WM

Z13/1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 1

1

Z13/1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 1

Z13/1.1. Zadanie 1

Wyznaczyć siłę krytyczną pręta ściskanego osiowo przedstawionego na rysunku Z13/1.1. Pręt ten jest

zamocowany w obu płaszczyznach pokrywających się z osiami głównymi bezwładności w jednakowy
sposób. Wymiary przekroju pręta podane są w centymetrach natomiast długość pręta podana jest w metrach.
Przekrój pręta przedstawia rysunek Z13/1.2.

4,0

P

KR

[m]

Rys. Z13/1.1. Pręt ściskany osiowo

3,

0

2,

0

3,

0

3,0

6,0

[cm]

Y=Y

gl

Z=Z

gl

6,0

15,0

8,

0

Rys. Z13/1.2. Przekrój pręta ściskanego osiowo

Pręt został wykonany ze stali o granicy proporcjonalności



H

=

205,0 MPa

(Z13/1.1)

oraz granicy plastyczności



P

=

235,0 MPa

.

(Z13/1.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z13/1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 1

2

Z13/1.2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta

Główne momenty bezwładności przekroju słupa ściskanego osiowo względem osi Y=Y

gl

oraz Z=Z

gl

wynoszą

J

Y

=

J

Ygl

=

15,0⋅8,0

3

12

−

3,0⋅2,0

3

12

=

638,0 cm

4

,

(Z13/1.3)

J

Z

=

J

Zgl

=

8,0⋅15,0

3

12

−

2,0⋅3,0

3

12

=

2246 cm

4

.

(Z13/1.4)

Pole powierzchni przekroju słupa ściskanego osiowo wynosi

A=15,0⋅8,0 −3,0⋅2,0 =114,0 cm

2

.

(Z13/1.5)

Z13/1.3. Wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego osiowo

Ponieważ pręt jest zamocowany w obu płaszczyznach pokrywających się z osiami głównymi bez-

władności w jednakowy sposób o wyboczeniu będzie decydował minimalny główny moment bezwładności.
Porównując główne momenty (Z13/1.3) i (Z13/1.4) możemy stwierdzić, że będzie to moment względem osi
Y=Y

gl

czyli

J =J

Y

=

638,0 cm

4

.

(Z13/1.6)

Promień bezwładności przekroju wynosi

i=



638,0
114,0

=

2,366 cm

.

(Z13/1.7)

Długość wyboczeniowa pręta wynosi

L

W

=

1,0⋅4,0=4,0 m=400,0 cm

.

(Z13/1.8)

Smukłość pręta wynosi

=

400,0
2,366

=

169,1

.

(Z13/1.9)

Moduł Younga dla stali, z której wykonany jest pręt, wynosi

E=205GPa=205000 MPa

.

(Z13/1.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z13/1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 1

3

50

100

150

200

250

300

0

0

50

100

150

200

250

A

λ

σ

KR

[MPa]

σ

H

=205 MPa

σ

KR

=70,76 MPa

λ

GR

=9

9,3

5

λ

=1

69

,1

Rys. Z13/1.3. Położenie punktu krytycznego

4,0

P

KR

[m]

X

Z

Y=Y

gl

Z=Z

gl

Rys. Z13/1.4. Postać wyboczeniowa pręta ściskanego osiowo

Smukłość graniczna pręta wynosi



GR

=⋅



205000

205,0

=

99,35

.

(Z13/1.11)

Smukłość (Z13/1.9) jest większa niż smukłość graniczna (Z13/1.11) więc pręt pracuje w zakresie

sprężystym. Normalne naprężenie krytyczne wyznaczamy ze wzoru (13.8) i wynosi ono



KR

=



2

⋅

205000

169,1

2

=

70,76 MPa=7,076

kN

cm

2

.

(Z13/1.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z13/1. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 1

4

Siła krytyczna zgodnie z (13.20) wynosi

P

KR

=

KR

⋅

A=7,076⋅114,0=806,7 kN

.

(Z13/1.13)

Rysunek Z13/1.3 przedstawia położenie punktu krytycznego (A) na wykresie zależności pomiędzy

normalnym naprężeniem krytycznym a smukłością pręta. Rysunek Z13/1.4 przedstawia postać wybocze-
niową pręta. Wyboczenie nastąpi w płaszczyźnie XZ, która to jest prostopadła do osi głównego
minimalnego momentu bezwładności.

Dr inż. Janusz Dębiński