ÿþC i g i l i c z b o w e
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 3
p o z i o m p o d s t a w o w y
A r k u s z I
Z a d a n i e 1 . ( 4 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 5 ( P P ) , z a d . 2 .
Z a d a n i e 2 . ( 4 p k t )
n 2
D a n y j e s t c i g a n , g d z i e a n d l a n 1 , 2 , 3 . . . W y z n a c z w s z y s t k i e w y r a z y t e g o c i g u
3 n 1
1
w i k s z e o d .
2
1
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
A r k u s z I
Z a d a n i e 4 . ( 5 p k t )
Z a d a n i e 2 . ( 5 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 5 ( P P ) , z a d . 4 .
N a t r z e c h p ó k a c h u s t a w i o n o 7 6 p y t k o m p a k t o w y c h . O k a z a o s i , e l i c z b y p y t n a p ó k a c h
g ó r n e j , r o d k o w e j i d o l n e j t w o r z r o s n c y c i g g e o m e t r y c z n y . N a r o d k o w e j p ó c e s t o j
2 4 p y t y . O b l i c z , i l e p y t s t o i n a p ó c e g ó r n e j , a i l e p y t s t o i n a p ó c e d o l n e j .
2
6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I
Z a d a n i e 3 . ( 3 p k t ) yr ó d Bo : C K E 0 1 . 2 0 0 6 ( P P ) , z a d . 5 .
Z a d a n i e 5 . ( 3 p k t )
Z a u w a , e :
1 2 1
2 2 1 2 1
3 2 1 2 3 2 1
4 2 1 2 3 4 3 2 1
S t o s u j c w z ó r n a s u m k o l e j n y c h w y r a z ó w c i g u a r y t m e t y c z n e g o u z a s a d n i j , e
n 2 1 2 3 . . . ( n 1 ) n ( n 1 ) . . . 3 2 1 .
3
8 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I
Z a d a n i e 4 . ( 6 p k t ) yr ó d Bo : C K E 0 1 . 2 0 0 6 ( P P ) , z a d . 7 .
Z a d a n i e 7 . ( 6 p k t )
5 3 n
D a n y j e s t c i g a n o w y r a z i e o g ó l n y m a n n 1 , 2 , 3 , . . . .
7
a ) S p r a w d n a p o d s t a w i e d e f i n i c j i , c z y c i g a n j e s t c i g i e m a r y t m e t y c z n y m .
b ) O b l i c z , d l a j a k i e j w a r t o c i x l i c z b y a 4 , x 2 2 , a 1 1 s k o l e j n y m i w y r a z a m i t e g o s a m e g o
c i g u g e o m e t r y c z n e g o .
4
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
A r k u s z I
Z a d a n i e 5 . ( 4 p k t ) yr ó d Bo : C K E 0 5 . 2 0 0 6 ( P P ) , z a d . 4 .
Z a d a n i e 4 . ( 4 p k t )
D a n y j e s t r o s n c y c i g g e o m e t r y c z n y , w k t ó r y m a 1 1 2 , a 3 2 7 .
a ) W y z n a c z i l o r a z t e g o c i g u .
b ) Z a p i s z w z ó r , n a p o d s t a w i e k t ó r e g o m o n a o b l i c z y w y r a z a n , d l a k a d e j l i c z b y n a t u r a l n e j
n 1 .
c ) O b l i c z w y r a z a 6 .
N r c z y n n o c i 4 . 1 . 4 . 2 . 4 . 3 .
W y p e n i a
M a k s . l i c z b a p k t 2 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
5
8 P r ó b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 6 . ( 5 p k t ) yr ó d Bo : C K E 1 1 . 2 0 0 6 ( P P ) , z a d . 6 .
Z a d a n i e 6 . ( 5 p k t )
W u r n i e z n a j d u j s i k u l e z k o l e j n y m i l i c z b a m i 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , . . . , 5 0 , p r z y c z y m k u l
z l i c z b 1 0 j e s t 1 0 , k u l z l i c z b 1 1 j e s t 1 1 i t d . , a k u l z l i c z b 5 0 j e s t 5 0 . Z u r n y t e j l o s u j e m y
j e d n k u l . O b l i c z p r a w d o p o d o b i e s t w o , e w y l o s u j e m y k u l z l i c z b p a r z y s t .
6
6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 5 . ( 5 p k t )
Z a d a n i e 7 . ( 5 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 7 ( P P ) , z a d . 5 .
D a n y j e s t c i g a r y t m e t y c z n y a n , g d z i e n 1 . W i a d o m o , e d l a k a d e g o n 1 s u m a
n p o c z t k o w y c h w y r a z ó w S n a 1 a 2 . . . a n w y r a a s i w z o r e m : S n n 2 1 3 n .
a ) W y z n a c z w z ó r n a n t y w y r a z c i g u a n .
b ) O b l i c z a 2 0 0 7 .
c ) W y z n a c z l i c z b n , d l a k t ó r e j a n 0 .
N r c z y n n o c i 5 . 1 . 5 . 2 . 5 . 3 . 5 . 4 . 5 . 5 .
W y p e n i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
7
1 4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 1 . ( 4 p k t )
Z a d a n i e 8 . ( 4 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 7 ( P P ) , z a d . 1 1 .
D a n y j e s t r o s n c y c i g g e o m e t r y c z n y a n d l a n 1 , w k t ó r y m a 1 x , a 2 1 4 , a 3 y .
O b l i c z x o r a z y , j e e l i w i a d o m o , e x y 3 5 .
N r c z y n n o c i 1 1 . 1 . 1 1 . 2 . 1 1 . 3 . 1 1 . 4 .
W y p e n i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
8
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 7
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 9 . ( 5 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 8 ( P P ) , z a d . 5 .
Z a d a n i e 5 . ( 5 p k t )
1
N i e s k o c z o n y c i g l i c z b o w y a n j e s t o k r e l o n y w z o r e m a n 2 , n 1 , 2 , 3 , . . . .
n
a ) O b l i c z , i l e w y r a z ó w c i g u a n j e s t m n i e j s z y c h o d 1 , 9 7 5 .
b ) D l a p e w n e j l i c z b y x t r z y w y r a z o w y c i g a 2 , a 7 , x j e s t a r y t m e t y c z n y . O b l i c z x .
N r z a d a n i a 5 . 1 5 . 2 5 . 3 5 . 4 5 . 5
W y p e n i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
9
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 9
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 0 . ( 6 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 0 9 ( P P ) , z a d . 7 .
Z a d a n i e 7 . ( 6 p k t )
D a n y j e s t c i g a r y t m e t y c z n y ( a n ) d l a n 1 , w k t ó r y m a 7 1 , a 1 1 9 .
a ) O b l i c z p i e r w s z y w y r a z a 1 i r ó n i c r c i g u ( a n ) .
b ) S p r a w d , c z y c i g a 7 , a 8 , a 1 1 j e s t g e o m e t r y c z n y .
c ) W y z n a c z t a k i e n , a b y s u m a n p o c z t k o w y c h w y r a z ó w c i g u ( a n ) m i a a w a r t o
n a j m n i e j s z .
N r z a d a n i a 7 . 1 7 . 2 7 . 3 7 . 4 7 . 5 7 . 6
W y p e n i a
M a k s . l i c z b a p k t 1 1 1 1 1 1
e g z a m i n a t o r !
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 0
B .
B .
B .
x
x
3 1
x
3 1
3 1
C .
C .
C .
x
1 3 x
x
1 3
1 3
D .
D .
D .
x
x
3 1
x
3 1
3 1
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 1 . ( 1 p k t ) yr ó d Bo : C K E 1 1 . 2 0 0 9 ( P P ) , z a d . 1 2 .
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
n
n
n
D l a n 1 , , 2 , 3 , , . . . c i g a n j e s t o k r e l o n y w z o r e m : a
n
1 2 , 3 . . . c i g 1 n . W t e d y
D l a n 1 , 2 , 3 , . . . c i g a n j e s t o k r e l o n y w z o r e m : a n 1 n 3 n . W t e d y
D l a 3
a j e s t o k r e l o n y w z o r e m : a n 1 3 n . W t e d y
n
A . a 3 0 B . a 3 0 C . a 3 1 D . a 3 1
A . a 3 0 B . a 3 0 C . a 3 1 D . a 3 1
1 1
A . a 3 0 B . a 3 0 C . a 3 D . a 3
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t ) yr ó d Bo : C K E 1 1 . 2 0 0 9 ( P P ) , z a d . 1 3 .
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t )
W c i g u a r y t m e t y c z n y m t r z e c i w y r a z j e s t r ó w n y 1 4 , a j e d e n a s t y j e s t r ó w n y 3 4 . R ó n i c a t e g o
W c i g u a r y t m e t y c z n y m t r z e c i w y r a z j e s t r ó w n y 1 4 , a j e d e n a s t y j e s t r ó w n y 3 4 . R ó n i c a t e g o
W c i g u a r y t m e t y c z n y m t r z e c i w y r a z j e s t r ó w n y 1 4 , a j e d e n a s t y j e s t r ó w n y 3 4 . R ó n i c a t e g o
c i g u j e s t r ó w n a
c i g u j e s t r ó w n a
c i g u j e s t r ó w n a
5 2
5 2
5 2
A . 9 B . C . 2 D .
A . 9 B . C . 2 D .
A . 9 B . C . 2 D .
2 5
2 5
2 5
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t ) yr ó d Bo : C K E 1 1 . 2 0 0 9 ( P P ) , z a d . 1 4 .
Z a d a n i e 1 4 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 4 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 4 . ( 1 p k t )
W c i g u g e o m e t r y c z n y m d a n e s : a 1 3 2 i a 4 4 . I l o r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y
a a
n
W c i g u g e o m e t r y c z n y m a n d a n e s : a 1 3 2 i a 4 4 . I l o r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y
W c i g u g e o m e t r y c z n y m a n d a n e s : 3 2 i 4 . I l o r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y
a 1 4
1 1
1 1
1 1
A . 1 2 B . C . D . 1 2
A . 1 2 B . C . D . 1 2
A . 1 2 B . C . D . 1 2
1 2 P r ó b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
2 2
2 2
2 2
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 4 . ( 2 p k t ) yr ó d Bo : C K E 1 1 . 2 0 0 9 ( P P ) , z a d . 3 0 .
Z a d a n i e 3 0 . ( 2 p k t )
m 1 m 3 m 9
W y k a , e d l a k a d e g o m c i g , , j e s t a r y t m e t y c z n y .
4 6 1 2
1 1
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
- - 2 - - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
- 1
- 1
K t ó r e r ó w n a n i e m a d o k a d n i e t r z y r o z w i z a n i a ?
K t ó r e r ó w n a n i e m a d o k a d n i e t r z y r o z w i z a n i a ?
A . f x 0 B . f x C . f x 2 D . f x 3
x x 1 x x
A . f 0 B . f 1 C . f 2 D . f 3
Z a d a n i e 1 5 . ( 1 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 1 0 ( P P ) , z a d . 1 1 .
Z a d a n i e 1 1 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 1 . ( 1 p k t )
W c i g u a r y t m e t y c z n y m a n d a n e s : j e s t r ó w n y
W c i g u a r y t m e t y c z n y m a n d a n e s : a 3 1 3 i a 5 3 9 . W t e d y w y r a z a 1 j e s t r ó w n y
a 3 1 3 i a 5 3 9 . W t e d y w y r a z a 1
A . 1 3 B . 0 C . 1 3 D . 2 6
A . 1 3 B . 0 C . 1 3 D . 2 6
Z a d a n i e 1 6 . ( 1 p k t ) yr ó d Bo : C K E 2 0 1 0 ( P P ) , z a d . 1 2 .
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
W c i g u g e o m e t r y c z n y m a n d a n e s : 3 i 2 4 . I l o r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y
W c i g u g e o m e t r y c z n y m a n d a n e s : a 1 3 i a 4 2 4 . I l o r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y
a 1 a 4
1 1
1 1
A . 8 B . 2 C . D .
A . 8 B . 2 C . D .
8 2
8 2
1 2
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