Wykład 7
Rozkłady wielowymiarowe c.d.
Wstęp do statystyki
Wektor losowy
Załóżmy, że dany jest wektor (X, Y ) i jego rozkład
Y \ X 0 1 2
-1 0, 2 0, 1 0, 1
1 0, 1 0, 3 0, 2
Kowariancja
Miarą zależności zmiennych jest ich kowariancja
cov(X, Y ) = E(XY ) - E(X)E(Y ).
" Wiemy już, jak obliczyć E(X) i E(Y ).
" Znając rozkład wektora (X, Y ) (czyli wartości w tabelce), możemy obliczyć E(XY ):
"

E(XY ) = xiyjpij.
i,j
" W naszym zadaniu E(XY ) =
= 0 + 1 · (-1) · 0, 1 + 2 · (-1) · 0, 1 + 0 + 1 · 1 · 0, 3 + 1 · 2 · 0, 2 = 0, 4,
skÄ…d cov(X, Y ) = 0, 4 - 1 · 0, 2 = 0, 2.
Kowariancja zmiennych niezależnych
Gdy X i Y sÄ… niezależne, to p(X,Y ) = p(X) · p(Y ) i wtedy
ij i j

E(XY ) = xiyjp(X,Y ) = xiyjp(X) · p(Y ) =
ij i j
i,j i,j

= xip(X) · yjp(Y ) = E(X)E(Y ).
i j
i j
Kowariancja zmiennych niezależnych
Gdy X i Y sÄ… niezależne, to p(X,Y ) = p(X) · p(Y ) i wtedy
ij i j

E(XY ) = xiyjp(X,Y ) = xiyjp(X) · p(Y ) =
ij i j
i,j i,j

= xip(X) · yjp(Y ) = E(X)E(Y ).
i j
i j
Wniosek: Gdy X i Y są niezależne, to
cov(X, Y ) = E(XY ) - E(X)E(Y ) = 0.
1
Współczynnik korelacji
Ponieważ kowariancja może być bardzo duża, więc normuje się ją, dzieląc przez pierwiastek z iloczynu
wariancji:
cov(X, Y ) E(XY ) - E(X)E(Y )

ÁXY = = .
V ar(X)V ar(Y ) V ar(X)V ar(Y )
W naszym zadaniu
ÁXY = ...
" Współczynnik korelacji jest zawarty pomiÄ™dzy -1 i 1: |Áxy| 1.
" Gdy ÁXY = Ä…1, to zmienne sÄ… bardzo silnie zależne:
" albo Y = aX + b albo X = AY + B.
" Gdy zmienne X i Y są niezależne, to cov(X, Y ) = 0,
" ale nie na odwrót!
Rozkłady warunkowe
Gdy rozkład wektora (X, Y ) zadany jest za pomocą tabelki, to łatwo możemy obliczyć rozkłady warun-
kowe. Na przykład, rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem Y = 1:
"
P (X = 0, Y = 1) 0, 1 1
P (X = 0 | Y = 1) = = = ,
P (Y = 1) 0, 6 6
"
P (X = 1, Y = 1) 0, 3 3
P (X = 1 | Y = 1) = = = ,
P (Y = 1) 0, 6 6
"
P (X = 2, Y = 1) 0, 2 2
P (X = 2 | Y = 1) = = = .
P (Y = 1) 0, 6 6
Warunkowa wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana rozkładu warunkowego nazywa się warunkową wartością oczekiwaną.
" W naszym zadaniu
"
E(X | Y = 1) = 0 · P (X = 0 | Y = 1)+
2 4
+1 · P (X = 1 | Y = 1) + 2 · P (X = 2 | Y = 1) = + = 1.
6 6
=
Gdy rozkład (X, Y ) jest ciągły
Określimy teraz wszystkie wprowadzone pojęcia w przypadku, gdy rozkład wektora (X, Y ) ma gęstość, to
znaczy, gdy istnieje taka funkcja dwóch zmiennych f(x, y), dla której
" f(x, y) 0
"

f(x, y) dx dy = 1.
R2
" Wtedy

P ((X, Y ) " A) = f(x, y) dx dy.
A
2
Rozkłady brzegowe
Aby obliczyć rozkład zmiennej X w przypadku, gdy (X, Y ) zadany był tabelką, należało posumować kolum-
ny. Gdy rozkład wektora (X, Y ) zadany jest funkcją f(x, y), to zamiast dodawania stosujemy całkowanie:
" zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
"

"
fX(x) = f(x, y) dy,
-"
" a zmienna losowa Y ma rozkład o gęstości
"

"
fY (y) = f(x, y) dx.
-"
Konkretny przykład
Niech wektor (X, Y ) ma rozkład jednostajny na kółku {(x, y) : x2 +y2 < 1}, to znaczy ma rozkład o gęstości

1
, gdy x2 + y2 < 1
Ä„
f(x, y) =
0, gdy x2 + y2 1
Wtedy
"

"
fX(x) = f(x, y) dy = ...
-"
" Dla |x| 1 mamy f(x, y) = 0, więc fX(x) = 0.
" Dla |x| < 1 ta całka mierzy długość odcinka wyciętego z prostej {(x, y) : x ustalone} przez koło, skąd

2
fX(x) = 1 - x2.
Ä„
Rozkład brzegowy zmiennej Y
Zauważmy, że nie musimy liczyć oddzielnie rozkładu zmiennej Y , bo f(x, y) jest funkcją symetryczną, to
znaczy po zamianie ról x i y ta funkcja się nie zmienia. Zatem w funkcji fX(x) trzeba tylko zmienić X na
Y oraz x na y:

0, gdy |y| 1,

fY (y) =
2
1 - y2, gdy |y| < 1,
Ä„
E(X) i V ar(X)
Mając funkcję fX(x), gęstość rozkładu zmiennej X, możemy obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję:
"

1
2
E(X) = x · 1 - x2 dx = 0
Ä„
-1
"

1
2
V ar(X) = x2 · 1 - x2 dx = ...
Ä„
-1
" Dla zmiennej Y oba wyniki są oczywiście takie same, jak dla X.
3
Niezależność
Zmienne X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość rozkładu łącznego jest iloczynem
gęstości brzegowych, tzn. dla wszystkich x, y " R zachodzi równość
f(x, y) = fX(x) · fY (y).
" A jak jest w rozważanym przypadku?
" Wez
my taki punkt (x, y) aby x2 + y2 < 1. Wtedy |x| < 1 oraz |y| < 1 i


1 4

= 1 - x2 1 - y2
Ä„ Ä„2
" Te zmienne są zależne.
" A jaka jest ich kowariancja?
Kowariancja dla rozkładu z gęstością
Wzór definiujący jest oczywiście taki, jak w przypadku rozkładów zadanych tabelką, tzn.
cov(X, Y ) = E(XY ) - E(X)E(Y ).
"

E(XY ) = x y f(x, y) dx dy.
R2
" W naszym zadaniu
"

xy
E(XY ) = dx dy = 0,
Ä„
{x2+y2<1}
" zatem cov(X, Y ) = 0 - 0 · 0 = 0.
" Mamy tu przykład zmiennych zależnych o kowariancji zero.
Rozkłady warunkowe
Podobnie jak w przypadku rozkładów zadanych tabelką możemy obliczać rozkłady warunkowe:
"
f(x, y)
f(x | Y = y) = ,
fY (y)
"
f(x, y)
f(y | X = x) = ,
fX(x)
" gdy mianownik jest różny od zera.
" Gdy mianownik jest równy zero, to kładziemy f(x | Y = y) = 0.
Zadanie
Niech wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstości

2
36xye-(x +y2), gdy x > 0, y > 0,
f(x, y) =
0, gdy x 0 lub y 0.
Obliczyć:
4
" P (0 < X < 2, 1 < Y < 4),
" E(X), E(Y ),
" V ar(X), V ar(Y ).
" Czy X i Y są niezależne?
Czym jest statystyka?
" Nauka rozumienia danych i podejmowania decyzji w obliczu losowości.
" Zbiór metod do planowania eksperymentu i analizy danych tak, aby uzyskać maksimum informacji i
ilościową ocenę ich wiarygodności.
Przykład
Pewne badania dotyczą wpływu aktywności fizycznej na poziom cholesterolu. Jedna grupa ćwiczy, druga
nie. Pytanie: Czy poziom cholesterolu jest niższy u osób, które ćwiczą ?
Czynniki mogące wpłynąć na wynik eksperymentu:
" Ludzie mają naturalnie różne poziomy cholesterolu.
" Reagują różnie na ten sam reżim ćwiczeń.
" Różny stopień zaangażowania w realizację ćwiczeń.
" Wpływ diety.
" Ćwiczenia mogą wpływać na inne czynniki, np. apetyt.
Jak interpretować dane?
Większość wypadków samochodowych zdarza się, gdy samochód porusza się z prędkością pomiędzy 50 km/h
a 100 km/h.
" Czy w takim razie bezpieczniej jest jez
dzić
" z prędkością powyżej 100 km/h?
" A może powyżej 300 km/h?
WyciÄ…gnij wniosek!
Przed II wojną światową gruz
lica procentowo najwięcej zgonów powodowała w Zakopanem.
" Czy zatem było tam najbardziej niezdrowe powietrze?
" Wprost przeciwnie: było najlepsze do leczenia tej choroby!
" Wybór Roosevelta na prezydenta USA.
"  How to lie with statistics
" A może warto nauczyć się logicznego wyciągania wniosków?
5
Dlaczego uczÄ… siÄ™ dobrze?
Przepowadzono ankietę wśród studentów II roku pewnego wydziału i okazało się, że szczególnie dobre
wyniki w nauce na I roku osiągnęły osoby, które dojeżdżały daleko do szkoły średniej (ponad godzinę w
jednÄ… stronÄ™).
Wniosek: ???
Wino a choroby serca
Oto roczne spożycie wina (w litrach czystego alkoholu pochodzącego z wina na osobę) oraz liczba zgonów
w ciagu roku spowodowanych atakiem serca (na 100 000 osób) w kilku wybranych krajach:
" Australia 2,5 211
" Austra 3,9 167
" Finlandia 0,9 297
" Francja 9,1 71
" Hiszpania 6,5 86
" Niemcy 2,7 172
" USA 1,2 199
" Czy picie wina wpływa na zmniejszenie ryzyka ataku serca?
Reakcja owiec na bakterie wÄ…glika
Reakcja Zaszczepione Nie zaszczepione
Śmierć 0 24
Przeżycie 24 0
Procent 100% 0%
Przykład
" W artykule prasowym czytamy, że 80% pieszych będących ofiarami nocnych wypadków samochodo-
wych nosiło ciemne ubrania, a 20% jasne ubrania. Wyciągnięto wniosek, że w nocy bezpiecznie jest
nosić jasne ubrania.
" Czy przeprowadzone badania upoważniają do takiej konkluzji?
" 80% wobec 20%  czy taka różnica jest znacząca?
" Jakie byłyby wyniki, gdyby wszyscy nosili ciemne ubrania?
" Przy jakiej różnicy można wyciągać prawidłowe wnioski?
" Jak duża musi być próba, abyśmy w oparciu o nią mogli dowieść wpływu czynnika na wynik ekspery-
mentu?
Rodzaje danych
" Jakościowe: Porządkowe Nie porządkowe
6
" Ilościowe: Ciągłe Dyskretne
Zmienne jakościowe (kategoryczne)
Jakościowe  kwalifikujące do kategorii
" Porządkowe, np. wybory w ankiecie: nigdy, rzadko, czasami, często, zawsze.
" Nie porzÄ…dkowe, np. kolory (przy badaniu dziedziczenia koloru oczu).
Zmienne ilościowe (liczbowe)
Ilościowe  wynik jest liczbą.
" Ciągłe, np. wzrost, waga, stężenie.
" Dyskretne, np. liczba wadliwych elementów, liczba wypadków.
Oznaczenia
" Zmienne: X, Y, Z ; np. Y =wzrost (pojęcie)
" Obserwacje: x, y, z; np. y=182cm (wynik)
" Próba: y1, y2, ..., yn (wielokrotne obserwacje)
" Rozmiar próby: n, czasem n1, n2, itp.
Próba a próbka
Biolog mierzy poziom glukozy we krwi 20 ludzi.
"  20 próbek krwi (biolog)
"  Jedna próba 20 pomiarów glukozy (statystyk)
" Będziemy używali terminu  pomiar tam, gdzie biolog użyłby słowa  próba .
Histogram liczebności
Przypuśćmy, że zbadano dochód roczny wylosowanych 20 gospodarstw domowych i uzyskano następujące
dane (zarobki brutto w tysiacach zł):
35,5; 58,3; 127,2; 84,3; 46,8; 29,9; 41,7; 83,1; 38,2; 91,3;
44,8; 62,1; 25,0; 34,8; 19,5; 29,8; 73,2; 36,6; 41,1; 27,3;
" Narysować histogram.
" Jakie sÄ… max i min?
" Jaki jest rozstęp?
" Jakie dobrać przedziały i ile ich wziąć?
Histogram liczebności
" Grupowanie podobnych obserwacji zwykle jest pomocne.
" Prawie zawsze postępujemy tak z danymi ciągłymi.
7
" Definiujemy  klasy (przedziały) obserwacji i zliczamy liczbę obserwacji wpadających do każdej klasy.
Jak wybierać klasy?
" Każda obserwacja musi wpadać do dokładnie jednej klasy (klasy rozłączne, pokrywają wszystkie moż-
liwe wyniki).
" Rozmiar (szerokość) klas (przedziałów) jest zwykle taki sam.
" Używamy wygodnych granic przedziałów, np. 20-29, a nie 19,82  29,26.
" Używamy od 5 do 15 klas dla umiarkowanych zbiorów danych (n < 50); więcej, gdy próba jest duża.
Opis histogramu
" Symetryczny / asymetryczny.
" W kształcie dzwonu (normalny) / ciężkie ogony (spłaszczony).
" Skośny na prawo lub lewo.
" Jednomodalny (jeden główny wierzchołek).
" Dwumodalny (dwa główne wierzchołki).
" Wykładniczy (malejący)
" Rozrzut (duży lub mały)
Statystyka
Statystyka to liczbowa charakterystyka danych.
Na przykład z próby y1 = 24, y2 = 35, y3 = 26, y4 = 36 można obliczyć wartości statystyk:
" min=24, max=36,
" rozstęp= 36 - 24 = 12,
1 121
" y = (24 + 35 + 26 + 36) = = 30, 25.
4 4
Średnia z próby
" Symbol y oznacza liczbę  arytmetyczną średnią z obserwacji.
" Symbol Y oznacza pojęcie średniej z próby.
" Średnia jest  środkiem ciężkości zbioru danych.
Åšrednia a mediana
" Mediana dzieli powierzchnię histogramu na połowy.
" Jest odporna  nie mają na nią wpływu obserwacje  odstające .
" Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią  średnia nie jest odporna.
" Jeżeli histogram jest w przybliżeniu symetryczny, to średnia i mediana są zbliżone.
" Jeżeli histogram jest skośny na prawo, to średnia jest zwykle większa niż mediana.
" Obie te miary położenia są jednakowo ważne.
" Średnia jest częściej wykorzystywana do testowania i estymacji (o czym póz
niej).
8