

A

= V

B

·

4 - M

A

=0

→

M

A

=4V

B

= 4

·

2,5 =10kNm

∑

F

Y

= -V

A

+ V

B

=0

→

V

A

= V

B

=2,5kN

Sprawdzenie:

∑

M

B

= V

A

·

4

- M

A

= - 2,5

·

4 + 10 = 0

MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

A

60

2

2

3

3

4

2

3

1

M=9kNm

P2=15kN

P1=12kN

q=6kN/m

q=6kN/m

M=9kNm

P1=12kN

60

P2=15kN

Psin60=12,99kN

Pcos60=7,5kN

B

C

D

E

F

G

V = 16kN

G

V = 8kN

F

H = 0kN

F

H = 0kN

F

V = 8kN

F

V = 27kN

E

V = 7kN

D

H = 0kN

D

H = 0kN

D

V = 7kN

D

V = 7kN

C

V = 2kN

B

H = 0kN

B

H = 0kN

B

V = 2kN

B

V = 10,99kN

A

H = 7,5kN

A

M =17,98kNm

A

b)

Wyznaczenie reakcji:

Cz

ęść

FG:

∑

F

X

= H

F

=0

∑

M

F

= - q

·

4

·

2 + V

G

·

3=0

→

V

G

=1/3(8q)=8/3

·

6=16kN

∑

M

G

= q

·

4

·

1 - V

F

·

3=0

→

V

F

=4/3q=4/3

·

6=8kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= V

F

+ V

G

– q

·

4 = 8 + 16 - 4

·

6 = 0

Cz

ęść

DF:

∑

F

X

= -H

F

+ H

D

=0

→

H

D

= H

F

=0kN

∑

M

D

= V

E

·

4 - q

·

2

·

5 - V

F

·

6=0

→

V

E

=0,25(6V

F

+ 10q) = 0,25(6

·

8 – 10

·

6)=27kN

∑

M

E

= V

D

·

4 - q

·

2

·

1 - V

F

·

2=0

→

V

D

=0,25(2V

F

+ 2q) =0,25(2

·

8 + 2

·

6)=7kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= -V

F

– 2q + V

E

– V

D

= - 8 – 2

·

6 +27 - 7= 0

Cz

ęść

BD:

∑

F

X

= H

B

- H

D

= 0

→

H

B

= H

D

=0kN

∑

M

B

= V

C

·

3 + M - P

1

·

6 + V

D

·

6=0

→

V

C

=1/3

·

(-M + 6P

1

- 6V

D

) = 1/3

·

(- 9 + 6

·

12 - 6

·

7)=7kN

∑

M

C

= V

B

·

3 + M - P

1

·

3 +V

D

·

3=0

→

V

B

=1/3

·

(-M + 3P

1

- 3V

D

) = 1/3

·

(- 9 + 3

·

12 - 3

·

7)=2kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= -V

B

+ V

C

+ V

D

- P

1

= - 2 + 7 + 7 – 12 = 0

Cz

ęść

AB:

∑

F

X

= H

A

- H

B

– P

2

cos60°= 0

→

H

A

= P

2

cos60° + H

B

=7,5 +0 = 7,5kN

∑

M

A

= V

B

·

4 + M

A

- 2

·

P

2

sin60°=0

→

M

A

=- 4V

B

+ 2

·

P

2

sin60° = - 4

·

2 + 12,99

·

2 =17,98kNm

∑

F

Y

= V

A

+ V

B

- P

2

sin60° =0

→

V

A

= P

2

sin60° - V

B

= 12,99 – 2 = 10,99kN

Sprawdzenie:

∑

M

B

= -V

A

·

4

+ M

A

+ 2

·

P

2

sin60° = 4

·

10,99 – 17,98 - 2

·

12,99 = 0

MECHANIKA OGÓLNA

semestr I

mgr in

ż

. Hanna Weber

P1=17kN

45

M =4kNm

M =8kNm

q=6kN/m

4

2

2

3

2

1

1

1

A

B

C

D

E

F

G

P1=17kN

45

M =4kNm

q=6kN/m

M =8kNm

V = 6,01kN

A

H = 12,02kN

A

M =20,04kNm

V = 6,01kN

B

H = 12,02kN

B

H = 12,02kN

B

V = 6,01kN

B

V = 6,01kN

C

H = 0kN

C

H = 0kN

C

V = 6,01kN

C

V = 22,475kN

D

V = 1,515kN

E

H = 0kN

E

H = 0kN

E

V = 1,515kN

E

V = 9,515kN

G

V = 11,03kN

F

Psin45=12,02kN

Pcos45=12,02kN

A

1

1

2

2

c)

Wyznaczenie reakcji:

Cz

ęść

BC:

∑

F

X

= -H

B

+ H

C

+ P

1

cos45° =0

→

H

B

= H

C

+ P

1

cos45°

∑

M

B

= V

C

·

4 - P

1

sin45°

·

2=0

→

V

C

=0,25

·

( 2P

1

sin45°)=0,25

·

2

·

12,02=6,01kN

∑

M

C

= - V

B

·

4 + P

1

sin45°

·

2=0 =

→

V

B

=0,25

·

( 2P

1

sin45°)=0,25

·

2

·

12,02=6,01kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= V

B

+ V

C

– P

1

sin45° = 6,01 + 6,01 - 12,02 = 0

Cz

ęść

CE:

∑

F

X

= -H

C

+ H

E

=0

→

H

C

= H

E

∑

M

D

= -q

·

5

·

0,5 - V

E

·

2 + V

C

·

3=0

→

V

E

=0,5(3V

C

– 2,5q) = 0,5(3

·

6,01 – 2,5

·

6)=1,515kN

∑

M

E

= V

D

·

2 - q

·

5

·

2,5 + V

C

·

5=0

→

V

D

=0,5(-5V

C

+ 12,5q) =0,5(- 5

·

6,01 + 12,5

·

6)=22,475kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= -V

C

+ 5q – V

D

– V

E

= - 6,01 + 5

·

6 – 22,475 – 1,515 = 0

Cz

ęść

EG:

∑

F

X

= - H

E

= 0

→

H

E

= 0kN

→

H

C

= 0kN

→

H

B

= 0 + P

1

cos45° = 0 + 12,02 = 12,02kN

∑

M

F

= V

G

·

1 - M

2

- V

E

·

1 =0

→

V

G

= M

2

+ 1V

E

= 8 + 1

·

1,515 = 9,515kN

∑

M

G

= V

F

·

1 - M

2

- V

E

·

2 =0

→

V

F

= M

2

+ 2V

E

= 8 + 2

·

1,515 = 11,03kN

Sprawdzenie:

∑

F

Y

= -V

F

+ V

E

+ V

G

= - 11,03 + 1,515 + 9,515 = 0

Cz

ęść

AB:

∑

F

X

= - H

A

+ H

B

= 0

→

H

A

= H

B

= 12,02kN

∑

M

A

= - V

B

·

4 + M

A

+ M

1

=0

→

M

A

= 4V

B

– M

1

= 4

·

6,01 - 4 =20,04kNm

∑

F

Y

= V

A

- V

B

=0

→

V

A

= V

B

= 6,01kN

Sprawdzenie:

∑

M

B

= -V

A

·

4

+ M

A

+ M

1

= 4

·

6,01 – 20,04 - 4 = 0