Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1


[Edytuj]Ciągi liczbowe


Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych.
Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice
niewłaściwe.
Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów,
twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w
twierdzenie o trzech ciągach,
twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym,
twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]


Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w

(to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako
przestrzeń metryczna z metryką euklidesową).
Piszemy krótko


Ponieważ w zbiorze liczbowym mamy liniowy porządek,
więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na
wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.
Definicja 4.2.


(1) Mówimy, że ciąg
jest
malejący,
jeśli


(2) Mówimy, że ciąg
jest
silnie malejący,
jeśli

(3) Mówimy, że ciąg
jest
rosnący,
jeśli

(4) Mówimy, że ciąg
jest
silnie rosnący,
jeśli

(5) Mówimy, że ciąg jest
monotoniczny,
jeśli jest on
malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg jest
silnie monotoniczny,
jeśli jest on
silnie malejący lub silnie rosnący.






Ciąg malejący



Ciąg silnie malejący






Ciąg rosnący



Ciąg silnie rosnący




Ciąg zbieżny do granicy

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o
ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni
metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry
(ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy
jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące
definicje.
Definicja 4.3.


(1) Mówimy, że ciąg jest
ograniczony,
jeśli

(2) Mówimy, że ciąg jest
ograniczony z dołu,
jeśli

(3) Mówimy, że ciąg jest
ograniczony z góry,
jeśli



Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest
następujący związek między ograniczonością a
ograniczonością z góry i z dołu.
Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w ]


Jeśli
jest ciągiem
to
jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
gdy
jest ograniczony z dołu i z góry.


Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w
dowolnych przestrzeniach metrycznych.
Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w
mamy metrykę euklidesową.
Definicja 4.5.


(1) Mówimy, że liczba jest
granicą ciągu
jeśli


i piszemy


(2) Mówimy, że ciąg jest
zbieżny, jeśli



W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie
granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej
przestrzeni metrycznej).
Definicja 4.6. [Uzupelnij]


(1) Mówimy, że ciąg liczbowy
ma granicę niewłaściwą

jeśli



Mówimy wówczas, że ciąg jest
rozbieżny do

i piszemy

(2) Mówimy, że ciąg liczbowy
ma
granicę niewłaściwą

jeśli


Mówimy wówczas, że ciąg jest
rozbieżny do

i piszemy







Ciąg rozbieżny do



Ciąg rozbieżny do


Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą
(w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to
element (nie jest to liczba rzeczywista).
Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w
terminologii.
Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać
"granica właściwa" lub
"granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy
o granicy niewłaściwej.
O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny.
O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest
rozbieżny do lub
O ciągu który nie ma granicy
właściwej mówimy, że jest
rozbieżny.


Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]


Jeśli
są ciągami takimi, że
oraz jest ograniczony,
to




Dowód 4.7.


Niech będzie stałą ograniczającą ciąg
(która istnieje z założenia), to znaczy


Ustalmy
Ponieważ więc


Zatem dla mamy


Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że


czyli udowodniliśmy, że



Przykład 4.8.


Obliczyć granicę
.


Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",1)[pokażschowaj]

Jeśli zdefiniujemy
oraz dla ,
to oraz ciąg jest ograniczony,
gdyż



Zatem z twierdzenia 4.7.
wnioskujemy, że .

toggleSH(1)
Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na
elementach tych ciągów oraz na ich granicach.
Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi
działaniami.


Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]


Jeśli

są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz
to
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)

(o ile
dla oraz );
(5)

(o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6)
;
(7)




Dowód 4.9.


(Ad 1)
Niech oraz
Pokażemy, że
W tym celu ustalmy
Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów
i wiemy, że


oraz


Niech
Wówczas dla dowolnego mamy:


Ponieważ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że


czyli

Analogicznie pokazuje się, że

(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia
(patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.


Przykład 4.10.


Obliczyć granice ciągów:
(1) ;
(2)


Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",2)[pokażschowaj]

(Ad (1))
Niech
Policzmy najpierw granice modułów:



W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic
(patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości
granicy
(patrz przykład 3.21.).
Ponieważ otrzymaliśmy
więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7)
wnioskujemy, że także

(Ad (2))
Ponieważ


oraz


(patrz przykład 3.22.),
zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy



toggleSH(2)


Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu leżą
pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów i
(przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę
(właściwą lub niewłaściwą),
to ciąg ma tę samą granicę


Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]


Jeśli
są ciągami takimi, że



to






Dowód 4.11.


Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy .
Załóżmy, że
oraz

Należy pokazać, że
W tym celu ustalmy dowolne
Z definicji granicy ciągu mamy



Niech
Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że


zatem


co dowodzi, że


Przykład 4.12.


Obliczyć granicę ciągu

Niech

Zauważmy, że
gdzie oraz

W celu obliczenia
zauważmy, że




granica ciągu oraz wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o
granicy iloczynu ciągu
(patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy


i podobnie

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że
Odnośnie ciągu zauważmy, że


a zatem ciąg jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że
Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między
wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych
ciągów i na odwrót.
Mianowicie, jeśli
i są dwoma ciągami mającymi granice
(właściwe lub niewłaściwe) oraz
wyrazy ciągu są większe lub równe od wyrazów
ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów.
Na odwrót, jeśli granica ciągu jest silnie większa od
granicy ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla
wyrazów ciągów i , przynajmniej od pewnego
miejsca.


Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]


Jeśli
są ciągami takimi, że
oraz

to
prawdziwe są implikacje:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)




Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]


(Ad (1))
Zakładamy, że oraz

Ustalmy dowolne
Ponieważ więc


Zatem dla dowolnego mamy


Ponieważ było dowolne, więc
pokazaliśmy, że


a to oznacza, że
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3))
Niech
oraz
"Przypadek " Niech
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Ustalmy

Z definicji granicy ciągu mamy


i w szczególności


Niech
Wówczas dla wyrazów i mamy


co jest sprzeczne z założeniem.
Zatem pokazaliśmy, że

"Przypadek "
lub
Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek "
lub
Wówczas zawsze zachodzi nierówność

(Ad (4))
"Przypadek "
Niech
Ustalmy
Ponieważ , więc .
Z definicji granicy ciągu mamy


Niech
W szczególności mamy


co należało pokazać.

"Przypadek "

Niech i
Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy


Niech
W szczególności mamy


co należało pokazać.

"Przypadek "

Dowód jest analogiczny jak w przypadku


Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie
granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego
(ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).


Twierdzenie 4.14.


Jeśli
jest ciągiem,
to
(1)
jeśli jest rosnący, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz


(2)
jeśli jest malejący, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz





Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]


(Ad (1))
Załóżmy, że jest ciągiem rosnącym
oraz niech


(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem lub wynosi
gdyż zbiór jest niepusty).
Pokażemy, że jest granicą ciągu
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek
Niech
Ustalmy dowolne
Z własności supremum mamy, że


(de facto z własności supremum wynika, że
takich indeksów istnieje nieskończenie wiele, ale nam
wystarczy wybór jednego z nich).
Ponieważ ciąg jest rosnący
oraz
(z definicji supremum), więc


Ponieważ był dowolnie wybrany,
więc pokazaliśmy, że


zatem pokazaliśmy, że

Przypadek
Niech
Ustalmy
Z definicji supremum mamy, że


(bo w przeciwnym razie byłoby , sprzeczność).
Ponieważ ciąg jest rosnący, więc


Ponieważ było dowolnie wybrane,
więc pokazaliśmy, że


Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że

(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).




Ciąg rosnący i ograniczony z góry


Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]


(1)
Jeśli jest ciągiem rosnącym i
ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.
(2)
Jeśli jest ciągiem malejącym i
ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3)
Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
jest ograniczony.



Dowód 4.15.


(Ad (1))
Jeśli ciąg jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub
niewłaściwą) oraz


Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc


zatem granica jest właściwa, czyli
ciąg jest zbieżny.
(Ad (2))
Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3))
Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to
zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2)
(to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony).
W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy
ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez
założenia monotoniczności). Wynika to z
twierdzenia 3.25.


Karl Weierstrass (1815-1897)Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]


Każdy ciąg
ograniczony

zawiera podciąg zbieżny.



W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
lemat:
Lemat 4.17.


Każdy ciąg liczbowy zawiera podciąg monotoniczny.
Dowód 4.17.


[Szkic]
Dla ciągu zdefiniujmy następujący zbiór:



Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli
(to znaczy zbiór jest nieskończony), to
możemy z ciągu wybrać podciąg rosnący
(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu
których indeksy należą do zbioru ).
Jeśli
(to znaczy zbiór jest skończony), to
możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób.
Niech będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze
zbioru Ponieważ
więc

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie
w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy
to z definicji zbioru i faktu, że
wynika, że

Skonstruowany w ten sposób podciąg
jest malejący.




Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:
Dowód 4.16.


Niech będzie ciągiem ograniczonym.
Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać
podciąg monotoniczny
Oczywiście podciąg jest także ograniczony,
zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że
podciąg jest zbieżny.


Wniosek 4.18.


Z każdego ciągu liczbowego można wybrać
podciąg posiadający granicę
(właściwą lub niewłaściwą).


Dowód 4.18.


Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu można wybrać
podciąg monotoniczny.
Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą).
Jeśli zaś jest nieograniczony, to
skoro jest monotoniczny,
to granicą jest
lub .





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Ci%C4%85gi_liczbowe"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 13:18, 27 lis 2006; Tę stronę obejrzano 23847 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();