Wykład 2 Prawdopodobieństwo warunkowe
Dwukrotny rzut symetrycznÄ… monetÄ…
" &! = {OO, OR, RO, RR}.
" Zdarzenia: A=wypadną dwa orły, B=w pierwszym rzucie orzeł.
1 1
" P (A) = , P (B) = .
4 2
" Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy, że wypadł orzeł, to ...
" Musimy zmienić zbiór zdarzeń elementarnych. Nowa &! = {OO, OR}.
1
" P (A pod warunkiem zdarzenia B) =
2
Jak to obliczyliśmy?
" Gdy wiemy, że zdarzyło się B, to &! - &!1 = B = {OO, OR}.
1
" Prawdopodobieństwa obu zdarzeń są jednakowe, więc P (OO) = .
2
" Inaczej:
P (A )" B) 1/4 1
P (A | B) = = = .
P (B) 1/2 2
" Taki sam wzór można stosować ogólnie, jeśli tylko P (B) > 0.
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego
Niech P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem B nazywamy liczbę
P (A )" B)
P (A | B) = .
P (B)
Zadanie
" Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
" Spośród rodzin z dwójką dzieci losujemy jedną rodzinę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosujemy
rodzinę z dwoma chłopcami, jeżeli wiemy, że
" a) starsze dziecko jest chłopcem,
" b) w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec,
" ż) jedno z dzieci ma na drugie imię Maria?
RozwiÄ…zanie
" Spróbujmy odgadnąć odpowiedzi!
" &! = {cc, cd, dc, dd}
" a) z założenia starsze dziecko jest chłopcem, więc B = {cc, cd}
"
P ({cc} )" {cc, cd}) P ({cc}) 1/4 1
P (A | B) = P ({cc} | {cc, cd}) = = = = .
P ({cc, cd}) P ({cc, cd}) 1/2 2
" b) Tutaj B = {cc, cd, dc}, więc
1
"
P ({cc} )" {cc, cd, dc}) P ({cc}) 1
P ({cc} | {cc, cd, dc}) = = = .
P (B) P ({cc, cd, dc}) 3
" To chyba mało intuicyjna odpowiedz
?
Ostrzeżenie: intuicja może mylić!
" Gdy P (A) > 0 i P (B) > 0, to zachodzi równoważność:
"
P (A | B) > P (A) Ô! P (B | A) > P (B).
" Dowód: każda ze stron jest równoważna nierównoÅ›ci P (A )" B) > P (A) · P (B).
" Zatem:
zajÅ›cie A zwiÄ™ksza szanse B Ô! zajÅ›cie B zwiÄ™ksza szanse A.
" Czyżby zdarzenia A i B  przyciągały się wzajemnie?
Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu
Danych jest n zdarzeń: A1, A2, ..., An. Jeżeli P (A1 )" A2 )" ... )" An-1) > 0, to
P (A1 )" A2 )" ... )" An) =
P (A1) · P (A2 | A1) · P (A3 | A1 )" A2) · P (A4 | A1 )" A2 )" A3) · ... · P (An | A1 )" ... )" An-1).
Dowód
" Skoro P (A1 )" A2 )" ... )" An-1) > 0, to wszystkie prawdopodobieństwa warunkowe są dobrze określone.
" Prawa strona wzoru =
P (A2 )" A1) P (A3 )" A2 )" A1) P (An )" An-1 )" ... )" A1)
P (A1) · · · ... · =
P (A1) P (A1 )" A2) P (An-1 )" ... )" A1)
" = P (An )" An-1 )" ... )" A1) = Lewa strona wzoru.
Metoda drzew
" Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu to teoretyczna podstawa  metody drzew .
" Prawdopodobieństwo przypisywane każdej gałęzi to iloczyn prawdopodobieństw kolejnych kawałków
tej gałęzi.
Czy to sprawiedliwy egzamin?
Na egzamin, do którego ma przystąpić 10 studentów, wykładowca przygotował (i ogłosił publicznie) 10
zagadnień. Egzamin polega na wylosowaniu jednego zestawu spośród tych dziesięciu i odpowiedzi. Zestawy
już wylosowane odrzuca się. Jacek zdążył przygotować tylko 5 spośród tych zagadnień. Jakie jest prawdo-
podobieństwo, że Jacek zda ten egzamin, jeśli będzie zdawał jako:
" a) pierwszy?
" b) drugi?
" c) trzeci?
2
" d) dziesiÄ…ty?
RozwiÄ…zanie
5 1
" a) Gdy Jacek wejdzie pierwszy, to oczywiscie P (zda) = = .
10 2
" b) Gdy wejdzie drugi, to musimy uwzględnić, jaki zestaw wylosowała pierwsza osoba.
1 4
" Jeśli taki, który jest  dobry dla Jacka, to szanse Jacka spadną z do .
2 9
1 5
" Jeśli taki, który jest  zły dla Jacka, to szanse Jacka wzrosną z do .
2 9
" Rysujemy drzewo i obliczamy:...
Odpowiedz

1 1 1 1
" a) , b) , c) , d) .
2 2 2 2
" Ten sposób egzaminowania jest sprawiedliwy!
" Czy ostatnia osoba też dostaje swój zestaw losowo?
Rozbicie zbioru &!
Rozbiciem zbioru &! nazywamy taką rodzinę zdarzeń B1, B2, ..., Bn, która spełnia dwa warunki:
" B1 *" B2 *" ... *" Bn = &!,
" Bi )" Bj = ", gdy i = j.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
Niech B1, B2, ..., Bn będzie rozbiciem zbioru &! na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie.
Wówczas dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość:
P (A) = P (A |B1) · P (B1) + P (A |B2) · P (B2) + ... + P (A |Bn) · P (Bn).
Dowód
Na mocy założeń o B1, B2, ..., Bn mamy

n n

P (A) = P (A )" &!) = P A )" Bi = P (A )" Bi) =
i=1 i=1
n n

= P (A )" Bi) = P (A | Bi) · P (Bi).
i=1 i=1
Zadanie
Mamy dwie urny:
" w U1 jest 1 kula biała i 3 czarne,
" w U2 jest 5 kul białych i 2 czarne.
" Za pomocÄ… monety losujemy urnÄ™ i wyciÄ…gamy z niej jednÄ… kulÄ™.
" Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała.
3
RozwiÄ…zanie
" Obliczamy prawdopodobieństwa warunkowe:
1
" P (B | U1) = ,
4
5
" P (B | U2) = ,
7
1 1 5 1 1 5
" P (B) = P (B | U1) · P (U1) + P (B | U2) · P (U2) = · + · = + .
4 2 7 2 8 14
Prawdopodobieństwo przyczyny
" Przypuśćmy, że znamy skutek (np. wypadek drogowy), a chcemy ustalić  przyczynę .
" To może być nadmierna prędkość.
" albo nietrzez
wość kierowcy,
" albo awaria samochodu (hamulce itp).
Zadanie o daltonistach
" Na 10 000 kobiet 25, a na 100 mężczyzn 5 to daltoniści.
" Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano losowo jedną osobę.
" Okazało się, że ta osoba nie rozróżnia kolorów.
" Oblicz prawdopodobieństwo, że to jest mężczyzna.
RozwiÄ…zanie
Wprowadzamy oznaczenia:
" K - wylosowanie kobiety, M - wylosowanie mężczyzny, K *" M = &!, K )" M = ".
" D - wylosowana osoba nie rozróżnia kolorów
RozwiÄ…zanie
Z danych zadania:
25 5
" P (D | K) = , P (D | M) = ,
10 000 100
1
" P (K) = P (M) = .
2
Zastosujmy definicję prawdopodobieństwa warunkowego i wzór na prawdopodobieństwo całkowite:
P (M )" D) P (D | M) · P (M)
P (M | D) = = =
P (D) P (D | M) · P (M) + P (D | K) · P (K)
5 1
· 500
100 2
= .
5 1 25 1
525
· + ·
100 2 10 000 2
Wzór Bayesa na  prawdopodobieństwo przyczyny
" Niech B1, B2, ..., Bn będzie rozbiciem &! na zbiory o dodatnim prawdopodobieństwie.
" Niech A będzie zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Wówczas dla każdego k = 1, ..., n
4
"
P (A | Bk) · P (Bk)
P (Bk | A) = .
P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P (A | Bn) · P (Bn)
Dowód
" Dokładnie tak, jak dla dwóch zdarzeń w zadaniu o daltonistach liczymy:
" Lewa strona = P (Bk | A)=
"
P (Bk )" A) P (A | Bk) · P (Bk)
= = ... = Prawa strona.
P (A) P (A)
Czy ten test jest dobry?
Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 1000. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak
czasami myli siÄ™:
" wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 100,
" a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 100.
" Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu.
" Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen.
" Jakiej rady można udzielić wynalazcy tego testu?
RozwiÄ…zanie
" Niech + oznacza, ze wylosowana osoba ma ten gen, a -, że go nie ma.
" Jest to typowa sytuacja podpadająca pod wzór Bayesa: &! = + *" - oraz + )" - = ".
" Niech W oznacza, że test  wykrył gen.
Z danych zadania
1 999
" P (+) = , P (-) = .
1000 1000
98 3
" P (W | +) = , P (W | -) = .
100 100
" Musimy obliczyć:
P (+ | W ) =?
Stosujemy wzór Bayesa
Dokładnie tak, jak w zadaniu o daltonistach:
P (+ )" W ) P (W | +) · P (+)
P (+ | W ) = = =
P (W ) P (W | +) · P (+) + P (W | -) · P (-)
98 1
· 98
100 1000
= = H" 0, 03.
98 1 3 999
98 + 3 · 999
· + ·
100 1000 100 1000
Jak poprawić test?
1 999
" Nie zmienimy oraz .
1000 1000
98 100
" Poprawienie wykrywalności z nawet do przypadków niewiele poprawia.
100 100
3 3 98
" Trzeba zmniejszyć liczbę na przykład na . Wtedy mielibyśmy H" 0, 246.
100 1000 98+3·99,9
5